Файл: Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие.pdf

Касательная к графику функции

в этой

точке совпадает

с осью Ох (так как

ft (1) = 0). Отметив еще, что f, (0)

= —

1, f, (1) = 0, легко представить

себе

график рассматриваемой функции (рис. 19).

Пример 2. f(x)—x2—3-/"л:2;

функция определена

и непрерывна

на

всей оси Ох. Ищем производную

Рис. 19

Рис. 20

ческой точки. Тогда при х <

— 1 ft (х) <0,

а при х

> — 1 ft (х)

> 0, от­

куда

следует,

что хг

=

— 1

является

точкой минимума функции,

причем

I

(—

1) — —2.

Далее

при х

< 0 ft (х)

>0, а

при х > 0 // (х)

<0,

поэтому

х2

=

0 есть точка максимума функции; f (0) =

0 и касательная

в этой

точке

совпадает с осью

Оу

(так как ft (0) =

оэ). Наконец,

при х

< 1 ft

(х)

< 0,

а

при х > 1 f

(х)

> 0,

таким образом, х3 =

1 является точкой

минимума

функции, причем f (1) =

— 2. Определив из уравнения f (х) =

х-

— 3 у/~х2 =

=

0

точки пересечения

графика функции у

= f (х) с

осью

Ох,

что

дает,

_4_

х3 — 3 = 0, х* = 27, х =

± У^27,

построим

этот график (рис. 20).

2.9. ДОСТАТОЧНЫЕ

УСЛОВИЯ

ЭКСТРЕМУМА,

ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ

ВТОРУЮ И СТАРШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ

Теорема. Если в некоторой

окрестности критической

точки х0

функция

f (х) дважды

дифференцируема,

причем

ее вторая

произ­

водная в этой окрестности непрерывна,

то в случае f" (х0) < 0

имеем

максимум,

а в случае f" (x)>0 имеем минимум.

_

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Напишем

формулу

Тейлора

второго

порядка

[формула (2.8) ] при п = 2, заменив а на

х0,

f{x)=f(x0)

+ ^ - ( x - x 0

) +П £ (*_*„)*.

Функция / (х) дифференцируема

в критической точке

х0

(даже

дважды дифференцируема), в силу

чего /' (х0) = 0 (см. § 2.7) и это

равенство

принимает вид

f(x)-f(x0)

= f^EL(x-x0)\

(2.19)

Пусть

f" ( х 0 ) < 0 ;

тогда

вследствие непрерывной

второй

про­

изводной обязательно существует такая окрестность точки х0,

в ко­

торой /" (х)< 0 (там же, стр. 161). Пусть х

в формуле

(2.19)

при­

надлежит этой окрестности. Но тогда и с, лежащее

между х0 и х,

тоже принадлежит этой окрестности, в силу чего

/" (с) < 0 . Так

как (х — х0)2^>0,

то правая

часть

(2.19) в

этом

случае отрица­

тельна, откуда и / (х) —ч/ (х0)<СО,

что равносильно

(2.16).

Аналогично доказывается вторая часть теоремы.-

Итак, если в критической точке х0 будет

/' (х0)

=

0, /" (х0 )-<0,

то х = х0

есть

точка

максимума;

если же

(х0)

=

0, /" (х0 )>>0,

1

2

3

Пример 1.

/(.Y) =

—

х4

— X S

— ж 3

+ 2 ;

функция

определена

и

непрерывна

на

всей

оси

Ох.

Имеем

I' (х) = XS

— 2х%

— 3*;

производная

всюду существует и конечна, в силу

чего критическими

точками здесь

будут

только те точки, в которых f' (х)

=

0.

Определяем эти точки, для чего ре­

шаем

уравнение

(х) =

х3 — 2,v2

— Зх =

0.

Корни этого

уравнения

(в по­

рядке возрастания) х1

=

— 1, х2

=

0; xs

=

3. Далее находим

f" (х) =

Зх2

—

— ^x —

I" (— 1) =

4 > 0, откуда

хг

= — 1 есть точка

минимума

функ-

17

х2

ции,

причем / ( — 1) =

—

; /" (0) =

— 3 < 0 ;

поэтому

=

0

есть

точка

максимума,

причем f, (0)

=

2; {," (3) =

12 >

0„ а х3

— 3 есть точка минимума,

причем / (3)=

37

График

функции у

=

f, (х) представлен

на рис.

