Файл: Ямщиков В.С. Геоакустика. Раздел Упругие волны в неоднородном массиве [учеб. пособие].pdf

Скачать файл (4,60Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.07.2024

Просмотров: 153

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Как видно из выражения (ІУ .28), смещение частоты и)0 зависит от отношения , т .е . от степени трещиноватости массива» Таким образом, оценивая смещение частоты максимума спектральной мощности при распространении упругого импульса, можно судить о трещиноватости масоива.

§ 3. Модель трещины в массиве в виде полѵбеоконечного

разреза	в у п р у г о й плоокооти
В рассмотренном выше случае задача дифракции		упругой
волны на трещине в упругом	пространстве сводилась	к задача

о дифракции на цилиндре. Такая замена трещины цилиндром упро щает общую задачу и монет быть полезна при качественном и ко личественном объяснении некоторых явлений. Однако такая идеа лизация реального объекта не позволяет охватить некоторые дифракционные явления, которые могут наблюдаться в реальной трещиноватой среде. Другой моделью реальной трещины нонет олунить разрѳв вдоль полупрямой в плоскости, заполненной уп ругим веществом. Края разреза закреплены или свободна.

Пусть в плоскости лгу , заполненной упругим однородным изотропным веществом, вдоль полупрямой у = 0 , х ^ -О (рис.23) сделан разрез, края которого закреплены. Внешние силы в плос кости отсутствуют, и при t -с О имеются только плоские волны.

При отсутствии внешних сил для потенциалов

'У*

<у и

дли corn .вляющих вектора

сиеідѳния

г/

которые связаны

соотношением:

ЭУ_

ЭУ .

Э У

э У

и =

ЭХ

+ э у

’

ЭУ

Э х

’

'(ІУ.29)

должны соблюдаться волновые уравнения.

Граничные услофя

случае закрепленных границ на обоих краях

разреза запиіцутся:

и = 0 ; гг-О ;

Э У

ЭУ

э у

(ІУ.ЗО)

э х

э у

& х

Рассмотрим задачу со следующими начальными условиями:

У = / , ( *

п у )

У=-?г ( г ™ х + л .у );

( іу. ззЗ)

Э У — о ,

)

ЭУ р ,

ä l -----

при

W» / ,

= ^

= 4 =

при у = о ;

я ? .# ,

т .е . при і

= О

плоские волны еще не дошли до разреза.

Задача состоит в решении волновых уравнений при гранич

ных условиях (ІУ.ЗО) и начальных условиях

(ІУ .ЗІ) при

é > 0 .

Сперва

рассмотрим

качественную картину дифракции

плоской

продольной волны на разрезе. Пусть на разрез в плоскости падает плоская продольная волна.

y ( t , x ,	y j = / ( é - a x		s'noc + a y		c o sx ); < p (t,x ,y ):=0> ( j y >32)
где / { 3	) = 0	при	о , /	(.s	) = I при	.5 > о	; 0°<еС< 90°.
Как только		волна	дойдет	до	разреза,	возникнут	продольная

и поперечная волны, распространяющиеся во всех направлениях со скоростями Ср = > и cs = -J- ; огибающие фронтов этих волн дают фронты отраженные и дифрагированных волн.

Прямолинейный фронт продольной волны, разорванный пре пятствием, через которое этот фронт прошел, будет состоять ив

двух частей:NC1	и К М (см.рис.23). Прямолинейный фронт К М .
отразившись от равреза по обычному закону, создаст прямоли
нейный фронт КС	отраженной плоской продольной волны и пря
молинейный фронт	К П отрялоннпй плоской поперечной волны.

Вершина разреза О согласно принципу Гюйгенса будет как бы точечным излучателем и создаст добавочное продольное возмуще ние в области ОАСА,С,АО и поперечное возмущение в области

ОАЕПВ, Е А О .

При отражении от границы разреза падающей продольной волны

образуются	плоская	продольная волна с		фронтом С К		и плоская
поперечная	( Е Л )	волна:
(СК)	У—		о х sinot -a t/co stK )t		9> = 0-
(& Л )		^ =	„	»	\	(ІУ.ЗЗ)
			f ( t - 8 x . s C n j ) - f f y c o 3 j > ) .
Для нахождения коэффициентов R f				и Лг	необходимо подста

вить сумму падающей (ІУ.32) и отраженных (ІУ.ЗЗ) волн в гра

ничные условия (ІУ.ЗО)			при у =		0. В результате		получим:
n	cos(oC +ß)_		]/а г- 6* ■V ß* -<Ъг			«S .
''v ~ Cos (< x - - ß ) ~			~ ёГ+	VgË - ö t V# * - £ * '		’		(ІУ.34)
	crsin2oc		_	2 & У аг —б г '_____

~ g c o s		(c * -ß )~		£ V Ѵсгг- Ь г '-
ГДѲ & = а	s i n	o t= g	s i n j3 .
Тогда	поле	в области		А С Л	запишется	как У>=У+ ?		, а в
области А Е Л Л		- как У' — R z			, так как общее		поле в	этих

областях будет состоять И8 суммы падающей и отраженных волн.

Задача заключается в нахождении		потенциала	У	в круге
A C A t Cf A и потенциала	<р в	области А	Е DB<Ef A .
Решить поставленную задачу можно с помощью метода функ
ционально-инвариантных	решений,	общий принцип которого был _

разобран нами в задаче о дифракции на клине. В дальнейшем изза сложностей математического характера мы определим лишь об щую последовательность решения и дадим конечные результаты.

