Файл: Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 13.07.2024

Просмотров: 145

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

а характеристический определитель замкнутой системы оп­ ределится, согласно (2.28), формулой

А (s) * 8 (®) =

= ( / Ь + s) (1 + S) (2 + S) (1 + 7V0 (1 + T2s). (2.34)

Если исходную систему переписать в виде

Г Р х

- Б

;

1___

I---- О

где

РX

' X ' ~тх

Z — . 0 . и -J- Л г .

ТіР + 1

О -

. О

Т2р + \ _

Е — единичная матрица,

0 — нулевая матрица

размера

2 X 2, о — нулевой вектор-столбец, х0 [х, у]', z =

[zlt z2\,

mx = [1,

1]',

g, =

lg,, gj]',

% = ІТі Із, х2Ы' и положить & =

= |2 =

0, то

эта

система

запишется так:

 

 

 

 

Рхх0— г — пгхи,

(2.35)

 

 

 

P j = h ,

 

т. е. с точностью до обозначений совпадает с системой, опи­ сывающей возмущеннее движение объекта в примере, рас­ смотренном в § 1 гл. 2.

Записав выражение (2.32) в виде

 

и = wx<tx + w^,

(2.36)

где

 

= к ( р ) . wy ( р) ] . wz = [a»4l ( р ) ,

си л , (р)],

и подставив в него значение вектора z из первого уравнения (2.35), получим и = wx0, где

со = (1 + a y n j- ' (wXo+ wzP J .

(2.37)

Нетрудно убедиться, что передаточные функции регу­ лятора, определяемые формулами (2.37) и (2.33), совпадают с передаточными функциями регулятора, полученными при решении примера § 1 гл. 2.

Соотношение (2.36) вскрывает структуру оптимального регулятора: при S,-; (со) =£ const управляющее воздействие является суммой «управлений по отклонению» (wXtx0) и «управлений по возмущению» (wzz), и поэтому для данного класса задач только частично применим весьма эффективный метод определения параметров оптимального регулятора,

69

основанный на сравнении двух различных форм запи­ си характеристического определителя замкнутой системы 121, 27].

Действительно, для рассмотренного выше примера ха­ рактеристический определитель замкнутой системы запи­ шется в виде

1 — s

3

— 1

0

— 1

 

0

2 — s

0

— 1

— 1

A (s) =

0

0

Txs -[- 1

0

0

 

0

0

0

^2S + 1

0

 

U>x

Wy

wZi

wZi

~ w 0

== [— (1 +

s) w c + ( l - -s)W y — (1 — s) (2 - -s)w 0

 

 

X (7V? + 1) (T2s -f- 1),

 

откуда видно, что A (s) =

/ (w2i,

wZ]).

 

Сравнивая эту формулу записи характеристического оп­

ределителя с (2.34), можно определить только значения wx,

wy и w0 (s), т. е. метод определения коэффициентов опти­ мального регулятора, предложенный в [21,27 ], дает возмож­ ность найти лишь коэффициенты «управления по отклоне­ нию».

Таким образом, приведенное в начале настоящего пара­ графа доказательство тождественности оптимальных ре­ гуляторов в задачах аналитического конструирования регуляторов и синтеза системы стабилизации при б-корре- лированных возмущениях справедливо только для «невы­ рожденных» 1 задач, в которых коэффициенты оптимально­ го регулятора полностью определяются характеристическим уравнением замкнутой системы (тождественность этих уравнений для двух рассматриваемых задач показана в об­ щем случае).

Для доказательства тождественности регуляторов в слу­ чае «вырожденных» задач необходимо показать лишь равен­ ство коэффициентов «управлений по возмущению». Ниже это будет проделано для систем при одном возмущении.

Пусть возмущенное движение объекта описывается си-

1 Под «вырожденными» задачами подразумеваются задачи, в кото­ рых хотя бы одно из алгебраических дополнений элементов нижней стро­ ки характеристического определителя замкнутой системы тождественно равно нулю.

•70

стемой дифференциальных уравнений (2.1), т. е.