21 „

4

руководствуясь следующим признаком: если функция

f (х)

непре­

рывна на

некотором

промежутке

и

имеет

на

этом

промежутке

единственный

экстремум,

то

соответствующее

значение

функции

будет наибольшим

или

наименьшим

в зависимости

от того,

будет

ли

этот

экстремум

максимумом

или

минимумом.

Действительно,

пусть

х0

является

единственной

точкой

экстремума

функ­

ции f (х) и этот

экстремум — максимум.

Предположим,

что

на

этом

проме­

жутке существует

такая

точка

хг,

что

/ ( * i ) > / (хо)

( Р и с - 23). В силу

непрерыв­

ности f (х) на замкнутом интервале с кон-

i

i

i

цами в точках х0

и хх

она

принимает на

хо

*г

*<

х

этом интервале свое наименьшее значе-

р и

с

2

3

ние в некоторой точке х2.

Эта

точка,

очевидно, не может совпасть ни с х0

ни

с хг

и потому

оказывается

точкой

минимума

функции

/ (х).

Но

это противоречит предположению о единственном экстремуме

функ­

ции;

поэтому

неравенство

/ ( x x ) > /

(х0)

несправедливо и /(x)-<

f(x0)

для

всех

х

из

рассматриваемого

промежутка.

Таким

образом,

f (х0)

есть

наибольшее

значение

функции.

Случай

когда

един­

ственный

экстремум есть

минимум,

рассматривается

аналогично.

Пример

1.

fi (х)

=

х2

In х; область определения — промежуток (0; +

со).

На этом промежутке производная f[ (х) —

2х

In х

+

х существует и конечна.

Из уравнения ff

(х)

=

0 находим единственную критическую точку х=

,

Т' е-

при-надлежащую

промежутку

(0;

+

со). ft" (д;)=21п х +

3;

f I—т=г|

=

2 > 0 ,

V Уе

I

следовательно,

в точке х —

V е

функция

имеет минимум. Поскольку

это

единственный экстремум функции I (х)

на

промежутке

(0;

+

со), то

в точке

х = — ф у н к ц и я

I (х)

принимает

наименьшее

значение на

промежутке,

•У г

(0; +

со) которое равно

*[~ут) =

"

I

T

во внутренней точке интервала

[а, Ь], то оно будет одним из макси­

мумов. Но оно может достигаться и в граничных точках

интервала.

Следовательно, для отыскания

наибольшего значения

функции

(х) на замкнутом интервале [a; b ] надо сравнить все ее максимумы

Пример

2.

I (х) = V х2

(1 — л-2);

область

определения

— замкнутый

интервал

[—

1;

1]. Наибольшее и наименьшее

значения f: (х), очевидно, до­

стигаются

в тех

же точках,

что и для функции

ср (А-) =

х" (1 — л;2),

рассмат­

У

риваемой

на

интервале

[— 1;

1].

Имеем

ф'

(.г) =

2.v (1 — 2л-2);

ф" (х)

=

2 — 12л-2.

Критические

точки

функции ф (х) находим

из

уравнения ф' (х) = О, корни ко­

торого

Рис.

24

1

то функция ф (л) в точках

хх

и

х3

имеет максимум, равный ф I

I =

ф

1

х« — мини-

—

\У

2

I

— , а в точке

мум, равный ф (0)

=

0.

I

1 2 /

это

4

=

Сопоставив

со

значениями на концах ф ( — 1)

=

Ф (1) =

0,

найдем,

что

наибольшим

значением

ф (х)

на

интервале

[—

1;

1]

будет—!—,

что достигается

при

х=

± - 4 = 1

наименьшим

будет

0 при

х =

4

I (х) —

Уф

(х)

/ 2

± 1 и

0.

Для

функции

наибольшим

значением

будет

—

в точках

х =

± —L=R,

а наименьшим—0 в точках х =

± 1 и 0 (рис.

24)

2

]/ 2

Рассмотрим три задачи на отыскание наибольших и наименьших

значений

функций.

Задача

1. Дано

уравнение

прямолинейного

движения

точки

х = 6t2 — t3

{t — в секундах,

х — в метрах). Найти наибольшую

скорость

точки.

dx

=

\2t — З^2.

Р е ш е н и е .

Скорость

точки

v — —

Требуется

найти наибольшее значение этой функции на промежутке

(0, +

со).

На этом промежутке

функция

v —

v (f)

дифференцируема,

причем

v'

= 12 — 6£. Из

уравнения

v'

=

12 — 6^ =

0

находим

единст­

венную критическую

точку

t =

2. Далее, v"

=

—6 < 0 для

всех

t,

в частности при

t

=

2.

Следовательно, при

t — 2 скорость

v

(t)