Файл: Большанина М.А. Распространение света в анизотропных средах.pdf

Скачать файл (5,14Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.07.2024

Просмотров: 132

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

-46 -

кволнѳ перпендикулярна, в вектору ю , то угол ѳо равен углу


швду £ . 0 .	Направляющие косинусы вектора			$ даются
а направляющие,	косинусы вектора Е даны <р№Поэтому нетруд
но найти косиңус угла Ѳ
С оъѲ -		^	ЛІкр*
Подставим вместо		Ц -і	его выражения из	(47)
		r r u

:(Г+95'а [v ‘T Pi‘ + T Y - ^ ' )

°	ü=i,Zf3	K = s,l.3
Но

Ъ ; = і	- L a . « . - о
Таким образом, для	Д м .6 » получилось выражение

Ces-Ѳ-—— (48)

(T + (ftfz

ВДВ

Ч ѳ~-%

Из формул видно, что для определения угла между лучевой и фазовой скоростями надо знать фазовую скорость» Кроме того надо еще знать куда входят раправляпциѳ косинусы вектора 0 .

Мы не егудеч вычислять направляющие косинусы вектора Пойнтин-

га, которые мн обозначим через 4 . г.. t-3 , так как это очень трудоемкая операция,- а только укажем цуть их вычисления.

Вектор Пойнтинта

					-	47 -
р з э э н	в е к то р н о м у			произведени ю			£	Н . .	Ч тоб ы	н а й т ц е
ляющие, к о с и н у с ы ,				нужно	в ы ч и с л и ть			отнош ение каждой		составля
в е к т о р н о г о п р о и зв е д е н и я						к самом у		в е к т о р н о е	пр о и звед ен и ю
Направляющ ие,			к о си н у с ы			н а п р я ж ен н о сти м а гн и тн о г о				п о л я
но н а й т и		и з у р а в н е н и й			М а к св е л л а ,			а направляю щ ие		ко си н усы
можно	в ы р а з и т ь		ч е р е з направляю щ ие					к о сиЮн у с ы•		Е
Таки м		обраэо м		по л учи м :			к
									(4У )

t - (ѵ**»**л~) и

и - ( г + г г

: : , Л 1

Подобно тоауі к а к

§7,

э н а я

направляш циѳ

к о си н у с ы

в е к т о

ра. S )

и в о с п о л ь зо в а в ш и с ь

е г о

пе р п ен д и кул я р н о сть ю

норм

в о л н е ,

мы

п о л уч и л и

у р а в н е н и е Ф ренеля

д л я

фавовой

скI оf р о,с т

т а к и з д е с ь ,

и с п о л ь з ууя)

и( 4п е р п е н д и к у л я р н о сть л у ч а и в е к то

»получим

у р а в н е н и е

д л я л у ч е в о й с к о р о с т и

При

у рЕаIв 4н е нtи е

,б е зlвыitчи сл

ен и й -

-h / / ä

(Ö S )

Г Ч

ѵ м ;

Е г о МОХЕможно

з а п и с а т ь

еще

та к о м в и д е

;

t f

іі

t i

= 0

et ~

i f

прибавив.: вы раж ение

t* + t i + ’t; =о

получим

it Ш	ti m	+	t i VS	(51 )
				/.

Vf'ff ^	fff'ff

— 48 “

Эта формула определяет скорость луча Us по известному управлению луча.

§ 10. Овалоид Френеля.

8 предыдущих, параграфах мы видели, что вычисление для раз ных направлений векторов ä,E,H.S - дело тіудс.мкоѳ. Получивши

еся формулы ненаглядны. Поэтому желательно привлечь геометрию для наглядного изображения параметров волн в а"чзотроыной среде.

Действительно, в теории анизотропных сред построено много

различных поверхностей, иллюстрирукщих различны" их свойства.

Мы собираемся разобрать некоторые из них,, относяциѳся к оптике анизотропных сред.

Существуют		по крайней мере четыре таких		поверхности:
1 ) овалоид Френеля, 2)			поверхность нормалей, 3)	поверхность лу
чей и 4)	индикатриса.		Обычно в пособиях пользуются.одной из них
и бывает	трудно	сопоставить, одна и та же иди разш ѳ поверхнос
ти (фигурируют в		разных	книгах. Поэтому мы сочли	полезным раво

брать все четыре, причем выяснить,для какой	цели служит каждая
из них.
В этом параграфе мы рассмотрим овалоид	Ф[. чаля.
Уравнение его запишем в таком виде:

■г‘ =/,Чг + //хф+7,Vj

£/, І г і Ь имеют прежнее значение. В уравнении овалоида они представляют его полуоси.

