Файл: Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие.pdf

Момент же количества движения системы относительно оси г будет во все время движения системы оставаться величиной постоянной:

в конце В трубки.

Найдем момент количества движения трубки АВ относи­ тельно оси z в начальный .момент времени:

Liz(0)= J zo)0,

где ©о — начальная угловая скорость трубки АВ;

относительно любой оси, найдем момент инерции трубки АВ относительно оси z (учитывая, что диаметр трубки мал и по­ этому Jy« 0 ):

Определим момент количества движения шарика относи­ тельно оси z в начальный момент времени:

так как в начальный момент шарик находился на оси враще­

109

L]Z(t)= Jzco,

где со — угловая скорость, которую имеет 'трубка в момент вылета шарика;

+ — момент инерции трубки АВ относительно осп z. Так как трубка составляет постоянный угол с осью z, то

момент инерции трубки относительно оси z в процессе враще­ ния трубки не изменится. Поэтому

Llz<l>= 0,255ш. (г)

Определим момент количества движения шарика относи­ тельно оси г при вылете его из трубки.

В момент вылета шарик находится в точке В (на рассто­ янии ВК от оси вращения).

Момент количества движения его при вылете относитель­ но оси г будет равен (см. рис. 62а, б):

Ь 2г(б = т 2 У а Ь а

или (см. рис. 626)

L2z(t)=m 2ve ■BK.+m2vr • 0,

где vr — относительная скорость шарика (скорость движе­ ния шарика по трубке);

ve — переносная скорость шарика (скорость вращения шарика вместе с трубкой вокруг оси г).

Переносная скорость шарика равна (см. рис. 626): ve=co-BK.

Тогда

Р

L2z<6 = -m2 ш • ВК2 - ~zr ш(I sin 30°)2 =

» S

(а), получим:

2,04+0 = 0,2550+0,38со.

Отоюда

2,04 10 = 0,255 + 0,38 = 3)22 сек Х■

Таким образом, при вылете шарика М из трубки АВ уг­ ловая скорость трубки уменьшается с 8 сект! до 3,22 сек~].

110

Г ла в а VIII. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

§32. Кинетическая энергия твердого тела

имеханической системы

Кинетической энергией твердого тела называется скаляр­ ная величина, равная арифметической сумме кинетических энергий точек, составляющих данное тело:

J-!

В этом случае все точки тела имеют одинаковые скоро­ сти, равные скорости центра масс тела.

Так как для любой точки тела Vk = vc, по формуле (151) получим:

111

Таким образом, кинетическая энергия тела, совершающего поступательное движение, равна половине произведения мас­ сы тела на квадрат скорости центра масс этого тела.

щ е г о в р а щ а т е л ь н о е д в и же н и е .

Пусть какое-либо тело вращается вокруг оси г с угловой скоростью о (рис. 64).

Скорость любой k-ой точки этого тела равна:

vk = со hk .

Подставив значение Vk в формулу (151), получим:

Учитывая, что 2michk2 представляет собой момент инер­ ции тела относительно оси z, окончательно будем иметь: '

Таким образом, кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг какой-либо оси г, равна половине произведения мо­

112

пусть в данный момент времени мгновенный центр скоростей (МЦС) этого тела находится в точке Р (рис. 65).

Тогда, представляя плоское движение тела в данный мо­ мент времени как чисто вращательное его движение вокруг МЦС (точки Р), можно записать:

1

Выражение (154) определяет величину кинетической энер­ гии тела, совершающего плоское движение.

В выражении (154) представим Jp (согласно теореме о моменте инерции тела относительно параллельных осей) в

дящими через точки Р и С тела.

Подставив зависимость (155) в (154), получим:

Таким образом, кинетическая энергия тела, совершающего плоское движение,'равна кинетической энергии поступатель­ ного движения тела, со скоростью его центра масс vc, сло­ женной с кинетической энергией вращательного движения этого тела вокруг его центра масс С.

Для нахождения кинетической энергии тела, совершаю­ щего плоское движение, можно использовать либо зависи­ мость (154), либо зависимость (156).

перемещаясь, например, по наклонной призме В, которая в свою очередь перемещается по неподвижной горизонтальной плоскости (,рнс. 66).

Абсолютная скорость тела А будет равна:

или по модулю (рис. 66)

va —v vr2 -|- ve2 + 2vrve ■cos a.

V У S S У / / — / / /

Рис. 66

114

Найдем кинетическую энергию данного тела А, рассмат­ ривая его абсолютное движение:

Если рассматривать отдельно относительное и переносное движеннячтела А, то будем иметь:

Т0тв = -^ -m v r2 .

1

Тпер = 2 mve2 • ■ (168)

Из сравнения выражений (157) и (158) заключаем, что

Таким образом, если тело совершает сложное движение, то его полная кинетическая энергия не будет равна сумме кинетических энергий относительного и переносного движе­ ний тела.

(рис. 67), кинетическая энергия равна арифметической сум­ ме кинетических энергий тел, входящих в систему:

Для данных на рис. 67 будем иметь:

Т = Тоа + T ab + Т сд + ТЕД ■