Файл: Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 14.07.2024

Просмотров: 126

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Применив формулу конечных при­ ращений (2.6), получим

/ (х0 + Ах) — f (х0) — Ах•/' (х0) = Ах• /' (х0 +

0Ах) — Ах х

X f (х0) = Ах [f (х0 + 9Ах) —/' (х0 )).

 

 

(о<е<1)

 

 

Если производная /'

(х) имеет в точке х0 экстремум, то

разность

/' (х0 + 6Ах) — /' (х0)

имеет для достаточно

малых по

модулю

Ах постоянный знак, в силу чего правая, а значит и левая часть предыдущего равенства, меняет свой знак с изменением знака Ах, что и требовалось доказать.

Если /' (х) имеет в точке х0 максимум, то при переходе через точку х„ производная от f (х), т. е. /" (х), изменяет знак с плюса на минус, поэтому до точки х0 кривая у = f (х) вогнута, а после этой точки выпукла. Следовательно, если /' (х) имеет в точке х0 макси­ мум, то при переходе через эту точку вогнутость сменяется выпук­ лостью. Аналогично, если f (х) имеет в точке х0 минимум, то при переходе через эту точку выпуклость сменяется вогнутостью.

Из этой теоремы и выводов § 2.7 как следствие вытекает, что точки перегиба графика функции у = / (х) надлежит искать среди критических точек производной /' (х), т. е. среди точек, в которых либо /" (х) = 0, либо /" (х) = со, либо /" (х) не существует, при­ чем в двух последних случаях предполагается непрерывность функ­ ции / (х) в соответствующей точке.

Заметим, что не в каждой критической точке производной f (х) функция / (х) имеет точку перегиба. Следствием соответствующих теорем об экстремумах функций являются следующие достаточные

условия

для точек

перегиба:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л Пусть х0 будет критическая

точка производной

f

(х): а) если

в некоторой

окрестности

этой

точки

будет

f"

(х) > 0

при

х < * о

и /" ( х ) < 0

при

 

х0 >-х0 , то

точка

х0

будет точкой

перегиба, в ко­

торой

вогнутость

переходит

в

выпуклость;

б)

если

же

будет,

f" ( х ) < 0

при

х < х 0

и f" (х)

>»0

при

х > х 0 ,

то точка х0

будет

точкой

перегиба,

в

которой

выпуклость

переходит

в

вогнутость.

2. Пусть в некоторой окрестности

критической

точки х0 про­

изводной

f

(х)

функция

f (х)

трижды

дифференцируема,

причем

третья

 

производная

функции

 

в

этой

окрестности

непрерывна.

Тогда в случае f" (х0)

< 0

имеем точку

перегиба,

в которой

вогну­

тость

переходит

в выпуклость,

 

а в случае

f"

(х0)

>

0 имеем

точку

перегиба,

в которой

выпуклость

переходит

в

вогнутость.

 

Пример 1. f (х) =

3

-.

область

определения

функции — вся

ось Ох.

т/~~х;

Имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

>

/

\"l —

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З у д : 2

 

 

 

 

 

9 у

ж5

 

 

 

 

Вторая производн-ая /" (х) нигде в нуль не обращается, а /" (0) = со. Получаем единственную критическую точку х = 0 производной /' (х). При

53

x <0

f" (х) >0, а при х >0

f," (х)

<0;

следовательно,

х = 0

будет

точкой

перегиба, в которой вогнутость

переходит в выпуклость, а так как

(0)

= 0 0 ,

то касательная в этой точке параллельна оси Оу (рис. 29).

 

 

 

 

 

Пример 2.

у =

х3

— Зх 2 +

1; область определения — вся ось Ох. Имеем

у" =

6х — 6,

у'" — 6.

Вторая

производная

определена

и конечна

на

всей

оси Ох, а потому из

уравнения

у" =

6 х — 6 =

0 находим

единственную

критическую точку х

= 1 производной у'.

Так как у'" =

6 > 0 везде,

в том

 

 

у

 

 

 

 

числе и в точке х =

1, то имеем в этой

точке

 

 

 

 

 

 

точку перегиба, в которой выпуклость пере­

 

 

 

 

 

 

 

ходит в вогнутость

(рис. 27).

 

 

 

 

 

 

 

JT

 

 

2.13.

ОТЫСКАНИЕ

АСИМПТОТ

ПЛОСКИХ

 

 

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КРИВЫХ

 

 

 

 

 

 

 

j0

 

 

х

 

Пусть

 

кривая

является

графиком

 

 

/

 

 

 

 

функции

 

у — f (х).

