Файл: Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 13.07.2024
Просмотров: 133
Скачиваний: 0
6Ф. Принимая во внимание формулы (1.63) и (1.65), находим, что из требования аналитичности в правой полуплоскости вариаций 8FX, бF u и 6Ф вытекает требование аналитичности в правой полуплоскости матрицы Z вместе с обратной. К та кому же выводу можно прийти, исходя из требования устой чивости замкнутой системы.
Пусть в результате решения соответствующего уравне ния Винера— Хопфа найдена матрица Ф , обращающая в нуль первую вариацию функционала (1.73). Поскольку эта матрица является аналитической в правой полуплоскости, ее можно записать в виде
где ф0 (s) — общий знаменатель элементов матрицы Ф (гурвицев полином), Ф 0 — полиномиальная матрица.
Согласно (1.62) и (1.56),
W0 = Фо (s) В + ФоМ. W = Ф 0Р — Фо (s) А.
Дважды воспользовавшись формулой вычисления опре делителя блочной матрицы [5]
АВ
С D = \A \.\D -CA -'B\ ( И | ^ 0 ) , (1.75)
характеристический определитель системы уравнений (1.51), (1.52), описывающей движение замкнутой системы объект -f- 4- регулятор, можно записать так:
Р |
— М |
A(s) = |
Ар (s) det (W0 — WP-'М) = |
— W |
w 0 |
= Ар (s) det [фо (s) В + Ф0М — (Ф0Р — Фо (s) А) Р 1М] =
= |
Ар (s) ф'0" (s) det (В + |
|
АР~‘М) = |
|
= |
Р |
— М~\ |
= |
Фо! (s) det Z. |
Фот (5) det |
В |
|||
|
А |
|
|
Таким образом, замкнутая система будет устойчивой, если det Z — гурвицев полином. Но так как матрица Z — полиномиальная, то из этого следует аналитичность матри цы Z~l в правой полуплоскости.
31
Перейдем непосредственно к решению задачи. Запишем выражение для первой вариации функционала (1.73):
8е = А- |
6Ф. |
|
д |
6Ф |
ds, |
|
дФ |
||||
1 |
* 0 Ф„ |
|
* |
|
|
где |
|
|
|
|
|
{ } = |
1%Q7'G*GQ- ' Ф |
+ Ф Д -' (N,R - |
|
||
|
~G ^G Q -'A )P -]]S^, |
|
|
||
или |
/м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& = |
- f J Sp{6®1|1[Q.-1G,GQ-,0 + |
|
|||
|
— /со |
|
|
|
|
+ 07' 0Ѵ*Я - |
G*G<T'Л) |
|
+ 5ф ^ Q r'G .G Q -* + |
||
+ Р~' (RN - A*Q7%G) Q -1] 6Ф} ds. |
(1.76) |
||||
Факторизуем матрицы 5ф и |
Q~'G^GQ-1 [35 J, |
T. e. пред |
|||
ставим их в виде |
|
|
|
|
|
|
5ф = |
ГГ*, |
|
(1.77) |
|
|
Q7lG*GQ~' = |
H Ji\ |
|
(1.78) |
где матрицы Г и Я вместе с обратными аналитические в правой полуплоскости и вещественны.
Если матрицу Н~х(Q7'N.^R — Н^НА) Р -1Г предста вить как сумму трех матриц:
Я Г 1(Q7'M*R - Я ,Я Л ) р - ‘г = к 0 + К + + К -, (1.79)
ще элементы матрицы /(0 — целые части (полиномы от s), Л+ — правильные дроби с полюсами только в левой полу плоскости, К - — правильные дроби с полюсами только в правой полуплоскости, то матрица Ф, обращающая в нуль 1 ервую вариацию функционала (1.76) и имеющая полюсы только в левой полуплоскости, определится соотношением
Ф = — Я -1 (К0 + /(+) Г-1 . |
(1.80) |
Чтобы получить окончательную формулу для искомой матрицы не, едаточных функций регулятора, проделаем не
1 Такая факторизация предполагает положительную определен ность матрицы GJJ , что накладывает определенные ограничения на матрицы R и С (см. (1.74)).
32
которые промежуточные выкладки. Используя (1.79), пре образуем (1.80) к виду
ф = |
А Р~1— Q (G^G)“ 1Л^РР“ 1+ Н -'К -Г-1 . |
(1.81) |
||
Тогда |
|
|
|
|
В + « М |
- В + ^ - |
АѴ + |
« (0 .0 )-'JV ,W |
+ |
|
+ |
H ~' К-Т~'м . |
|
(1.82) |
Из (1.70) имеем |
|
|
В + |
АЯ = |
< 2 |
|
Д p ( s ) |
Д р (S) |
исоотношение (1.82), учитывая (1.74), можно преобразовать
квиду
В+ ФМ = Q ( В Д - 1а; ( S ) С + Н - 1К-Т~'М ,
или, согласно (1.78):
в + Фм = я -1 (др (s) я е д е д + К-Т-'м). (і .83)
Аналогично, подставив в (ФР — А) значение Ф из (1.81), получим
ФР _ А = А — Q (G*G)-' Я»Р + Н ~1К -Г~'Р — А —
= Я -1 (К _Г“ 'Р — H~'Q~'NtR). |
(1.84) |
Таким образом, искомая матрица передаточных функций оптимального регулятора определится, согласно (1.62), (1.83) и (1.84), формулой
W = (В + ФМ)“ 1(ФР — А) =
= [д;(s) HZ'QT'C+ к-ѵ-'мг1[Я-г-'р- яедгХР].
(1.85)
Приведем еще один вариант формулы для W, получае мой непосредственной подстановкой (1.80) в (1.62), который понадобится в дальнейшем:
IT = |
[{К0+ |
К+) Т~'М - Н В Г' [(К0 + К+) Г - 'Р + НА]. |
|
|
|
(1.85 |
а) |
Для определения минимального значения функционала |
|||
(1.73) сначала преобразуем его так: |
|
||
е = |
/°° |
Sp{№* + Р~' (RNQ-'H -'H -' - Л,)] HJH [Ф + |
|
у - J |
|
3 3 - 5 8 2 |
33 |
|
+ (H~'H7'Q7'NtR ~ |
А) Д '1] 5ф - P ~ l (RNQ-'H-'HZ' - |
- A J H J i |
- А) p - % + |
+ P - l [(En - |
AtQZ'NJ R (En - NQ-'A) + |
+ A,QrlА; (S) CAP (S) Q-'A] p - % } ds.
Подставив значение Ф из (1.80) в эту формулу и исполь зуя (1.79) и (1.78), получим выражение для минимального значения функционала качества
/оо |
|
втіп = 4- { [Sp (K _ ,K _ ) + Tj (s)] ds, |
(1.86) |
— /оо
где
ч (s) = Sp (Р ~ % Р ^ [R - RN (G .ß r' В Д } .
Полученное решение задачи (формулы (1.85) и (1.86)) требует проведения дополнительных исследований, а имен но необходимо показать независимость решения от произво ла в выборе матриц А и В и указать алгоритм перехода от матрицы передаточных функций регулятора к его уравне нию, т. е. получить соотношение вида (1.52), что и сделано ниже. Кроме того, в конце параграфа указан класс внешних возмущений, относительно которых регулятор сохраняет свойство оптимальности.
Покажем независимость решения задачи {W и етіп) от произвола в выборе матриц А и В. Пусть варьируемая ма
трица Ф выбрана в виде
Ф= ÄFX+ BFU,
т.е. матрицы передаточных функций Fx и Fu связаны с варьируемой матрицей Ф уравнением
'Р |
— ЛГ |
~FX |
-Fx- |
' E ' |
А |
В |
= |
Z |
Ф |
Fu. |
Л . |
|||
Здесь ~А и В не совпадают с А и В, но удовлетворяют тре |
||||
бованию аналитичности в правой полуплоскости матрицы Z |
||||
вместе с обратной. |
|
|
W и етіп от матриц |
|
Для доказательства независимости |
А и В достаточно показать, что при замене А и J3 на А и В значения W и ешіп не изменятся.
34
Как видно из формул (1.85) и (1.86),'для этого достаточ но показать, что
H7'Q7l = H7'Q7l> |
(1.87) |
||
К - = К - |
|
(1 .8 8 ) |
|
Пусть П — матрица, определяемая |
уравнением |
||
z |
= u z ; |
|
(1.89) |
т. е. |
— М' 'Р |
~ М ■ |
|
'Р |
|||
П = ZZ-1 |
В |
|
(1.90) |
А |
А |
В |
Воспользовавшись формулой Фробениуса обращения блочных матриц и учитывая аналитичность в правой полу
плоскости матриц Z и Z вместе с обратными, убеждаемся, что матрица П имеет структуру
'Еп
П =
Дх
где Пх — матрица т X п, аналитическая в правой полу плоскости, П2 — матрица т X т, аналитическая вместе с обратной в правой полуплоскости.
Согласно (1.89), (1.70), (1.69) и (1.78):
|
А = |
ILP + П,А, |
1 |
|
|
В = — n xM + |
П2В, |
(1-91) |
|
|
J |
|||
Q = |
Ар (s) ( - и гМ + |
П2В) + |
(П,Р + |
ПИ) N = n 2Q, |
|
Ü ß = Q:'G*GQ-' = |
itfH 'H U T'. |
||
Так как матрица П2 аналитическая вместе с обратной в |
||||
правой |
полуплоскости, |
то |
|
|
и |
|
Я = ЯЩ -‘ |
(1.92) |
|
|
|
|
|
& 7107' = H7% *n-7.lQ7l = H T 'Q: 1,
т. е. равенство (1.87) доказано.
Для доказательства (1.88), как видно из (1.79) и (1.87),
достаточно доказать равенство |
|
[ЯЛЯ- 'Г]_ = [НАР-1Г]_, |
(1.93) |
3* |
35 |