Файл: Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью.pdf

а искомая матрица W передаточных функций регулятора определится, согласно (3.8) и (3.13), формулой

Поскольку матрицы F t и F t и, следовательно, матрицы

Ft и Ft должны быть аналитическими в правой полупло­ скости, то, используя (3.11), (3.14) и (3.15), функционал (3.10) можно записать в виде

причем ранг матрицы G*G равен m (в противном случае задача сводится к задаче меньшей размерности).

Выясним, при каких условиях сформулированная ра­ нее задача минимизации функционала (3.10) на классе устойчивых замкнутых систем эквивалентна задаче миними­ зации функционала (3.20) на классе физически реализуемых функций Ф.

Так как минимум функционала (ЗЛО) разыскивается на классе аналитических в правой полуплоскости функций

F l F l F l и F l, а минимум функционала (3.20) при решении соответствующего уравнения Винера — Хопфа находится на классе физически реализуемых функций Ф , то при мини­ мизации этих функционалов могут допускаться только ана­

литические в правой полуплоскости вариации bFl, ÖF'f, и 6Ф (выше (см. (3.11)) было показано, что из физической

реализуемости F l и F l и их вариаций следует аналитичность

в правой полуплоскости F f, F l и их вариаций). Согласно (3.12) и (3.13),

и поэтому из требования аналитичности в правой полупло­ скости вариаций öFl, бF t и 6Ф следует аналитичность мат­

риц Z и 7 Г 1 в правой полуплоскости. К аналогичному выводу можно прийти, исходя из требования устойчивости замкну­ той системы (см. § 3 гл. I).

Определим матрицу Ф, доставляющую минимум функ­ ционалу (3.20). Запишем выражение для первой вариации

84

Пусть матрицы D и Н, определяемые в результате фак­

в правой полуплоскости.

Тогда матрица Ф , обращающая в нуль первую вариацию функционала (3.22) и имеющая полюсы только в левой по­

в (3.19), целесообразно проделать промежуточные выкладки, аналогичные соответствующим выкладкам § 3 гл. 2.

т. е. искомая матрица передаточных функций оптимального регулятора, согласно (3.19), определится соотношением

Приведем еще один вариант формулы для W, получае­ мый непосредственной подстановкой (3.25) в (3.19), который

Для определения минимального значения функционала (3.20) сначала перегруппируем входящие в него члены

85

и преобразуем его:

/оо

где

Т = H -'H -'Q -'N Ji.

Подставив в преобразованное выражение функционала

Как и в § 3 гл. 2, проведем дополнительные исследования формул (3.28) и (3.29) с целью доказательства независимости решения задачи от произвола в выборе матриц А и В и ука­ зания алгоритма перехода от матрицы передаточных функ­ ций регулятора к его уравнению вида (3.3).

Покажем независимость emin и IF от конкретного вида матриц А и В.

Пусть варьируемая матрица Ф выбрана так:

Ö= Â F t+ B F t,

т.е. матрицы F t и F t связаны с матрицей Ф уравнением

где матрицы Л и В н е совпадают с А и В, но удовлетворяют требованию аналитичности в правой полуплоскости мат­

8в.

Для доказательства независимости етіп и W от матриц

А и В достаточно показать, что при замене А и В на А и В значения ет |П и W не изменятся.

Из формул (3.29) и (3.28) видно, что ет1а и W не изме­ нятся, если выполняются равенства:

Доказательство равенств (3.31) и (3.32) тождественно доказательству равенств (1.87) и (1.88) и сводится к следую­ щему.

Пусть П — матрица, определяемая уравнением

Используя формулу Фробениуса обращения блочных матриц и учитывая аналитичность в правой полуплоскости

матриц Z, Z~ , Z и Z-1 , можно показать, что матрица П имеет структуру

О ■

П =

n j ’

где Пі — матрица т X п, аналитическая в правой полу­ плоскости, П3 — матрица т х т, аналитическая в правой полуплоскости вместе с обратной.

Согласно (3.35), (3.18) и (3.24),

А = ПдР -f- П2Л,

(3.37)

В = — IIj/И - f Пoß,

Q = Др (s) (— IIjM П2В) -f- (ПХР -f- П2Л) N — n 2Q,

H ß = Q-'G'GQ-1=

87