Может

случиться,

 

 

 

 

 

 

что

при х

-> +

со или

при

X ->

—

от

 

 

 

 

 

 

кривая

неограниченно

приближается

 

 

Р и с

- 29

 

 

 

к некоторой прямой у = kx + Ъ, назы-

 

 

 

 

 

ваемой

а с и м п т о т о й

данной

 

кри­

 

 

 

 

 

 

вой (рис. 30). Если k ф 0, то асимптоту

будем

называть

н а к л о н н о й ;

если

же k =

0,

будем

 

назы­

вать

ее г о р и з о н т а л ь н о й .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение. Прямая

у — kx +

Ь называется

асимптотой

кри­

вой у =

/ (х) при х

-> +

со (или при х

-у — со),

если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

[f(x)-kx—b]

 

= 0

 

 

 

 

 

 

(2.22)

(или,

соответственно, при х -> —

со) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 30

Пусть кривая

У — f (х)

имеет асимптоту

у = kx + Ь при

х -> +

с о . Тогда

имеет

место

равенство (2.22),

разделив которое

на х,

получим

 

fix)

 

 

 

 

lira

= 0,

 

 

 

Х - +CXD

 

 

или

 

lim

f{x)

-k— lim — = 0,

 

 

 

 

х-*+оо

X-f + oo

x

54

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

k=

lim

 

(2.23)

-

 

 

 

*~+co

x

 

 

Из равенства (2.22) сразу следует, что

 

 

 

 

Ь=

lim lf(x)

— kx}.

(2.24)

Таким

образом,

если кривая у

= f (х)

имеет асимптоту у

=

= kx + b при х -у

+ со, то справедливы равенства (2.23) и (2.2,4)

Обратно,

если существуют

конечные пределы (2.23) и (2.24),

то

из (2.24) сразу вытекает (2.22), т. е. следует наличие асимптоты.

Итак, для нахождения асимптоты

у =

kx +

b

кривой

г/

=

= / (х)

при х -> +

со находим

сначала

& по формуле (2.23),

най­

денное

значение k

подставляем

в формулу

(2.24)

и

вычисляем

Ь.

Если по крайней мере один из пределов (2.23) и (2.24) бесконечен

или не существует, то кривая не имеет асимптоты

при х -* +

с о .

Для

асимптоты

при х.

— со проводятся

те же самые

рассужде­

ния,

но при х

-> —

с о .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример

1.

у

=

хе~х.

Находим

асимптоту

при

х - > +

со:

 

 

 

 

 

 

 

 

k=

lim

I ^

L

=

lim

 

e~x

=

0;

 

 

 

 

 

b=

lim

[f (x)—

kx]—

lim

xe~x

= (со• 0) =

 

lim

=

 

 

 

 

X-'+CO

 

 

 

 

X-t+CO

 

 

 

.v->-+oo

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* - > - + CO

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

следовательно,

график

данной

функции

имеет при

 

х —•> +

со

горизонталь­

ную

асимптоту

у

=

0 (ось^Ох). Для

асимптоты

при

х-> —&о

находим

 

 

 

 

 

 

k =

lim

Лф-

=

lim

е~х

=

+

оо ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Х-1-—ОО

*

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

следовательно,

график функции при х - > —

со асимптоты

не имеет (рис.

16)

 

Пример 2.

у =

 

 

• Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х — 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

,.

 

fix)

• =

,.

->

х

=

(

со

\

 

l lii m

1

 

 

 

 

& =

lim

' >

lim

 

 

—

==

—

 

 

 

 

 

Х ^ ± С О

 

Х

Х - ± С О

X

 

1

\

СО

/

 

Л » - ±co;

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

[f(x)

—

kx\--

lim

 

 

 

 

• x\=

 

lim

 

—

.1.

 

 

 

Л"->-±О0

 

 

 

 

x-*±co

 

 

 

 

 

 

 

л--±оо

x—

1

 

 

Итак, при x -> + со и при х - > — со график имеет общую наклонную асимптоту у = х -f- 1.

