Файл: Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие.pdf

Скачать файл (5,83Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 14.07.2024

Просмотров: 123

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

дулю, что точка х + Ах тоже

принадлежит

этому

промежутку.

По определению производной

(JC) = lim

/(•* + А * ) - / ( . * )

(2.15)

Д.1--0

Дх

Если

(х)

возрастает

на

рассматриваемом

промежутке,

то,

(х + Ax)>f

(х) при А д ; > 0

f (х +

Ax)<f

(х)

при

Ах<$

(там

же, стр. 131), а потому

дробь

под знаком

предела

в равенстве

(2.15)

положи

тельна. Пределом

положи

тельной

величины

может

быть только положительное

число, либо нуль, а потому

в этом

случае

{х) У> 0 .

Вторая

часть

теоремы

Рис.

доказывается

аналогично

и ее доказательство

предо

ставляем

читателю.

на

Теорема

(Достаточный

признак

монотонности),

а)

Если

некотором

промежутке f

(х) > 0

, /по на этом

промежутке

функ

ция f (х)

возрастает,

б) Если

на

некотором

промежутке f

( х ) < 0 ,

то

на

этом

промежутке

функция

f (х)

убывает.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

любые

две точки рассматриваемого

промежутка,

такие,

что

			Рис.	15			Рис.	16
* 2 > * i -		По формуле			Лагранжа / (д;2) — / (хг ) = (х2 —• xj				f (с),
где	x 1 <<c < : X 2 .		Если		f (х)^>0 на рассматриваемом промежутке,
то	и /' ( с ) > 0 ,		а так		как х%	—х1^>0, то из предыдущего			равен
ства следует, что в этом случае f{x%)—f(xj)							> 0 или / (х2 ) >		(fx-j).
Но	это	и означает,		что f(x)		возрастает	на рассматриваемом про
межутке. Если			же на		этом промежутке /' (лг)<50, то аналогично
находим,		что в	этом		случае	f {х2). <Cf (xx ), откуда		следует	убы
вание функции, на				промежутке.

Доказанные теоремы могут быть просто истолкованы геометри чески. В любой точке промежутка возрастания функции у = f (х) касательная к ее графику образует с осью Ох острый угол ср (рис. 14) на промежутке убывания функции угол ср тупой. Таким образом,

•промежутку		возрастания			функции	/ (х)	соответствует		случай
tg ф = Г (*)>0,			а	промежутку		убывания — случай			tg ср =
=	Г ( х ) < 0 .	' _
у'	Пример 1. у = х2		— 4х +		1; область определения — вся ось			Ох. Имеем
	= 2х — 4 =	2 (х—	2).	Видим, что у'<		0 при	х < 2 и у'> О	при х > 2.

Отсюда в силу второй теоремы заключаем, что на промежутке (— со; 2) функ

ция убывает, а на промежутке (2;						+ со) возрастает (рис. 15); в точке х = 2
убывание переходит в возрастание.
	Пример 2.	у	= хе~А;	область,		определения — вся				ось Ох. Имеем у' —
=	е~х — хе~х	=	(1 — х) е~х.		Так как е~х		> 0, то у'		>	0 при х <1 и у' <0
при л > 1 , .следовательно,				на'промежутке			( — с о ;	1)	функция		возрастает,
на	промежутке (1; + со)			убывает. В точке х =				1 возрастание			переходит
в	убывание (рис.		16).
			2.7. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ.
		НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА
	Функция	/ (к) может			убывать или		возрастать			не во всей своей

области определения. Эта область часто распадается на промежутки возрастания и убывания функции (рис. 17). Точка, отделяющая


промежуток			возрастания от
промежутка убывания функ- У
ции,		называется			т о ч к о й
э к с т р е м у м а						ф у н к
ц и и		(точки		хх, х2,		х3, А.'4
на рис. 17). Точки экстремума
бывают двух			типов:		т о ч к и
м а к с и м у м а				ф у н к ц и и
(точки		хх и л"з), где			функция		'
переходит			от	возрастания
к	убыванию			(если		продви
гаться		в направлении				возра
стания координатых),						и т о ч
к и	м и н и м у м а					ф у н к	Рис. 17

ц и и

(точки

х2

и x4 ), где

функция

переходит от убывания

к возрастанию. В

точке макси

мума

величина

функции

/ (х)

больше, а

точке

минимума —

меньше, чем

во

всех соседних

достаточно

близких точках. Таким

образом, приходим к следующему определению:

1. Точка х0 называется точкой

максимума

функции

f (х),

если

для любой

точки

х, принадлео/сащей

достаточно малой

окрестности

точки

х0,

,. .

^,. .

f(x)<f(Xo).

(2.16)

2. Точка х0 называется

точкой

минимума

функции

f (х),

если

для любой

точки

х, принадлежащей

достаточно

малой

окрестности

точки

х0,

, . w

, , ,

f(x)>f(x0).

(2.17)

Значения функции f (х) в точках ее максимума и минимума на зывают соответственно м а к с и м у м о м и м и н и м у м о м ф у н к ц и и f (х).

