Файл: Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью.pdf

w =

(с — s3) Д

(s)

~j- (k_— [Q— /-)-) D * tn

—1

X

к* (s) q* (s)

X

0b - - l 0 - l+ ) D ~ ' P

h* (s) q*(s)

(3.51)

где

Af, (s) =

det P,

(3.52)

n =

Ap (s) P~lm,

(3.53)

q (s) =

Ap (s) ß (s) +

an,

(3.54)

nh* (s)S )ti(s)h --

q4s)qis),

(3.55)

g* (s) g (s) =

ntRn +

Ap (s) (c — s2) Ap (s),

(3.56)

DD* — Sip -}- PSyP

(3.57)

k0

k-Sf-

k - =

1

•n:l.R — h(s) а

P-'D,

(3.58)

h*(s) q* (s)

/0 +

/+ + /——

Л* (s) q* (s)

n*RSipP ,P , .

(3.59)

Здесь элементы вектора-строки а и скаляр

ß (s) — поли­

номы от

s,

удовлетворяющие

требованию аналитичности

матрицы Z =

Р ~ т

правой

полу­

ß (s) j вместе с обратной в

плоскости,

т.

е. полином

det Z = Ар (s) ß (s)

an =

q (s)

должен

быть

гурвицевым

полиномом.

h(s)

g(s)

<?(«)

и соотношения (3.51), (3.58) и (3.59) можно записать

так:

(с- s

2) Др (s)

+ ( / е _ - / 0~ / + ) D-'m

w =

•X

S* (S)

(£_ — /„ — /+) О“ 1/3

1

'h-R

(3.60)

8* (s)

h +

At- + /_

1

(3.61)

g* (S) 'h-RSqP. , ; Ö ,

,

(3.62)

г д е

1

giß)

(3.63)

g*(s) n*R

9(s)

V.

В предыдущем параграфе была доказана независимость

решения задачи (матрицы W и ет іП) от произвола в

выборе

м

bj іщ) + Cj (gt)

N

d j jgt)

« /- (s) =

2

+

E

S — gt

s — gt

/=1

r = M - H

(/ =

1, 2...........n),

где постоянные коэффициенты bj {gt), Cj (gt)

и dj (gt) имеют

вид (2.18), (2.23) и (2.19) и не зависят

от полиномов щ (s)

и ß(s), то элементы

вектора

и_ (3.63) определятся эти­

ми же формулами и тоже не

зависят от полинонов а,1(s)

и

ß (s).

Примеры.

I. Пусть Р — а — s, т = М = const,

5ф (со) = Яф, 5 Ф(со)=

е =

с2 (и2) +

(и2).

Согласно (3.52),

(3.53),

Ар (s) = det Р =

Р (s) — а — s,

п =

Ар (s) Р~'т = М.

Полагая

ß (s) = 0,

a

(s) =

получаем q (s) = Ap(s)ß(s) +

+

а /г =

1. Из (3.56)

и

(3.57)

имеем

g* (s) g (s) =

(а + s) (с2 — s2) (а — s),

т. е.

8

(s) = (с + s) (а +

s),

DD* = 4

+

(а2 -

s2) ( - b t ) 2 =

( - ^ ) 2 (d2 - s2)

(d = | /а 2 + Г > 0 ) , т. e. D = - ^ - ( d + s).

Согласно (3.61)—(3.63),

(с - f

s) (а 4 - s)

__

2 а

(с +

а)

М

(а —

s)

—

М

(а —

s) ’

k—=

2 а

(с +

о)

X (d +

s)

М

(а —

s)

(а +

с) (д + d)

/0 =

/+

= /_ =

0.

M X .

(а — s)

И, наконец, подставив необходимые величины в (3.60),

(3.30),

(3.29),

получим

W ~

2 а (а -f- с) (а +

d)

М

(s2 +

(2a +

c +

d)s +

[2a(a +

c +

d) +

cd]}

’

У°°

ßmin =

у

j* k - (S)

(— S) ds =

(а - f c f (а - f d f Sv.

— /o o

уравнением первого порядка х -J- ах =

и

ф.

Требуется найти закон управления в цепи обратной

связи (передаточную функцию регулятора w) и =

w (х -1- ф)

так, чтобы при устойчивой замкнутой

системе

объект +

ческим ожиданием и спектральными

плотностями 5ф (со) =

=

Л 2/(ц2 +

со2)

и 5 ф(со) = Д2/(ѵ2 +

со2).

В

принятых

обозначениях Р

s) = а - •s, m =

1.

Аналитичности матрицы Z —

P

— tri

вместе с

обрат-

а

ß

ной

в

правой

полуплоскости добьемся,

положив

ß = 0,

а

=

1,

т. е.

q — det Z = 1.

Согласно

(3.52) —

(3.57),

п =

1,

g — 1,

£>Д> =

ф _______(а2— s3) В2

откуда

*

(I2 -

‘

V2 —

S3

’

D

=

^52 ~l~ ^is

’

где

(H +

s ) ( v + s )

Я0 =

У 5 2а2(.і2 +

ЛV s > О,

Вг =

У ß 2 (а2 +

У ) +

Л* +

2ВВ0>

0.

Из

(3.61) — (3.63)

имеем

lo + l+ +

1- =

В2(а — s) (|х — s)

В0)

'

k—— V—=

0.

(ѵ +

s) (Äs3 — BlS+

Следовательно,

/0 =

0,

/+

= - ■

5 2 (а +

ѵ) (р + у)

(ѵ +

s) (ßv3 +

ßxv -f- ß0)

И окончательно,

согласно

(3.60),

w

(s) =

4V2 +

yts +

y„

s) (fl +

где

( ( i +

V) ( p

+ V)

’

Vo = ац (a +

v) (p - f

v ) ------ § -

(v2 +

+ -З в -j

,

Vi = ifl +

v) (a + P) (P +

v) —

(v2 +

V + A - J ,

Va =

V (а + p) + ац —

v ---- •

Рассмотрим случай, когда внешнее возмущение исче­

зает (Л -*■ 0, ß

0). Здесь возможны два

варианта.

Пусть

а >

0, т. е. объект устойчив,

тогда у0, ух, у2 -> 0 (так

как

ß 0 —V Вар,

Вх ->

В {а +

р))

и,

следовательно,

w -> 0,

(х2) ->■ 0.

0),

то

В0 -> Вщі,

Ву -■>-

Если объект неустойчив (а <

- > ß (H — а), a

а-)- V

ф о

(х2) ф 0 .

'

Казалось бы, что и в этом случае

w должно быть

рав­

но

нулю, но, положив

w =

0,

мы

не удовлетворили

бы