Этот овалоид интересен в следущем отношении. Проведем через начало координат плоскость, параллельную поверхности вол ны. Ей нормаль имеет направляющие косинуда ^ а уравне ние ее будет

4 л ^ 4 Л г + 4 л » = 0

	-	4У ■
		/
Эта плоскость п е р сечет		овалоид	по овалу.
Можно показать,	что наибольший и наименьший радіусы 'І.' и
*ül этого овала имеют	направления векторов 0			и	0 двух волн,
распространяющиеся по	і ормали		а длины этих радиусов
равны соответствующим фазовым скоростям волн
Мы не будем проводить длинные и утомительные вычисления
для доказательства этого положения,			а только	уг.	хѳм путь.

Так как овал есть сечение с алоида плоскостью, то должны выполняться два. уравнения

V = ] Г £ X*

Кроме того для радиуса-вектора всегда имеет иесто соотношение

х.і + хі -+- х‘ = ѵ.

Нам нужно найти экстремальные значения радиуса-вектора овала.

Воспользуемся методом Лагранж? Продифференцируем три вышепри веденные уравнения, умножим два ив них на множители Лагранжа

X * ß и сложим. Получим

*	и
•Отсюда получаются три уравнения:
	+ Л £ х . + _ / і	—0 ,
		и =0 .

При помощи этих уравнений находятся отношения У~£/і) представля-1

хщиѳ направляющие 'косинусы экстремальных радиусов-векторов. Они оказываются равными направляющим косинусам векторов 3 ) , если

- 50 -

радңусы-векторы положитравными фазовым скоростям двух волн.

А что это возможно1, вытекает из того, что для ^ выполняется такое же уравнение, как уравнение Френеля:

I І і - і *

- 0 .

Итак,

проведя

сечение,,

параллельное поверхности

'.олны, ш

получаем

и направление векторов

I 1

б)"

в двух волнах, иду

и &J

щих "о нормали, и фазовые скорости этих волн ѵ\ г

то макси

мальному

^L' и минимальному

радиусам-векторам получивше

гося в

сечении

овала. .

Для примера рассмотрим случай распространения волн по X ,,

т . ѳ . когда

нормаль совпадает с У-і

Поверхность волны будет

плоскость. Х,=0или плоскость

В сечении получится овал,

уравнение

которого

будет

Отрезки на

осях

Х 2

будут

соответственно

Цусть

4 t

п . е .

£г > В5.

Вдоль оси

будут

распространяться две поляризованных волны:

одна о колебаниями

вдоль

оси У г. имеет

скорость ■ % r L ,

другая

колебаниями вектора

0 ^

по оси

У-з -распространяет

ся со

скоростью

2 ^ “ ^ . Мы здесь сохранили “умерапдю ярѳд“пуще

го параграфа, где этот случай рассмотрен аналитически.

Другие., более сложные случаи, удобнее рассматривать, поль

зуясь овалоидом Френеля. ■

Об алоид Френеля имеет два

круговых сечения. Это значит,

что направление колебаний вектора <0

в г-’их сечениях

остается

неопределенным (нет

поляризации) и

скорости

■if’* 1Г‘одинаковы.

- 51 -

Радиусы этих окружностей равны друг другу и равны 4 = %

Значит, норлали к этим круговым сѳчѳниям есть такие направле

ния в кристалле, по которым луч не разделяется на два и оста

ется неполяризованным. Такие направления называются оптически

ми осями, іѣс, как видно, две. * .

Уравнение озалоида иногда дается в другой форме.

Ооозначим направляющие косинусы радиуса-вьктора овалоида через р * , Pf, и P 's-

Тогда

У. К — Р к

Подставим в уразнѳниэ овалоида эти выражѳі-ія вместо X к . Полу-

или _

V = t f F t + i \ P l + l l P l

§ 11. Поверхность нормалей.

Вторая поверхность, которая употребляется чаще, чем овалоид Френеля, изображает фазовые скорости в зависимости от направле ния норлали к волне.

По норлали откладывается два '[азотых скорост і соответствен но двум решениям уравнения Френеля

Геометрическое, место концов этих векторов даст поверхность

норлалѳи.

Уравнение этой поверхности в' координатах X , , Уг , X j полу чится и? уравнения Френеля.

- 52 -

Радиус-вектор h* этой поверхности с направляющими косину сами £yt имеет длину 2/~ • Следовательно, для косинусов можно записать такие выражения Z

/— Хк. .

К	нужно подставить		/ѵ	. Тогда получим
Вместо V	нужно подставить		с.	. Тогда получим
_ _J t f	4 - - J ä	_______і _		хі	_
_ _J t f	4 - - J ä			________	= 0 .	(52>
					= 0 .	(52>