Файл: Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 13.07.2024

Просмотров: 153

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ту р„ в задаче аналитического конструирования регуля­ торов.

Определим в каждой из задач рг и р„ как функцию элементов вектора рх = [р^ р2, p„_iJ.

Согласно (2.26) и (2.27),

 

Р = ѵ -Р —

 

 

 

 

 

(2.46)

где вектор у_ определяется из разложения (2.18)

 

®о + »+ + » - в

(S)

n*R

g(s)

а

l-i

(2.47)

 

 

 

 

 

q{s)

 

 

 

Если вектор у_ представить в виде

 

 

 

 

 

 

 

= [Уд_,

ѵг (s)],

 

 

 

 

(2.48)

то из (2.46), учитывая (2.41), (2.43) и (2.45), получаем

Рх = ѵ х-Р х—

« Л

 

 

J

 

(2.4Э)

р2 =

+

(s — рх) у2_

(s),

j

 

 

где Rx = diag {rlf

r2........r ^ } .

 

 

 

 

 

 

Подставляя значение матрицы Р ~] (2.44) в

(2.47) и при­

нимая во внимание (2.48),

имеем

 

 

 

 

 

yz_(s) = — Ѵх-Ь-

1

= -------------vx_b -4-

 

 

 

S— Pi

 

 

S —

P i

*

1

 

 

 

 

 

 

II.

 

 

1

•lim vxJb.

 

 

 

 

 

 

 

s~ P i s-m,

 

 

 

 

 

Следовательно,

 

p2 = lim vx-b,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г-ПН

 

 

 

 

 

или, согласно (2.49),

 

 

 

 

 

 

 

 

Р г =

lim

Px

g*

(s) n X:f. R X

P 7 {b.

 

(2.50)

 

 

 

 

 

 

 

Коэффициент pn в задаче аналитического конструиро­ вания регуляторов будем определять, пользуясь уравне­ нием регулятора

и -(- hu =

п—I

(2.51)

PkXk + Рл2>

предполагая, как и ранее, что величины /г и р* (/г =

1, 2, ...

..., п — 1) известны.

 

 

73

Если коэффициенты оптимального регулятора (2.51) оп­ ределять методом, предложенным в [18], то общее решение вариационной задачи Лагранжа в данном случае (матри­ ца Р определяется из (2.39)) имеет вид

хк = ( -

П-и

 

 

7) е ^ С ,

(к = 1, 2, . . . , П - 1),

1)* 2

А

(

р

 

/=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 — (— 1)" А„,„ (рх) e ^ C lt

 

 

 

 

 

n-f-1

 

 

 

 

U =

 

/“ 1

Д „ ,2 п + 1

( Р / ) & I Cj,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

я-Н

 

 

 

 

 

и =

—

2 Ц

у А П і 2П _)_і ( р / )

eUj/Cf,

 

 

 

 

 

/= I

 

 

 

где р, (j

= 1,

2,

...,

п -f-

1) — корни

характеристического

определителя A (s) системы уравнений вариационной за­

дачи, для которых выполняется неравенство Re ру < О (A (s) определяется формулой (2.52)), Д„і( (s) — минор определи­ теля (2.52), получившийся в результате вычеркивания п-и строки и г-го столбца, С) (/ = 1, 2, ..., п + 1) — произ­ вольные постоянные, которые определяются из начальных условий.

Характеристический определитель имеет вид

s + Ьи

*12

*І,л-1

\ л

0

*21

S + *22

*2,л-1

*2,л

0

* л - 1,1

*л-1,2

s +

*л-1,іі-1

*1 1 - 1 .л

0

 

0

0

 

0

S— Рі

0

2гі

0

 

0

0

S — *11

0

2лі

 

0

0

^12

0

0

2г,,-\

0

- * 1 .л - І

0

0

• -5

о

0

— *1.п

0

0

 

о

0

'»1

74

о

...

 

0

 

 

 

0

 

 

- > nl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

...

 

0

 

 

 

0

 

 

—

m

2

 

 

• • .

 

0

 

 

 

0

 

- ' « Я - І

 

 

 

• • •

 

0

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

&2X

...

— 6 n - l,l

 

 

0

 

 

 

0

 

(2.52)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— ^22

• ' •

~ bn—1,2

 

 

0

 

 

 

0

 

 

&2. Л - 1

. . .

s—

fen—

l,n— 1

 

0

 

 

 

0

 

 

6 2|„

 

 

 

^n—\,n

 

s +

P l

 

 

 

0

 

 

2

• ■ •

mn- 1

 

 

0

 

 

2

(c —

s2)

 

Предположим,

что

начальные

условия

таковы, что

Cj (/ =

2, 3, ..., п +

1)

равны нулю.

 

Тогда движение си­

стемы будет происходить по закону:

 

 

 

 

 

xk =

( -

1)* K ,k (Pi) е^*Сг

(k =

 

1, 2,

. . . .

п ~

1),

г =

(— 1)" Ап,п (Рх)

 

 

ы = — Ап,2л+ і (Рх) е^'Сѵ

 

 

 

w =

— р . х А п . г п + і ( Р х ) e ^ ' C v

 

 

 

 

Подставив полученные выражения в уравнение регу­

лятора

(2.51),

получим

h) ДП|2л+І (Pi) =

 

 

 

 

 

 

 

— (Р-1 +

 

 

 

 

 

 

fl— 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

2

Pk ( -

D* Ая,* ( P X)

+ Pn ( -

Dn An,„ (px).

(2.53)

 

 

A=I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как, согласно (2.42),

 

 

 

П—1

 

 

 

 

 

 

Px +

/i =

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ff (s) +

 

2

 

(s)

 

 

 

 

 

s -t - д , A pP( S )

 

 

É=l

 

 

 

 

(учитываем тот факт, что п-я компонента вектора п равна

нулю),

то из

выражения

(2.53)

имеем

 

 

(-1 )"

 

 

 

P « = А л ,„(Рі) {— Ап,2п+1 (Рх) і*5

 

1

я — 1

 

 

X lim

ff 0) + 2

р л («)

— 2 Pft (— 1)* A„,ft (Px)

А p(s)

S-H‘l

А=1

 

/f=I

(2.54)

75

Миноры определителя А (s), которые входят в выраже­ ния (2.54), получим, пользуясь теоремой Лапласа вычис­ ления определителей. В каждом из миноров An>/ (s), запи­ санных в видеопределителя, выделим первые п — 1 строк. Тогда Ans (s) равен сумме произведений всех миноров п — 1-го порядка, стоящих в выделенных п — 1 строках, на их алгебраические дополнения, т. е.

К * (?) =

J j т(?'

П*

^

(s) ( -

1)' 2rI ( -

1)"+ ж

X

'п +

1

 

 

л - 1

'n, /2 +

1

 

 

 

 

 

х т *

 

 

(S) +

і=л-И

h

k

(S) ( -

Di+1 X

 

 

 

X 2/-, ( -

l)"+i+1 m

f I

*) (s) +

m

 

"

+

j)

(s)

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.55)

X 2 (c - s2) ( -

l)"m*(” +

j) (s)

(k

=

1,

2,

. . . ,

n),

An, n+. ( s ) = 2 m

(n,

n +

1\

 

n, ,

 

 

 

 

( .

n + 1 ) ( s ) ( ~

1Г

Н Х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X 2r{ ( - i)"W -1/nJ

/2+

1\(S)1

(22, П

^

1 \

/ ч

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

где m I ■

 

I (s) — минор определителя замкнутой систе­

мы (уравнения (2.38) и (2.51)), получившийся в результате вычеркивания п-й и п -f- 1-й строк и і-го и k-то столбцов;

m І^П (s) — минор определителя замкнутой системы, по­ лучившийся в результате вычеркивания п -}- 1-й строки

и2 -го столбца.

Учитывая,

что m

jj

(s) = Ap (s),

 

и, согласно (2.7),

(— l)n+1+1m

 

"j" 1 j (s) =

iii

(s), формулы

 

(2.55) примут вид

An,k (s)

 

 

 

ft-i

 

 

'я,

л - f 1

(s) +

 

 

 

2 г,П1 (s) (— 1)' m

/,

 

k

 

П—1

 

 

 

 

 

 

 

 

/л,

n +

 

1

 

+

=

2

 

 

 

 

 

S

 

Г,.22* (S) ( - l)f+1

k

(S) +

2<=fc+l

 

 

V,

 

 

76

+ ( - 1)" (с — s2) л р (s)

n

+ l ) (S)

= 1, 2, . . . , я),

 

 

 

(2.56)

Дп,2/1+1 (*) = 2 ( -

 

1)" 2

 

 

(S) ( -

1/ /Я

"

*

I) (S).

(2.57)

 

Если

умножить

и

разделить

правую

часть

равенства

 

(2.56)

на Др (s) =

 

 

^

Jj (s) и принять во внимание, что,

 

согласно

приложению в работе [16] и (2.10),

 

 

 

 

/Я -f- l^

(п, я -f- 1

 

 

я +

1\

(п,

я +

1

 

 

т U+ 1

 

 

 

 

 

=

т

 

 

 

г,

я +

1

 

 

 

 

 

(п +

1\

 

/я,

я +

1\

 

 

.

 

 

 

 

 

 

~

т {

I

 

} т [к,

п +

і)

 

 

 

 

 

 

 

m

/ я + 1 \

( п ,п +

 

1\

 

U

/ я + 1 \

 

(п, п + 1 \

-

n

U

 

+

 

i

)

 

m

 

 

 

6

 

r

 

 

 

(n - f

1\

/я,

n +

1\

 

 

 

 

 

 

 

 

+

m i

 

«

r

U

 

» + i j

 

 

 

 

 

 

 

 

гг— 1

Г{п* (s) я£ (s) +

 

 

 

 

 

 

 

g* (s) g (s),

 

 

2

(c — s2) Дp (s) Ap (s) =

 

 

1=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то формула

(2.56) запишется так:

 

 

 

 

 

 

 

 

A/i,ft (s) —

2 ( - l ) n

 

 

 

 

/я,

Я +

1\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M s)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П—1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

( - i ) * + 4

w

2 /

л

( » ) ( - і ) '/" ( " ; ’! +

! ) ( “>

p -53'

 

Поскольку nn (s) =

(A

=

1, 2, . . . ,

я).

 

 

 

 

 

 

0,

 

то

из

(2.58)

имеем

 

 

 

 

 

 

Л,„ (s)=

 

2 ( -

1)" JÜ â§t> ш(";

“ +

I) (*).

 

(2.59)

 

Подставляя формулы (2.57), (2.58) и (2.59) в (2.54), полу-

 

чаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ДP (S )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р_ =

Ііш ------

 

.

 

Ж

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s-*^ 2g*(s) g (s) т

п

) (s)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\п, п + 1 /

 

 

 

 

 

77

Смотрите также файлы