Файл: Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие.pdf

Теорема

Ролля. Если функция

f (х)

непрерывна

на замкнутом

интервале

[а; Ь], дифференцируема

на открытом

интервале

(а, Ь)

и f (а) — f (b), то

между точками

а и b имеется

по крайней

мере

одна такая

точка

с, в которой f

(с)

=

0.

наименьшее

значения (там же, стр. 175), причем так

как f (а) =

= f (b), то

по крайней мере одно

из

этих значений

принимается

во внутренней точке интервала [а;

Ь].

Пусть, например,

функция

/ (х) принимает наибольшее значение в точке с (а<±с<*Ь,

рис. 11).

Тогда при

любом достаточно

малом

по

модулю Ах будет / (с +

+ Ax)<Cf

(с), откуда следует,

что

f(c+Ax)-f(c)

< Q п

р и

А

х >

0 .

Ах

/ ( С + А * ) - / ( С ) > 0

п р и

Д

л

< 0 -

Ад;

Рис. 12

Рассуждения аналогичны, когда в точке с функция

принимает

наименьшее

значение.

Теорема

Ролля имеет

простой геометрический смысл. Так как

/' (с) = 0, то касательная

к кривой у = f (х) в точке с

абсциссой

ней мере одна такая точка М, в которой касательная

к дуге будет

параллельна оси Ох.

Если

требование

дифференцируемое™

функции

нарушается

хотя бы

в одной точке интервала (а; Ъ), то

производная функции

ференцируемая в точке с. Ни в одной точке дуги

АВ

касательная

здесь не параллельна оси Ох.

2.2. ТЕОРЕМА КОШИ.

ФОРМУЛА КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ ЛАГРАНЖА

,

Опираясь на теорему Ролля, докажем теорему

Коши.

Теорема. Если функции f (х) и

ср (х) непрерывны

на

замкнутом

интервале [а; Ь], дифференцируемы

на открытом

интервале

(а, Ъ),

причем ф' (х) Ф 0 во всех точках интервала (а, Ь),

то

между точ-

ками а и b имеется по крайней

мере одна такая точка

с (а<Сс<СЬ),

что

f(b)-f(a)

=

['(с)'

(2.1)

Ф ( 6 ) - Ф {а)

Ф'(с)

f(b)~f(a)

= R

(2.2)

Ф (Ь) — ф (а)

откуда

f(b)-f{a)-[<?W-

ср(а)]Я = 0,

(2.3)

и введем следующую вспомогательную функцию:

F(x)=f(x)-f(a)-[<p(x)

— <p{a)]R.

(2.4)

Функция F [х)

является

суммой

функций,

непрерывных на

интервале la, Ь] и дифференцируемых

на интервале

(а,

Ь). Поэ­

тому

F (х)

непрерывна на зам­

кнутом интервале

[а; Ь] и диф­

ференцируема

на

открытом ин­

тервале (а; Ь). Непосредственно

видно, что F (а) =

0,

а в силу

(2.3) и F (Ь) = 0, так что F (а) =

=

F (Ь). Таким образом,

функ­

ция F (х)

на интервале

[а; Ъ 1

удовлетворяет

всем

условиям

теоремы Ролля,

поэтому

между

точками а и b найдется

такая

Рис.

13

точка

с,

в

которой

F' (с) = 0.

Имеем F' (х) = f

(х) — Rq>' (х),

так что F' (с) =

/' (с) —

# ф ' (с) = .

=

0.

По условию

теоремы

ф' (х)

0 на интервале (а; Ь), поэтому

и

ф' (с ) =г= 0, и из предыдущего

равенства

находим

/< =

— .

Подставив это выражение в равенство

(2.2),

приходим

к

<р'(с)

(2.1), что

и

требовалось

доказать.

Равенство

(2.1)

носит название ф о р -

м у л ы

К о ш и.

Доказанная теорема может быть просто истолкована геометри­

чески. С этой целью обозначим независимую

переменную буквой t

и рассмотрим параметрические уравнения у

= f (t); х =

ф (t) не­

которой

линии. Пусть дуга

АВ (рис. 13) будет графиком этой ли­

нии,

соответствующим

некоторому промежутку

[а; Ь] изменения

параметра t, так что точка

А имеет

координаты

[ф (а); / (а)], a

точка В — координаты

[ф (b)\ f (6)1. Угловой коэффициент

хорды

А В будет tg ф =

i f f =

f?l~H?\

' а

^ТТГ = Ух (с )

е

с

т ь

Усовой

Л Р

ф(6) — ф ( а )

ф'(с)

коэффициент касательной

к дуге

А В в некоторой ее точке М. Из

равенства этих двух угловых коэффициентов

[формула (2.1)1 сле-

дует^параллельность хорды

и касательной.

Итак,

теорема

Коши

утверждает

следующий очевидный геометрический фактt"5 на глад­

кой дуге АВ

всегда найдется по крайней мере одна такая точка М,

'щей

дугу.

В формуле Коши положим, в частности, ср (х) =

х\ тогда ср (а) =

— а,

ср (b) =

Ь, ср' (х) = 1 и эта формула принимает вид

lS^LzlSEL=f

(с)

Ъ — а

или

f(b)-f(a)

= (b-a)f'(c),

(2.5)

где

а < с < 6 .

Последняя

формула называется

ф о р м у л о й

к о н е ч н ы х

п р и р а щ е н и й Л а г р а н

ж а.

В соответствии с этой форму­

тервале

[a; b ] дугу кривой, заданной уравнением у = f

(х).

Формулу (2.5) часто используют в другой форме. Вместо на­

чального

аргумента а пишут х,

а вместо b пишут х +

Ах.

Тогда

с — а

с — х

0

b — а

Ах

'

где

0 — некоторое

число, удовлетворяющее

условию

0<<9<;1.

Отсюда с =

х + QAx. Таким образом,

в новых обозначениях фор­

мула

(2.5)

примет вид

f(x+

Ах) —f (х) = Ax-f

{x +

QAx)

(2.6)

( 0 < 8 < 1 ) .

f (b)—f

(а) — ^ р - ( p — a ) — ^ - i b — a f

— . . .

• • •

(п—1)!

( f t - a ) ' - 1

- 4 ( f t - a ) "

= 0

(2.7)

п\

F(x)

= fib)-t(x)—££>_(&_*)_.Ш-(6_*)>_

. . .

. . . - ^ { Ь - х Г - ' ~ ^ - ( Ь - х ) :

( я —

1)1

я!

В силу

(2.7)

F (а) — О и непосредственно

видно, что F (Ь) = О,

так что F (а) — F (Ь). Кроме того, функция

F (х) будет,

очевидно,

дифференцируема на замкнутом

интервале [а; Ь].

Таким

образом,

функция F (х) удовлетворяет более жестким условиям, чем условия

теоремы Ролля, поэтому

она

подавно

удовлетворяет последним.

Следовательно,

между точками

а и

Ь

существует

такая

точка с,

что F' (с) = 0.

Имеем

F'

(*)=-/'(*)

f" (х)

(b~x)-

1!

(Ь-х)

1!

(b—x)

2!

где точка с лежит между

точками а и х ( а < с < х ) .

Формула (2.8)

называется ф о р м у л о й Т е й л о р а

/г-го

порядка для функции / (х). Последний член этой формулы Rn

(х) =

= 1!П v '(Л (х — а)п;

( а < с < х )

называется о с т а т о ч н ы м

ч л е -

п\

f ( * ) - f ( 0 ) + - ^ - * -

• Х 2

+

2!

/<"-') ( 0 ) ^ - 1

/ W ( C )

^

(2.9)

( я - 1 ) 1