 

 

 

 

Рхо = ти +

ф,

 

(2.38)

где

 

 

 

 

 

Ьщ-і

 

 

 

р +

h i

 

Ьі2

 

h ,n

 

Р =

b%i

Р + ^22

 

Ь-2,п—1

bo.n

(2.39)

Ьп- ip

Ьп—1,2

••Р +

Ьп—і,п— I

Ьп—\,п

 

 

_

 

0

 

0

 

 

0

p — H-1_

 

 

XQ—

 

х%> * « * I

хп—1 » г]

 

 

 

 

X =

[хѵ х2, . . . .

Xn-iY, г =

z(t),

 

 

 

т =

[тѵ

т2,

. . . ,

т „ _ ь °Г.

 

ф = ГЕ-

(элементы

матрицы

Г

равны

const),

элементы

вектора

£ =

[£х,

|а, ....

£„]' — стационарные

случайные

процессы типа «белый шум» с единичной спектральной плот­ ностью, рх < 0.

Необходимо найти закон регулирования w0 (s) и = wxQ, или и = wx0, который в совокупности с исходными уравне­

ниями (2.38) образует устойчивую систему и обеспечивает П—1

минимум функционала е =

2

 

Гі (ХЬ + с (“2) +

(“2}-

Уравнение

регулятора,

г=і

 

 

(2.26), имеет вид

согласно

 

и ~

T + h

Р*0’

 

(2.40)

где

 

 

 

 

 

 

 

Р =

[р*. р*1. Р* =

[рі>

Ра.

•••» Р-г-іІ,

(2.41)

т. е., как и в рассмотренном выше примере, управляющее воздействие является суммой «управлений по отклонению» и «управления по возмущению».

Воспользуемся методикой определения коэффициентов оптимального регулятора, предложенной в [21, 271. Харак­

теристическое уравнение

замкнутой

системы

(уравнения

(2.38) и (2.40)) можно записать в виде А (s) =

(s +

h) Др (s) —

— рп. С другой стороны,

согласно

(1.105),

учитывая, что

у (s) = const, получаем A (s) = g (s).

 

 

Таким образом,

 

g (s).

 

 

(s + /г) Ар (s) — рп =

 

(2.42)

Сравнивая в (2.42) коэффициенты при одинаковых сте­ пенях s, получаем систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов оптимального регулятора.

Рассмотрим несколько подробней структуру вектора п. Исходную матрицу Р (2.39) можно переписать в следую­ щем виде:

 

 

 

р =

\р х

b

1

 

 

 

 

S - 1 4

 

где

 

 

 

 

[ o '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s - f

bn

 

Öj2

 

K n -l

 

 

Рх =

^21

 

^ “Ь ^22

*

b%n—\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ьп—1.1

 

£>п—1,2

. •• S-f-

1,п—1 _

Ь

^2,лі

*•*>

Ьп--и ]'.

 

Фробениуса обращения

 

Воспользовавшись

формулой

блочных матриц [5 ], получим

 

 

 

 

Р ~ 1

 

 

 

 

(2.44)

 

Тогда, согласно (2.10), п-й элемент вектора я будет ра­

вен нулю, т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

п =

К

(s),

 

пг (s),

 

Пп - 1 (s),

0]',

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.45)

где

пх = [«! (s),

л2 (s), ....

пп — 1

(s)]'.

 

 

Так как я-й элемент вектора я равен нулю, то коэффи­

циент р2 не входит в левую часть (2.42) и, таким образом, рассматриваемая методика позволяет определить только к, рх, р2, .... р„_і (при условии, что все nt (s) =/= 0 (i — 1, 2 ,...

.... / г - 1 ) ) .

Еще раз отметим, что коэффициенты регулятора к, р!........ р„_і совпадают с коэффициентами регулятора при решении соответствующей задачи аналитического конструи­ рования регуляторов. Следовательно, для того чтобы дока­ зать тождественность решений рассматриваемых задач, необходимо показать, что коэффициент рг равен козффициен-

72

Смотрите также файлы