Для определения		потенциалов		У’ и у»	в	названных		областях
функции	У3 и	'Р	представляются в		виде	полусуммы двух
V функций:	четной	по у	и	нечетной по		у	y j	;
	if (sc, у, t		) -- £ - [ %	f t я , v )	-r-9f f t , x , y )J ;			(ІУ.35)
				>
	f (£,x , У ) — -y [V o				+ % ( E		)] ,

где % (х , у ,i)= 9 ( t,x , {/) + <f(t, x r y ) \ <f0(t,x,< /)~ 4J(t,x,y)-<f>(è,x,-!/),

У,(£,Х>У)= ^(t,x,y)-y> (t,xr

y); 4>, ( t,x ,!/)=<P(tp:,v)+'t'(t/>:,-y).

if(

<Pt

удов.'отворяют волновым уравнения,'.; и

граничным условиям,

если

им удовлетворяют

<8 .

необходимо

перейти

к новым переменным

$ = -j~

? - гУ-

сделать замену

g >

* V' r *-ß

- — ;

<ІУ36)

Причем в

области a.z( $ z-t-

(в области

внутри

круга

А 'C A ,C t

)

удовлетворяет

уравнению Лапласа,

а в

об

ласти

%*)■*?£

внутри

кругаЗ Р в ^ В

<Р удовлетворяет

уравнению Лапласа,

Согласно методу функционально-инвариантных решений мокло

записать:

3=<?ѵ £ Tf ;

\P(G, Tf )

= R e Ф (6>y ) ;

•

4>(<%тл ) = я е 4 г ( 9 г ) '

(ІУ,37)

где ф

( Gy )

y s

{Ѳг )

аналитические функции на

плоскостях

комплексных переменных

Ѳг

, разрезанных вдоль

лучей

- а . <■ &Y < і*‘

н - 8 ■<Ѳг < у-<

области

а.г (

Ъг) >4

уравнение

для

(

'£

)

приводится

к уравнению струны, а

в области

8 \ 'А**?*) > і

уравнение для

приводится

к уравнению

д 2<р

ѳ г4>

где

t '

*г Уа*(Гл+ г * ) - /

G =

’

Г + 2 г

Можно показать,

что

в области £>*(.$

*•£

) >

,т .е .

вне

круга B E D B ^ 'B

I в

силу непрерывности

на

окружнос-

ти

<Р= R e

Граничные условия (ІУ.ЗО) для функций ф

( Ѳ, )

и у /

( <£,)

при

а <

Ѳ < * ° ^ запишутся в

следующем виде:

R e (Ѳ ф '+ Ѵ в ^ -Ѳ 2 Ѵ ' ) = 0 ,’

R e

( Ѳ У '- Ѵ а 2- ѳ 2 ' ф ') = О.

СІУ.38)

Граничные условия

для

области -*«< Ѳ < а составляются для

симметричных и несимметричных составляющих функций Ф

ух

ifj

на отрезках значений

Ѳ .

R e

Фі =

R e

Ф0 —2 при ~а-<Ѳ<£

%=&

соот

ветствует

точке О .

R ety* = 0 ;

R e V o= 0 при-ё< Ѳ < £

Ѳг= £

соот

ветствует

точке В .

R e Фо= / + R , , R e y s ^ R z п р и -£ < 6 > < а

(ІУ.39)

Я е Ф ,= У і- ^ ,

R e y r —Rz

при - £ ■*. ѳ

сі

Ігт,Ф0 ( Ѳ ) —О j

Re<t>

(& ) = {? при - ca

-< д <-<2

соот

ветствует

учаотку OAt .

R e

% ( Ѳ ) — О ;

I m 4jJ (Ѳ ) — о ,

- с»

< ѳ -г - ß -

соот

ветствует

участку QBf .

Нахождение функции ф

(& )

и 5^ (<9),

удовлетворяющих

условиям

(ІУ .38),

(ІУ .39),

описано в

работе

Г 21]. функции

( й1

)

С61 )

и их производные

конечном виде

выража

ются через

параметры падающей волны и среды,

такяз

через

некоторую затабулированную функцию

(

Ѳ ).

согласно

формулам (ІУ .29;

и (ІУ.37)

находятся сме

щения

гг

ѵ =

ЭУ>

' э у

ЭиС

ЭѲі

(ІУ.40)

а у>

гг- а , } - Ш ~

i f - У '< в-> ж

У-

В силу (ІУ.35) решение задачи о дифракции плоской про

дольной волны на разрезе в плоскооти выражается через функции

ио ,

ttB

7, ,

iTj ,

симметричные

и несимметричные

относи

тельно

, которым соответствуют аналитические функции

v (t,x , y) = ^-[iJa( t x , y ) + e

zr(t,x,y)-£fe(ép,y)*4(fa,!,j>f

ѵ(і,хтУ)= -£ [yo (t,x,yf- Ц ( è,X,y)Jt v(é,x, y)= у[ц(]х,9)-Ъ(£г*,у)]' 91

Смотрите также файлы

Автоматизация_Staroverov.doc

Автоматизация_Staroverov1.doc

комп схем.doc

Отчет Садовничий.doc

оформление 16.doc

Файл: Ямщиков В.С. Геоакустика. Раздел Упругие волны в неоднородном массиве [учеб. пособие].pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно