ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.07.2024
Просмотров: 166
Скачиваний: 1
|
|
232 |
|
_ |
m ) + i ] h |
__ &-!> |
|
|
O 'L |
J |
1 |
(7.3.44)
Характерной особенностью полученного решения для упру гой среда является затухание волн во времени, связанное с диффузией в дьухкомпонентной области, и отсутствие затуха ния в зависимости от расстояния при X > h
Для получения решения в случае поперечных волн (вызы ваемых касательной нагрузкой на свободной поверхности).не обходимо принять во внимание замечания, изложенные во вто
ром разделе, а |
скорость продольных |
волн для упругой |
среды |
|
заменить на скорость поперечных волн. |
|
|||
Результаты численных расчетов при условиях, аналогичн |
||||
яых условиям |
второго |
раздела приведены на рис.36. При л = |
||
т = 0 задача |
включает |
как частный |
случай результаты |
для |
слоя, лежащего на |
жестком основании. На графике это выра |
|||
жается равенством |
напряжений при 0,5 < |
i < 1 |
,5 , |
приве |
денным на рис.37, |
38. |
|
|
|
Рассмотренную |
задачу нетрудно обобщить также |
на |
случай |
|
слоистого двухкомпонентного изотропного |
полупространства. |
|||
Сферические волны с учетом диффузии
Пусть к сферической полости радиуса %в в момент t =0 прикладывается радиальное напряжение интенсивности 4 (1 ) • При t > 0 в двухкомпонентной среде распространяются сфе рические волны. При t <£ 0 среда находится в покое.
Движение среды б^цет описываться уравнениями:
233
Рис.36.
9Фг )
dt /
(V. 4 J )
( h + 2juy + |
)ЛФ{ + ГЛ |
ф - |
('Г. Ц. 2 )
234
где |
- коэффициент диффузии. |
|
||||
|
_ 9 1 |
■■+ 2 . Л _ |
|
|
|
|
|
|
z |
d Z |
. |
|
(7 .4 .3 ) |
|
|
|
|
|
|
|
Граничные и начальные условия в данной задаче принима |
||||||
ют вид: |
|
|
|
|
|
|
|
% t ~ - d z -£ o4U r) |
h f w Г--Г„; (7 .4 .4 ) |
||||
Ф ^ Ф , = 0 |
|
|
Z - ~ c o , |
(7 .4 .5 ) |
||
Фс ~ cPz = |
= Фг+ = 0 |
btfiAA t |
= 0 . |
(7 .4 .6 ) |
||
Применим преобразование no времени к уравнениям движе |
||||||
ния (7 .4 .1 ) - |
(7 .4 .2 ) |
и к |
граничным |
и начальным |
условиям |
|
235
&xy>ffxy
Рис.38
236
(7 .4 .4 ) - (7 .4 .6 ). Получим:
+P(j,P-l) Ф«. , |
(7 .4 .7 ) |
(Л +2JU>*-££■)h <P„+{L*2JUS^г)&Фг
- p ( £ , ? - » < k . - p ( j , p + i № ,
(7 .4 .8 )
% =J4>epf dt |
(j=i.j*z) |
(7 .4 .9 ) |
|
|
h fu t ^ |
= ^0 |
|
$£Z |
- " Ы° P *- r ° f°(P ) > |
|
(7 .4 .10) |
|
|
CpJ0 — 0 |
H.fus ^ |
. |
(7 .4 .11) |
Полоним: |
|
|
|
|
< fc - v , * % ; ф „ = , М , ^ < 4 . |
|
(7.4.Г 2) |
||
|
|
|
|
|
Тогда Vj- |
удовлетворяют уравнениям: |
|
|
|
О |
Ж |
|
Э'с» |
Э£ |
> |
|
|
(7 .4 .13) |
237
'где
a ’ l P b p ( . е . р * 1 ) + . ?Л.?„р-0)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.4.14) |
a |
и J32 |
корни . уравнения: |
|
|
|
|
||||
где |
|
Л |
+ J o J l |
~ Д , =0} |
|
|
|
(7 .4 .15) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
_ _ |
С |
Л |
|
Р- У)-(Ь+?№+-~г)(&р +y>J |
