Файл: Ямщиков В.С. Геоакустика. Раздел Упругие волны в неоднородном массиве [учеб. пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.07.2024

Просмотров: 146

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

2 Z n не будут оказывать влияния на динамику модели и могут быть исключены. Окончательно, заменяя последовательное соеди­

нение сопротивлений Z

' эквивалентным

, моино получить

сопротивление модели,

отнесенное

к единице площади: |

Подставляя в

это

выражение

формулы (ІУ .58),

(ІУІ56),

(ІУ .57), получим выражение

для импеданса модели

трещины:

 

 

 

 

 

•ff)e

(ІУ.59)

«/

2 jü ih

€

 

 

 

 

 

Зная величину импеданса трещины, можно охарактеризовать

рассеянное трещиной поле упругих волн,

однако для оценки !

влияния трещины на упругие поля удобнее пользоваться не импе­ дансом, а безразмерной величиной или >> , называемой|

соответственно коэффициентом продольной или поперечной неод­

нородности

среды.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* -

2 Z .

 

 

 

 

(ІУ.60)

где У1£ -

волновое сопротивление

сплошной среды.

 

 

 

Подставляя в

(ІУ.60)

значения Z . ,

ІГ , Z c -t

Л

ив

(ІУ .42),

(ІУ .52), (ІУ .59),

можно получить

выражение дляУ

в

явном

виде черев

параметры трещины [ Z l ] .

 

 

 

 

 

Коэффициенты неоднородности

отражают механизм сжатия

(растяжения) и сдвига в процессе падения на трещину упругой

волны. Равенство

коэффициентов неоднородности 9Р

и

ѵ?

нулю

говорит о сплошности среды, т .ѳ .

о неограниченном

возрастании

площади контактов или длины волны.

При этом отсутствует

отра­

женная и обменные волны,

а преломленная

волна не

испытывает

изменений.

Стремление величин

и

да

к бесконечности со­

ответствует случаю отражения от свободной границы, что гово­ рит об уменьшении площади контактов или длины волны. Таким

образом,

указанные коэффициенты

могут характеризовать

степень

трещиноватости

среды.

 

 

Граничные условия

(ІУ.46)

были выведены для нормального

падения

волны на трещину. При

косом

падении волны фаза дв'жѳ-

102

ния в каждый момент времени непостоянна по всей поверхности

трещины. Однако, если изменение фазы на

расстоянии между кон­

тактами

£

достаточно мало, т .ѳ .

 

 

 

Л

 

 

 

tySin ѳ w e .

(ІУ .6І)

где Ѳ

-

угол падения волны на трещину,

то полученные выраже­

ния пригодны и в случае косого падения волны.

Особенности распространения поперечных волн в трещинова­ том массиве. Как было сказало выше, наибольшей информативно­ стью при распространении в трещиноватой среде обладают попе­ речные волны, в связи с тем, что разрывы в среде в виде трещин значительно ослабляют сопротивление среды сдвигу, следователь­ но, они влияют на амплитуду, фазу и кинематику поперечных волн. В связи с этим наиболее интересно будет рассмотреть косое па­ дение на трещину гармоничной поперечной упругой волны, смеще­ ния в которой поляризованы произвольным обраэон по отношению

в плоскости

трещины.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Конечной целью исследования этого вопроса является опре­

деление коэффициента отражения от трещины.

 

 

 

 

 

Пусть на трещину падает плоская гармоническая поперечная

волна:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/* = А е

 

 

 

 

 

 

(ІУ.62)

где

/

- смещение в волне; п х

, пу ,

пя - проекции единичного

векторе

п 0

по нормали к фронту волны.

 

 

 

 

 

Вектор

смещения

f

в поперечной волне можно разложить

на две

составляющие:

на

гіг ,

параллельную

оси o z f . i

и

,

лежащую в плоскости x o t /

:

 

 

 

 

 

 

 

 

ЬХ— f. co s <р

•

и =

-f s i n

<p ,

 

 

(ІУ.63)

где

<p

- угол между

/

и осью O Z , т .е .

результирующее

сме­

щение можно рассматривать

как наложение двух смещений

-

вол­

ны Б И с поляризацией в направлении

оси 0 2

и волны

S V

° по­

ляризацией в

плоскости асоу .

Коэффициент отражения

попереч­

ной волны

можно определить в оѳзультатѳ рассмотрения отдельно

отражения

и прохождения через трещину в^лн SV и ЗИ

.

ЮЗ

 

Рассмотрим

подробнее

отражение от

трещины волны типа <5 V ,

В

атом

случае

в

выражении

(ІУ.62)

п 2

= 0.

Перемещения среды

в

направлении

осей

х

,

у

будут

равны;

 

где m x t f n v -

 

 

 

 

 

 

гг = т У fJ I

 

проекции

единичного вектора

смещения Л ,.

 

Деформации выразятся в

следующем виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jo o .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£ * У ~

'(» •х 'Ѵ ' ' " уг 'пх ) •

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя

эти выражения в закон Гука,

можно получить:

 

 

 

 

І Г

(” * п*+

гпу п у )+

-* сГ т * rl* 1

 

 

 

 

 

 

 

 

ь

. х п ѵ+ rr‘v

(ІУ.65)

 

 

 

«Г

-

/ "

/

х

где л

 

*77 ( ГПХ ГІѴ + ГП* п * ) ,

и / 1

-

кснстанты Ляна. .

 

 

 

При падении упругой волны на

трещину в

общем олучаѳ дол»*

ны возникнуть четыре новые волны: две отраженные и две прелом­

ленные.

В случае

поперечной S Y

-волны такими волнами

будут

волны S S , S P \ S S \ З Р \

углы

падения,

отражения и преломле­

ния в которых овязаны законом Свѳллиуса:

 

 

 

 

 

 

 

s i n

Ѳ _

л іп

 

_

s in

Os'p

s i n 0"s

_

sin

 

(jy.66)

 

^

 

 

cs

 

b

 

cs

 

Cp

’

 

 

где один штрих соответствует отраженным,

а

два

штриха

-

пре­

ломленным волнам. Подставляя выражения (ІУ.62)

при п г

=

0,

(EF.64), (ІУ .65)

в

(ІУ .46), полагая яг = 0,

можно получить гра­

ничные условия на трещине:

 

 

 

 

 

 

 

^ Г ^ - а о е Ѵ^

 

J 7 ^

а

Т

>

V

 

 

 

 

у.е -nt

Т

 

f v л ,

 

 

 

 

 

£

Ф

d e w'~

 

 

J7

4 h d e ¥t ;

 

 

 

 

 

 

ч=< А,

°

 

?•« А.

“

 

 

 

 

V ,

 

(ІУ.67)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*>_ -L /■ £

 

 

 

 

27 1F ” ' , e , - £ , A ' " n e

-p Q«

Л, T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z T

f a

. e

 

 

 

 

І А

,

. „v',

 

J .

A .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27 А

 

 

JE7 -=4 rrxyy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?•*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m 4

где

w

<f03 n *t ' v ■ а .

* /

 

 

 

ct

'

9

S r ( m , , * * 9 + rny , nV- f ) + 4 £ т*9 П*?і

d , = TT“ (

*9

n.

 

 

Индѳкс 9 B

об«ѳ“ случае

 

 

~Vf ’ r^y? n xf ).

присвоен:

I - падающей волне, 2 я

3 - отраженным,

4 и 5 - пре­

ломленным волнам.

Для волны 3 V -типа значения проекций единичного вектора

нормали к фронту волны n 0j запишутся следующим образом;

пх Г - CoS в<'

COS 6>г ;

пх ~ °оз ■ ѳі ;

^х ~ ~ СоіѲѵ>

пх Г ~ Cos âS>

пу Г - s i n e f ;

пу Г -sin Ѳг ;

-sin Ѳа ;

пчѵ~ - SinQ^', nys~ - ііп Ѳ6;

и единичного вектора омѳщѳния fn ej

mXf-s in Ѳ(; >пжг^»іп ѳг ;

гпх ~сол Ѳ} ; ^ жѵііп іРу ; mxs^-c0Ses;

спу, - - cos Ѳу ;

туг - см Ѳг ; myj - -sin ва ;

myv“ ~Coa °v ; f n ^ - s i n ef .

Подставляя эти выражения в граничные уоловия (17.67) і учитывая следующие соотношения:

= /

-

А , .

 

А, . г " _ Аѵ 'г " —

 

/ •

 

Т{ г л

’‘ Тх

~ Х

:

Tji

л ,

» ~ 1 Ё А

получим выражения для комплексных коэффициентов,

отражения м

прохождения:

 

 

 

 

 

ф

 

 

 

Т ' = - А

^

^

 

)

 

 

 

<

OM-Jg.

 

 

 

lss

Ass

ф

ъ-н

« Л

Ъ , ^

' ■ (17.68)

 

 

 

 

’'J J

s

 

 

іде

Л -a

A ss

 

ss

 

I

* ^ ~ Ass ) Фѣр )>р + і

I

cos 22 Ѳ

 

C o s32 0 v-2 S in 2Ѳ s i n Ѳ

 

Cos22 Ѳ+2 S in 2 Ѳ - s in & V - f a - sin 3 Ѳ

f

C o s Ѳ

 

Cod2 2 Ѳ + 2 $ і п 2 Ѳ'ЗСп&УІЧ р ~ 5Сп* в .

--- 1

9

2 ë ^ j i / i / ë 3- Sin2

 

ѳ

 

„ і /

с - коэффициент Пуасоона.

В- Ч г п - г в ) '

*'

106

Выражения для коэффициентов

Т '

и

Т "

мокко найти в

работе

[ 2 5 /.

 

 

 

 

 

*р

 

5Р

 

 

 

 

 

 

Теперь

рассмотрим

падение на трещину

Я Я

~ волны. В этом

олучаѳ перемещение гѵ в направлении

оси

о г

не

зависит

от z

(

О

),

а перемещения по

осям о х

и

о у

равны нулю.

При этом граничные условия (ІУ.46)

запишутся в

следующем ви-

Д8:

 

 

 

 

 

,

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

( я а я х ) - ( 1 Г б я х ) і

 

 

 

sf

/

 

\/

f f f

 

»// у

 

f

 

I//

(ІУ»69)

где

-

,

s u r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G£x

~ S ' d x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Степени штрих и два штриха обозначают сторону трещины по

ходу

падающей волны.

 

S M -волны возникают две новые

 

При падении на

трещину

поперечные волны -

отраженная

S H 1 и преломленная Я Я "

Проекции перемещения в этих волнах можно записать в следующем

ВИД8!

 

 

 

 

 

 

 

 

£в> ,

 

 

 

 

 

 

 

 

ZV. - m.- Лп;. еУ- —

(пѵ■X +п

y - s t)

(ІУ.70)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

-

комплексная

амплитуда;

л 'у

- проекция на

плоскость

трещины единичного вектора

смещения rno (mSH-

rnJH<T~f).

 

Подставляя

(ІУ.70)

в

(ІУ .69),

получим:

 

( 2 7 тп - п

 

. Т. é*' V

= ( 2 7 т - п

 

T .e * jV)

;

 

 

 

'Ѵ

Л

'

 

\ ^ rv

 

*/ )

'

'

СІУ.7І)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ѵ

. _

 

-

" "

/ S

^

 

 

 

nnj. .

 

j*

2 .

gr~.

- комплексный

 

где

 

X. =.

 

 

 

 

 

х.--

 

 

 

’

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

J .

 

 

 

 

 

 

 

 

коэффициент отражения (преломления).

 

 

 

 

Й8

условия,

что

отражение и преломление не зависят от ѵ,

следует

X

*

const

,

т .ѳ .

 

 

 

 

(ІУ.7Іа)

 

 

 

 

 

В-Ѳ 'щ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ідѳ

В,

 

-

 

углы единичного вектора пд. -

нормали к

 

фронту волны о осью

ОХ .

 

 

 

^ _

 

 

 

Решая систему (ІУ .7І)

относительно Kj

и учитывая равен­

ство углов

падения,

отражения и преломления (ІУ .7 Іа),

полу­

чим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

106

Смотрите также файлы