Файл: Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью.pdf

что совпадает с (2.50) с точностью до обозначений, так как

Таким образом, есть основания утверждать, что задачи синтеза оптимальных систем стабилизации объектов при стационарных случайных внешних возмущениях могут быть сведены к соответствующей задаче аналитического кон­ струирования регуляторов большей размерности, если по­ грешностями измерений фазовых координат объекта можно пренебречь.

Наконец, докажем для случая произвольного числа управляющих воздействий еще одно утверждение о связи задачи аналитического конструирования регуляторов при ненулевых начальных условиях с задачей оптимальной ста­

78

и W — матрицы п X п, п X т, а X п, т X т к т X п

соответственно, элементы которых константы. Утверждается, что этот закон управления обеспечивает

обращение в нуль первой вариации функционала в соот­ ветствующей задаче аналитического конструирования регу­ ляторов при ненулевых начальных условиях, а именно, если движение объекта описывается системой дифферен­

Используя возможность циклических перестановок мат­ риц-сомножителей под знаком Sp, перепишем функционал

Но так как матрица Ц7, получаемая в результате ре­ шения вариационной задачи (обращающая в нуль бе), не зависит от матрицы 5ф, когда элементы последней кон­ станты х, то и первая вариация б/ также обратится в нуль, что и требовалось доказать.1

1 См. § з гл. 1.

79

ГЛАВА 3 СИНТЕЗ СИСТЕМ СТАБИЛИЗАЦИИ ПРИ ИЗМЕРЕНИИ КООРДИНАТ С ПО­ МЕХАМИ

В рассмотренных выше задачах предполагалось идеальное измерение координат объекта, необходимых для формиро­ вания закона управления. На практике, однако, довольно часто уровень погрешностей при измерениях тех или иных координат настолько значителен, что ими пренебрегать уже нельзя. В связи с этим представляется целесообразным учесть погрешности в измерениях при постановке и реше­ нии задач синтеза оптимальных систем стабилизации, что и будет сделано в настоящей главе для случая, когда коор­ динаты объекта измеряются с помехами, предполагаемыми стационарными случайными процессами. Сначала будет приведено общее решение задачи при т управляющих воз­ действиях (§ 1), а затем рассмотрен частный случай, когда

системой обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

(см. (1.51)).

Требуется определить уравнение регулятора в цепи об­ ратной связи так, чтобы замкнутая система объект -)- регу­

80

Считаем, что необходимые для формирования закона управления координаты объекта измеряются с аддитивными помехами, которые предполагаются стационарными слу­ чайными процессами, т. е. уравнение регулятора ищем в виде

координат объекта, компоненты которого (ошибки ф, (/)) —

должны иметь полюсов в правой полуплоскости, то, исполь­ зуя преобразование Фурье (полагая s = /со), функционал

1 В дальнейшем аргумент s опускается.

(3.2) можно записать в следующем виде:

Таким образом, задача сводится к определению матрицы № такой, чтобы замкнутая система была устойчивой, а функ­ ционал (ЗЛО) достигал минимума.

Вариации бW при минимизации функционала (ЗЛО) сле­ дует ограничить так, чтобы соответствующие вариации

Так как, согласно (3.8) и (3.9),

F f = F fF — Е,

(3.11)

F f = F fF ,

то из физической реализуемости функций F f и F f и их вариаций следует физическая реализуемость функций Ff и F f и их вариаций.

Матрицы F f и Fu удовлетворяют уравнению связи

(это уравнение получается после подстановки (3.7) в (3.4)), следовательно, п (т + п) их элементов могут быть выра­ жены через пт независимо варьируемых функций.

Как и в § 3 гл. 1, введем матрицу Ф размера т X п следующим образом:

где Л и В — полиномиальные матрицы т X п и т х т,

соответственно. Тогда все элементы матриц F f и F f могут быть выражены, согласно (3.12) и (3.13), через тп свободно варьируемых элементов матрицы Ф:

82