|||||
в |
и , |
+ 2 |
№ ^ |
К |
&+ Vр) - U x |
+ 2 ,/» .- |
|
|
||
а 1+ 2^л- ^ ) ( £ |
гР + $ )-(Л г +2/иг+ ^ ) ( & |
Р - 1 ) |
* |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
J |
у |
|
(7 .4 .16) |
Общие решения уравнений |
(7.4.13) |
при условии |
(7 .4 .12) |
|||||||
имеют |
ви д :. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
, |
|
(7 .4 .17) |
где |
$ j(P ) |
определяются из |
условий |
(7 .4 .1 0 ). |
|
|||||
Обращая (7 .4 .17) |
при малых |
значениях |
9 , |
получим: |
||||||
|
|
2 |
|
|
^ |
|
Л_ |
-pJf-4/T-rJ] |
||
|
|
|
|
|
|
|
*V ' |
'' |
d $ ' |
|
-t
(7.4.18)
где 0г Ц |
° + Ц |
° ; |
|
|
236 |
2Ц-. ^<j°i |
^J° / |
- константы, не зависящие от й , |
но зависящие от параметров среда. |
||
Воздействие импульса вращения на двухкомпонентный |
||
|
|
слой |
Рассмотрим |
задачу |
о воздействии импульса касательного |
напряжения на поверхность двухкомпонентного упругого слоя, нижняя поверхность которого свободна от напряжений или
жестко закреплена. В данной |
задаче |
отличны |
от нуля |
|
лишь |
||||
,.(<) |
и |
,Л2) |
и решение задачи не зависит от перемен |
||||||
Ыв |
Ug |
||||||||
ной |
9 |
в |
системе цилиндрических координат ( ? |
) . |
|||||
Кроме того, |
|
Ф* |
=■ Фг = О. |
|
|
|
|
|
|
Граничные |
и начальные условия имеют вид: |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(7 .5 .1 ) |
|
при 3: = 9 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С - о |
или |
U ? |
- U ? |
= 0 |
(7 .5 .2 ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
при |
Z = - h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г<) |
d t |
hfbu t - o , |
(7 .5 .3 ) |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где 1C, - пористость среда.
Применим преобразование Лапласа по if-
что
О
где ^ - корни уравнения
^-2 + O o f - ё о ^ О ,
и предположим,
(7 .5 .4 )
Q - ( Л - А ) ( Я, P - W - ( |
Л |
. |
°' ( л +Jr)(JbP- 9) - ( Л -Ш гР <9) |
' (7 .5 .5 ) |
|
о ■(М Ш(,ЪР-У-(/и, -Jr)(fnP* (Лз +A)(SzzP- v)-(f2 -M fc р +Ю
Тогда уравнения движения преобразуются к форме:
S I R , х |
£ £ _ , . 2 ! £ • - . £ £ _ |
|
|||||||
9г‘ |
г |
дг |
99г " f (р> ' |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.5.6) |
«г |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
J ~ r (f„P-i>) |
+ f t ( f a P + } ) |
|
|
||||||
причем величины |
^ |
при |
Q * Q равны |
скоростям |
попереч |
||||
ных волн. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
задачи |
(7 .5 .1 ) |
- |
(7 .5 .3 ), |
(7 .5 .6 ) запишем так: |
|||
f a z p ) = J t y < , e z p ( - % $ ) |
+ 8 j 0 e x p (2 £ j)} — ^ |
d * ) |
|||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7 .5 .7 ) |
где Л- |
и |
|
В;п |
определяются из граничных условий. |
|||||
d |
° |
|
<3° |
|
|
|
|
|
|
В случае |
|
цервой |
задачи |
' |
|
|
|
||
п |
|
% e x p (- h $ )l(p ) . |
|
|
|||||
h ( h % )
р. _ % e.*e./> (h8i) I U p )
% 3 h ( h % )