Пусть теперь а — число. Может случиться, что при х -> а кри­ вая у = / (х) неограниченно приближается к прямой х — а (парал­ лельной оси Оу). Прямая х = а в этом случае тоже называется асимптотой (вертикальной) кривой у = / (х) (рис. 31). Итак, пря-

Рпс. 31

мая х = а называется вертикальной асимптотой кривой у = f (х), если выполняется одно из трех условий:

 

Пгп/(д:) =

оо,

Пт/ (х)

— с о ,

 

 

 

 

 

 

 

х-*а

 

 

 

 

х-ю

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х<а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П т /

(х) =

со;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при этом во втором и третьем случаях поведение функции / (х)

со-

ответственно при х ?>а

и при x^La

может

быть

любым (функция

 

 

 

 

 

здесь может быть даже

вообще

не

И

 

 

 

 

определена). Из этого определения

 

 

 

 

 

следует,

что для

отыскания

верти­

 

 

 

 

 

кальных

асимптот кривой y =

f(x)

 

 

 

 

 

надо

найти

точки

хх,

х2, . .

. ,

 

 

 

 

 

вблизи которых / (х) неограниченно

 

 

 

 

 

возрастает

 

по

модулю

(хотя

 

бы

 

 

 

 

 

с одной

стороны

от

соответствую­

 

 

 

 

 

щей

точки). Тогда

прямые х =

хг,

 

 

 

 

 

х = х2,

• . •

и

будут

вертикаль­

 

 

 

 

 

ными

асимптотами

кривой

 

у

=

 

 

 

 

 

=

f

(х).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример

3.

Еще

раз

обратимся

 

 

 

 

 

к функции у ••

 

1

• При х =

{

у

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X—

 

 

х = 1

Рис.

32

 

 

 

=

со, следовательно,

прямая

 

 

 

 

 

будет

вертикальной

асимптотой

этой

кривой. Взаимное расположение

кривой

и асимптоты

ясно из

следующего

дополнительного

исследования

(.рис,

32):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim — х2

=

— со ,

lim

х2

=

 

- j -

со .

 

 

 

 

 

 

x - l

1

 

 

 

Х- 1 X

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х<\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

56

2.14.ОБЩИЙ ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ

ИПОСТРОЕНИЯ ИХ ГРАФИКОВ

Знание промежутков возрастания и убывания функции у = = f (х), промежутков выпуклости и вогнутости, точек экстремума и точек перегиба функции f (х), а также асимптот позволяет соста­ вить достаточно полное представление о характере поведения функ-' ции и построить ее график. Таким образом, для построения графика

функции у

= f (х) нужно провести следующее исследование:

 

1 ) установить область определения функции:

 

 

2) найти точки пересечения графика с осями координат и, если

это

возможно,

отметить какие-нибудь особенности этого графика,

не

связанные

с производными (например, симметрию);

 

3) найти экстремумы функции и установить промежутки воз­

растания и убывания функции;

 

 

4 ) найти точки перегиба функции и' установить

промежутки

выпуклости

и

вогнутости графика;

 

 

5) найти

асимптоты графика.

 

 

Иногда для

уточнения вида графика целесообразно

вычислить

дополнительно еще несколько значений функции в «обыкновенных» точках.

Изложенную схему проиллюстрируем следующим примером:

Область определения — вся ось Ох, исключая точку х = 1. Точки пересечения графика с осями координат находим из усло­ вий: при х = 0 у = 0 (ось Оу пересекается в точке у = 0 ) , при у = 0 х = 0 (ось Ох пересекается в точке х = 0 ) . Далее находим

(л? — 1)2

(х3 — I)3

Производная у' существует и конечна везде в области определе­ ния функции, поэтому все критические точки функции находим из условия у' = 0, которое дает следующие две критические точки:

хх = 0, х2 =

4 . Если

х — точка,

принадлежащая

достаточно

малой окрестности

рассматриваемой критической

точки, то

z / ' i > 0

при х<С0 и у'<С0

при х > 0 , откуда хг

— 0

есть

точка

максимума

функции; ордината этого максимума уг

= f

(0) =

0 . При х =

х2

=

3

 

 

 

з

 

 

 

 

 

 

 

 

= 7 / 4 г / ' > 0 ,

в силу чего х2 =

у 4

будет точкой

минимума

функ­

ции; ордината этого минимума

у2

= f (у 4 ] = • — • > / " 4 .

На

проме-

Вторая производная у" тоже существует и конечна во всех точ­

ках области

определения

функции, а

потому из

условия

у"

=

0

 

 

 

 

 

 

 

 

3

у—

 

 

 

находим две

критические

точки:

хх

= 0

и*х3 — — -\/~2

первой

57

Смотрите также файлы