Файл: Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью.pdf

III. Пусть движение объекта описывается следующей системой уравнений:

X = X + Зу — и — яр!,

у = 2у — и — яр2,

где ярг и яр2 — некоррелированные стационарные случайные

типа «белый шум» с постоянной спектральной плот­

0

— T ’s2 s

Выполнив операцию факторизации этой матрицы, получим

QoS2 -|- a^s -|- а„

1 TjS

а2= ХТг> О.

Так как все элементы матрицы JR (матрица весовых кон­ стант при дисперсиях координат объекта в критерии каче­

98

т. е. уравнение оптимального регулятора запишется в виде

Нетрудно убедиться, что при X = 0 (все фазовые коор­ динаты объекта, входящие в закон управления, измеряются точно, без погрешностей) передаточные функции wx (s) и w%(s) совпадают с соответствующими передаточными функ­ циями оптимального регулятора, полученными при реше­ нии примера в § 1 гл. 2.

7*

Круг задач, для решения которых может быть использован изложенный в гл. 1 метод синтеза линейных систем с об­ ратной связью, не исчерпывается задачами, исследованными выше. В настоящей главе будут рассмотрены еще два вида задач. Во-первых, будет указан алгоритм решения задач стабилизации, когда имеется несколько различных каналов измерения одних и тех же координат объекта. Во-вторых, будет приведена задача оптимального воспроизведения по­ лезного сигнала в присутствии помех системой с обратной связью, т. е. задача синтеза оптимальной следящей системы.

Изложенные выше постановка и решение задачи оптималь­ ной стабилизации предполагали, что при формировании за­ кона управления каждой координате объекта соответствует лишь один измерительный канал. Однако современные на­ вигационные комплексы и системы управления, как пра­ вило, могут использовать и дополнительные каналы изме­ рения для повышения точности определения координат движущегося объекта и улучшения «качества управления». Задачи оптимального определения координат объекта при наличии «избыточных» каналов измерения (так называе­ мые задачи ^омплексировяиия. или задачи с «избыточной» информацией) рассматривались многими авторами (см., на­ пример, [4, 23, 30]). Ниже будет показано, что и при «из­ быточной» информации задача оптимальной стабилизации может быть решена методом, использованным в гл. 1—3.

100

В простейшей постановке задача формулируется следую­ щим образом. Пусть движение объекта описывается урав­ нением

где X— координата объекта, и — управляющее воздей­ ствие, ф — внешнее возмущение, Р и М операторные по­

датчиками, причем первый измеряет координату л: с адди­ тивной помехой фх, а второй — с аддитивной помехой ф2. Внешнее возмущение ф и помехи срх и ср2 предполагаются стационарными случайными процессами с нулевым матема­ тическим ожиданием и матрицей спектральных плотностей

(операторные полиномы W0 (p), W i(p), W2 (р)) так, чтобы замкнутая система была устойчива и в установившемся ре­ жиме функционал

достигал минимума. Здесь г и с2 — неотрицательные весо­

вые константы, (х2), (и2) и (й2) — дисперсии х, и и

Используя преобразование Лапласа к уравнениям (4.1) и (4.3), получаем

101

(здесь и далее аргумент s опускается).

Так как замкнутая система должна быть устойчивой и, следовательно, передаточные функции F'l, Ft, Ft', Ft', FT, F t* не должны иметь полюсов в правой полуплоскости, то, используя преобразование Фурье, функционал (4.4) можно записать следующим образом:

(4.7) следует ограничить так, чтобы соответствующие ва­

то из физической реализуемости функций Ft, Ft, FT и FT и их вариаций следует физическая реализуемость функций

F f и Ft' и их вариаций.

Как видно из (4.6), четыре передаточные функции Ft, Ft, FT и FT удовлетворяют двум уравнениям связи

P r t - M f i - i . 1

PFT — MFT = 0

102-