Файл: Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие.pdf

сверху круглого

цилиндрического

бака заданной вместимости

V.

Р е ш е н и е .

Наиболее экономичными будут те размеры бака

(х — радиус и

h — высота), при

которых его поверхность S

бу­

S' = 2nx-

2V_

R

' х2

S" = 23t

+ 4V

rh

rh

rh

3:

Производная

S'

существует

и конечна во всех точках про­

Pi

межутка

(0;

+

со),

поэтому

из уравнения

5'

= 0 находим

4 f J

единственную

критическую

3

/~v

л групп

точку

х—у

— .

Так

как

Рис.

25

S " > 0

во всех

точках

про-

межутка

(0;

+

со),

то

най­

денной критической точке соответствует минимум

функции 5. По­

скольку

функция 5

имеет на

промежутке (0;-f со) е д и н с т в е н-

н ы й

экстремум — минимум,

то этот

минимум и

будет наимень­

шим

значением

Si

Итак, наиболее экономичные

размеры

будут:

х-

з

V п

'

ях2 V я '

внутреннее сопротивление г и электродвижущую

силу Е, соеди­

нены в х последовательных групп, причем каждая

группа состоит

из у параллельно соединенных элементов (ху = п,

рис. 25); R —

Р е ш е н и е .

Если т элементов

соединены

последовательно,

^

'

цепи

„

тЕ

=

Е

— . если

то по закону Ома сила тока в

будет

тт +

R

'г+«-

тп

З а к аз № 1181

49

же

k

элементов

соединены

параллельно, то сила тока будет

———. Следовательно, сила тока

в цепи от всей

рассматриваемой

7 +

*

батареи

будет равна

I, =

Е

=

Е

=

Ex

[[а = г

4

J_+R_

I^_j_JL

ax2 + R \

п

у

х

п

1 X

Г(х) = Е

R ~ a

x 2

,

Г'(х)=2аЕ

(ах2~3^х

.

V

(ax* +

R)*

К

1

(ax* +

R)»

Производная Г (х) существует, конечна во всех точках интер­

вала (0; п) и обращается в нуль в единственной точке х=

- j - =

=

1 которая может принадлежать этому

интервалу.

Если

Д - < п ,

то точка

х=

j

/

"

- ^

принадлежит интервалу (0;

Rn

п

л /

гп

/

Обычно

вычисленные по этим формулам хну

будут

иррацио­

нальными,

тогда как имеют

смысл

только

натуральные

числа х

в о г н у т о й

на некотором промежутке, если она целиком лежит

над

касательной,

проведенной

к ней в

любой точке промежутка

(рис. 26, б). Если

график функции у =

/ (х) на некотором проме­

жутке выпуклый,

то Ay<C_dy,- а если вогнутый, то Ay~^>dy в лю­

бой

точке х

рассматриваемого

промежутка и для произвольного

Ах

=j= 0, настолько малого по модулю, чтобы точка х + Ах не вы-

х

х+йх

х

•

х+Ах

Рис.

26

шла за пределы этого промежутка. Так как

Ау =

/ (л: +

Ах) —

— / (х), a dy = Ах f

(х), то приходим к определению: кривая,

яв­

ляющаяся

графиком

функции

у — f'(x),

называется

выпуклой

на

некотором

промежутке,

если в любой

точке х этого промежутка

выполняется условие

f(x^Ax)~f(x)-Ax-f'(x)<0,

.

(2.20)

и вогнутой

на этом

промежутке,

если

в любой

его точке

f(x+Ax)^f{x)

— Ax-f(x)>>0,

(2.21)

где Ах Ф 0 — произвольная,

достаточно

малая по модулю

величина.

Теорема. Если функция

f (х)

дважды дифференцируема

на неко­

тором

промежутке,

причем

на

этом

промеоюутке

f" (х)<;0,

то

график

функции на этом

промежутке выпуклый;

если же f"

(х)^>0,

то график

вогнутый.

\

3*

51

где точка с лежит между х и х

+ Ах. Отсюда следует, что если

на

рассматриваемом

промежутке

/" (д:)-<0,

то

/ (х +

Ах)—f

(х)

—

— Ах f

(л-)<0,

если же /" ( х ) > 0 ,

то / (х +

Ах) — / (х) —

Ах

х

X f ( х ) > 0 ,

что

и требовалось

доказать.

Пример

1.

у — х3

—Ъх" +

1;

область

определения

— вся

ось

Ох.

Имеем у"

=

6х

— 6 =

6 (х — 1). Отсюда у" <0

при х < 1 и у"

>0

при х > 1,

следовательно,

на промежутке

(—оэ; 1)

график

функции

выпуклый,

а

на

промежутке

(1; +

оо) — вогнутый

(рис.

27).

Пример

2.

у

— sin дс;

область

определе­

ния — вся

ось

Ох.

Имеем

у"

=

— sin х

=

=

— у; отсюда у"

<0

при у

>0

и

г/" > 0

при

I/ < 0.

Следовательно

над осью

Ох

синусоида

выпуклости и промежутки вогнутости графика

функции (/

и / /

на рис. 28). Точки, отделяющие друг от друга

промежутки

вы­

пуклости и вогнутости графика функции у = f (х) называются

т о ч ­

к а м и

п е р е г и б а

этой функции

У\

(или графика этой функции).

Из

определения

выпуклой и

вогнутой

кривой

следует,

что

если

х0

есть

точка перегиба функции, то выра­

жение

' / (х) — / (х0) —

Axf

(х0),

где

Ах

= х — х0,

имеет различные

знаки

для любых

двух

точек

х,

достаточно близких к х0, но лежа­

щих по разные стороны от точки

х0.

Таким образом, приходим к сле­

дующему определению.

Определение. Точка

х0

называется точкой перегиба

функции

f (х), если для достаточно

малых по модулю Ах выражение

f

(х0 +

+

Ах)

— / (хд) — Axf

(х0)

меняет

свой знак одновременно

с

изме­

нением

знака

Ах.

Геометрически

это

значит,

что

кривая лежит над касательной

стороны

(рис. 28).

Теорема. Если

первая производная

f (х) функции

f (х)

имеет

в точке

х0 экстремум, то эта точка

является для

функции

f (х)

точкой

перегиба.