Таким образом, максимум и минимум функции — это не наи большее и наименьшее ее значения во всей области определения функции, а только наибольшее и соответственно наименьшее зна чения функции по сравнению со значениями функции во всех со

седних, достаточно	близких	точках.
Теорема. Если	функция	f (х) дифференцируема в точке		х0 и
имеет в этой точке экстремум, то f (х0) =			0.	дока
Д о к а з а т е л ь с т в о		не отличается	по существу от	дока

зательства теоремы Ролля. Пусть в точке х0 функция имеет макси

		мум.		Тогда		в силу (2.16) для произ
У"*3	I	вольного			достаточно			малого	по мо-
У"*3	I	дулю		Ах	будет
					f (л-0	+ ДА) — f (*„)		< 0
						Ах
					при	Д х > 0 ;			(2.18)
				/ ( * „ + Д А - ) - / ( А - 0 )				> 0	(2.18)
				/ ( * „ + Д А - ) - / ( А - 0 )				> 0
						ДА:
					при	Д х < 0 .
			При Ах			0 оба эти отношения стре-
Рис. is		мятся		к	общему		пределу /' (х0),		откуда
		и	следует, что f				(х0) =	0.
В случае, когда в точке х0			функция f (х) имеет минимум, рассуж

даем аналогично; предоставим читателю самостоятельно провести эти рассуждения.

Геометрически теорема истолковывается следующим образом: если в точке экстремума график функции у = f (х) имеет касатель- • ную и эта касательная не параллельна оси Оу (как, например, в точке х3 на рис. 17), то эта касательная непременно параллельна

оси Ох (точки х1г	х 2 на рис. 17).	и где,
Кроме точек экстремума, где функция дифференцируема		и где,
как мы видели,	/' (х) = 0 (точки х 2 и х 2 на рис. 17), могут	быть

и такие точки экстремума, где функция недифференцируема. В точке х3 на рис. 17 функция имеет максимум, а в точке х4 — минимум, причем в первой из этих точек /' (х) = со (касательная к графику функции в этой точке параллельна оси ординат), а во второй —

(х) вообще не существует (график функции в этой точке не имеет касательной).

Из изложенного вытекает следующее практическое правило:


точки,	в которых функция	имеет экстремумы,		надлежит	искать
среди	точек, где либо f (х) = 0, либо		f (х) = со, либо f (х) не су
ществует, причем в двух последних			случаях	предполагается не
прерывность функции / (х) в соответствующей точке. Точки					указан
ных трех типов называются		к р и т и ч е с к и м и .

Не в каждой критической точке функция имеет экстремум. Так, например, для функции у = х3 точка х = 0 будет критической, так как в этой точке у' = дх2 = 0; однако в этой точке функция

у= х3 не имеет экстремума (рис. 18).

Вдвух следующих параграфах получены признаки, с помощью которых можно решать вопрос о наличии экстремума в критической точке.

2.8.ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА, ИСПОЛЬЗУЮЩЕЕ ПЕРВУЮ ПРОИЗВОДНУЮ

Теорема. Пусть

х0

будет

критической

точкой

функции

f (х);

а) если в некоторой

окрестности этой точки f',(x)>-0 при

x<ixQ,

Г С*0<СО

при

х^>х0,

то х0

будет

точкой

максимума

функции

f (х); б)

если

же f

( х ) < 0

при х<Сх0, f

( x ) > 0

при

х^>х0,

то

х0 будет точкой минимума

функции

f (х).

,x<ix0

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В случае

«а»

при

функция

возрастает,

при х > х 0 — убывает

(см.

2.6, теорему 3),

сле

довательно,

в точке

х0 функция переходит от возрастания к

убы

ванию, т. е. х0

есть точка

максимума. Аналогичное рассуждение

проводится

случае

«б»).

Итак, достаточное условие наличия экстремума в критической точке х0 функции / (х) состоит в перемене знака производной /' (х) при переходе через точку ха. Если при переходе через х0 производ ная /' (х) меняет знак с плюса на минус, то в точке х0 будет макси мум, если же с минуса на плюс,— то минимум.

Если при переходе через критическую точку производная не меняет знака, то в критической точке экстремума нет, и эта точка принадлежит либо промежутку возрастания, либо промежутку убывания функции, в зависимости от знака f (х).

Пример 1.	ft (х)	=	(х +	I ) 2	(х — I ) 3 ; функция	определена	и	непрерывна
на всей оси Ох. Ее производная
f' {х) = 2 {х +	1) (х	-	I ) 3 +	3	(х + I ) 2 {х - I ) 2 =	(х + 1) (х	-	I ) 2 (5х +1)

всюду существует и конечна. Следовательно, критическими здесь будут только

те точки, в которых f{ (х) =

т. е. точки (располагаем их в порядке

возрас

тания)

X-L

— 1;

х% =

; хя

1. Исследуем

эти

точки.

Пусть х — точка, принадлежащая достаточно малой окрестности

соот

ветствующей

критической

точки.

Тогда

при

х < — 1 ft (х) >

при

х > — 1 I' (х)

< 0;

отсюда

следует,

что хг

— 1 есть

точка

максимума

функции, причем

J5(—1) =

0. Далее при х<

—f/

(х) < 0,

а при х >

— J—

f (х)^>0;

следовательно,

х2

есть

точка

минимума

функции,

при-

чем / (

—\

— — ~ r ~

— Ы -

Наконец,

при

1 /' (х) >

при

3125

х > 1 f,' (х)

при переходе

через

точку х3

1 производная

не

меняет

знака, оставаясь

положительной. Следовательно, точка х3 = 1 не является

точкой

экстремума,

а принадлежит

промежутку

возрастания

функции.

Смотрите также файлы

Караваев М.М. Промышленный синтез метанола.pdf

Лабораторна робота №13 Оформление.doc

Кашепава М.Я. Современные отечественные и зарубежные координатно-расточные станки обзор.pdf

Лабораторна робота №13.doc

Косачев Г.Г. Экономическая оценка сельскохозяйственной техники.pdf

Файл: Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно