Файл: Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 13.07.2024
Просмотров: 147
Скачиваний: 0
Поскольку матрица П2 аналитическая в правой полу плоскости вместе с обратной, то
Я = ЯП Г1 |
(3.38) |
и
H7'Q7l= ^r'n^rir'Q:1= /С Ѵ ,
т. е. равенство (3.31) доказано.
Как видно из (3.26) и (3.31), для доказательства (3.32)
достаточно |
доказать равенство |
|
|
[HÄP-'DU = [ЯЛР_ ,П]_. |
(3.39) |
Подставим (3.37) и (3.38) в (3.39): |
|
|
[HÄP~lD]_ = [ЯПГ1(ПХР + П2Л) P -'D ]_ = |
||
= |
[ЯЛ Р~’£)]_, так как [Я П Г'П ]!)]- = |
О, |
т.е. равенство (3.32) также выполняется. Согласно (3.27),
L0+ L+ + L _ = - Я .- 'З Г Ч Я W > 7 ‘.
L0+ L + + L — = - Hr'QT'N'RSvPJD-1,
откуда видно, что равенства (3.33) и (3.34) являются след ствием уже доказанного равенства (3.31).
Укажем теперь алгоритм перехода от матрицы W, оп ределяемой формулой (3.28), к уравнению регулятора вида (3.3).
Сначала докажем, что элементы матриц, стоящих в квад ратных скобках формулы (3.28), не имеют полюсов, за ис
ключением, быть может, полюсов матриц D ~l и L+, распо ложенных в левой полуплоскости.
Действительно, согласно (3.26), (3.21), (3.24) и (3.18),
[А; (s) H^QT'C + |
(Д _ - |
и - L+) D~lMU = |
||
р (s) H :1Q7{C |
KJDTXM ]- |
|||
Ap(s) Я 7=1(271с[А |
+ |
(H7i+ |
Qr'N'RN —= HAN) |
|
|
A»(s) |
|
|
|
|
(H : ' Q: % G - H A N ) |
|||
Др (S) |
|
|
|
|
Др (s) |
(HQ - |
HAN) |
|
= [нви = о. |
88
Аналогично
[K -D -'P - H -'Q -'N ,R U = [Я Г’О Г Ч Я - ЯЛ -
- я ^ Х я ] - = - [ЯЛ]_ - 0.
Таким образом, доказано, что элементы матриц-сомно жителей в (3.28) не имеют полюсов в правой полуплоскости.
Как видно из (3.28), полюсы в левой полуплоскости, отличные от полюсов D ~l и L+ , могут появиться только за счет полюсов матрицы Q7'- Однако можно показать, что матрицы [Ар (s) Н~' Q~'C -{- {К - — L0 — L+ ) D~lM ] и [{K - — L 0 — L+) D ~lP — Н~' Q^'NXR] не содержат по
люсов матрицы Q7!, если учесть сомножители Лр (s) и Я*. |
||||
Действительно, |
согласно |
(3.18) |
и (3.17), |
|
а ; (S) Q71= {Ар (S) Q-' и = |
{ДР (S) [Др (S) в + |
Л я г 1}* = |
||
|
= {(В + |
А Р ~'М ГХ . |
|
|
Но из условия |
аналитичности |
матрицы |
Z~' в правой |
|
полуплоскости (см. (1.67)) следует аналитичность в правой
полуплоскости |
матрицы (В + |
А Р~1М)~\ |
т. е. |
матрица |
||
{(В + А Р ~'М)-1 }* не |
имеет |
полюсов |
в |
левой |
полупло |
|
скости. |
|
|
|
|
|
|
Аналогично |
|
|
|
|
|
|
Q 7 % = |
{w |
1}* = {Я [Д р (S) В + |
А Я р 1}* = |
|||
|
= {Р - 1М (В + |
А р - 'м г 'ъ |
|
|
||
и из условия аналитичности матрицы ZT1 в правой полу |
||||||
плоскости (см. |
(1.66)) |
следует, что матрица [Р~1М (В + |
||||
+ |
не имеет полюсов в левой |
полуплоскости. |
||||
Таким образом, если матрицы-сомножители в (3.28) умножить на полином d(s), равный общему знаменателю
матрицы L+D - 1 , то в результате получим полиномиальные матрицы и уравнение оптимального регулятора, согласно (3.6) и (3.3), можно записать в виде
Id (s) A; (s) H~'Q7lC + (К - - L |
0~ L+) d (s) D~lM] и = |
= [(К - - Д0 - Д+) d (s) D ~lP - |
d (s) H - lQ7lN,R\ X. (3.40) |
Рассмотрим два частных случая, когда удается полу чить более простые формулы для матрицы передаточных
89
функций оптимального регулятора, используя специфику динамических свойств объекта.
Согласно (3.28),
W = |
К |
( S ) H ~lQ-'C + |
(К— |
I 0 - 1 + ) |
X |
|||
или |
X |
[(/C- - |
10 - 1 + ) D~XP - H - lQTlN.,R], |
|||||
W = |
[(/C0 + K + + L0 + |
L+) D~xM - |
Н ВГ' X |
|||||
где |
|
X |
[(/С. + |
K + + |
L0 + |
L+) D -'P + |
HA], |
|
|
|
|
Аp (s) — det P, |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
N |
|
(s) P~lM, |
|
|
|
|
|
|
Q = = Ap |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ap(s)B + AN, |
|
|||
|
|
|
|
H*H |
Q~lGJjQ~x, |
|
||
|
|
|
G fi — |
N j . R N= - f |
А; ( S ) CAp (s), |
(3.41) |
||
|
|
|
|
DD^ = |
S,|, -f- PS,fP |
|
||
|
K0+ |
/C f + |
K - = |
(H7'Q7%R - HA) P~'D' |
||||
|
L0+ |
1 + + |
L _ = |
- |
|
|
|
|
а элементы матриц А и В должны удовлетворять требованию аналитичности в правой полуплоскости матрицы
ГР — Ml
вместе с обратной.
I.Пусть объект устойчив, т. е. Др (s) = det Р — гу
цев полином. Тогда требование аналитичности матриц Z
и Z“ 1 в правой полуплоскости можно удовлетворить, по ложив А = 0 и В = Ет. Соотношения (3.41) в этом случае примут вид
|
Q = |
Ар (s) Ет |
|
|
||
Я *Я = * |
GjG |
|
> |
т. е. Я ! |
Д р is) |
G, |
Apis) |
*^ Ap (s) |
|
|
|||
К а + К + + К - = G~xN*RP~lD,
Іо ~Ь 1+ ~Ь I — = — CJ* IV.j.RS<fP^.D
90
а матрица передаточных функций оптимального регулятора определится формулой
W = |
[А; (s) G~XC + (К - - |
1„ - |
L+) D~XM]~XX |
|
||
или |
X [(/С- - |
1 0 - 1 + ) |
D -'P - |
G-'N^R], |
(3.42) |
|
|
|
|
|
|
|
|
W = |
[(/Со + |
K + + 1 0 + |
1 +) D~XM - |
Я ]“ 1 X |
|
|
|
X (/Со + К + + 1 0 + 1 + ) D |
ХР. |
(3.43) |
|||
II. Пусть М — матрица п X п, причем det М — гурвицев полином. Тогда требование аналитичности матриц Z
и Z- 1 в правой полуплоскости можно удовлетворить, по ложив А = Еп и В = 0.
Соотношения (3.41) в этом случае примут вид |
|
||
Q = Я = Др (s) Р - 'М , |
|
||
H t f f ^ R + |
PtM -'CM -'P, |
(ЗА4) |
|
/Со + К + + |
К - = |
(Я 71/? - Я) P-'D = |
|
Іо + 1 + + |
I - = |
- H ^RSyP,D~\ |
|
а матрица передаточных функций оптимального регулятора определится формулой
W = [д; (s) H ~XN ~XC + |
(К - - |
1 0 ~ |
1+) D-'М Г 1 X |
|||
X |
[(/С- - |
1 0 - |
1+) I " 1/3 - |
Я 7 1#], |
(3.45) |
|
или |
[(/С0 + |
/С+ + І 0 + |
1+) Я - ‘Л4]-‘ X |
|
||
W |
|
|||||
X= |
(3.46) ■ |
|||||
[(/Со + |
/с+ + |
Іо + 1 +) І>-1І + //]. |
||||
|
$ 2. |
Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч И П Р И О Д Н О М У П Р А В Л Я Ю - |
||||
|
|
|
Щ ЕМ В О З Д Е Й С ТВ И И |
|
||
Рассмотрим еще один частный случай полученного в пре дыдущем параграфе решения задачи стабилизации объекта при измерении его координат с помехами, а именно задачу стабилизации нескольких координат объекта одним управ ляющим воздействием. Целесообразность подробного иссле дования этого частного случая мотивирована в гл . 2.
91
