Файл: Черный Ф.Б. Теория электромагнитного поля курс лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.07.2024
Просмотров: 144
Скачиваний: 1
|
ЛЕКЦИЯ 9 |
|
П Р О В О Д Я Щ И Й |
И Д И Э Л Е К Т Р И Ч Е С К И Й |
ШАР |
В О Д Н О Р О Д Н О М |
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ |
ПОЛЕ |
1.Постановка задачи .
2.И д е а л ь н о проводящий ша р в однородном электростатическом
поле.
3.Диэлектрический шар в однородном электростатическом поле.
1. Постановка задачи >
В однородное электрическое поле Е 0 вносится идеально прово дящий ш а р или шар из идеального диэлектрика . Требуется найти
возмущенное поле. Ясно, что на |
больших расстояниях от ш а р а |
по |
|
ле будет невозмущенным |
и равно Е 0 (рис. 1). Очевидно, что |
для |
|
нахождения возмущенного |
поля |
целесообразно использовать .сфе- |
|
|
|
Рис. |
1 |
Рис. 2 |
ркческую систему |
координат |
|
г, &,<р. Однородное поле в этой систе |
|
ме координат |
представится |
формулами (рис. 2). |
||
Er=E |
Ocos |
&; Еъ = |
^ O C Ü S ^ - ^ - +&j^-j^oSln &; |
|
Eo=£0 (r°cosa-ft0 sin8).
Потенциал |
?0 однородного поля |
в этой ж е системе |
координат, |
|
к с. к нетрудно |
проверить по формуле |
Е |
0 = — gr.ad<p0, равен |
|
|
fo=—E0rcos |
&. |
|
(1) |
51
Н а х о ж д е н и е возмущенного поля, как в общем случае, имеет ме
сто в |
теории электромагнитного поля, проводится двумя этапами: |
а) |
находится решение, удовлетворяющее уравнениям Мак |
свелла; |
|
б) подбираются неизвестные постоянные, входящие в решение таким образом, чтобы были удовлетворены граничные условия на границе сред .
Однако зачастую оказывается возможным воспользоваться го
товым решением |
и таким |
образом |
свести решение |
задачи |
только |
||||||
к выполнению второго этапа. |
Н и ж е поставленную |
задачу |
мы |
бу |
|||||||
дем решать именно этим |
путем. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2. Идеально проводящий шар в однородном |
|
|
|
|||||||
|
|
электростатическом |
поле |
|
|
|
|
|
|||
Хорошо известен метод решения следующей |
простой |
|
задачи: |
||||||||
имеется |
точечный |
з а р я д |
над |
идеально |
проводящей плоскостью, |
||||||
требуется найти |
поле н а д |
этой |
плоскостью. Эта |
з а д а ч а |
решается |
||||||
методом зеркальных изображений . Этот |
метод |
|
состоит |
в |
том, |
||||||
что поле |
над плоскостью |
представляется |
в виде |
суммы |
полей |
ре |
|||||
ального |
з а р я д а и его зеркального |
изображения, |
имеющего |
проти- |
|||||||
ьоположный знак. Как видим, суть этого метода в том, что исполь
зуется |
готовое |
решение |
уравнений |
М а к с в е л л а — таким |
является |
|||
поле воображаемого заряда, причем положение |
этого заряда по |
|||||||
добрано так, что суммарное поле удовлетворяет |
граничному |
условию |
||||||
на идеально проводящей |
плоскости |
£ т = 0 . |
; |
|
|
|||
" Метод зеркальных изображений |
наводит на мысль о возмож |
|||||||
ности |
подбора такой в о о б р а ж а е м о й |
системы, з а р я д о в внутри шара, |
||||||
чтобы |
поле |
этих |
з а р я д о в |
совместно |
с однородным полем Е 0 удов |
|||
летворяло |
граничному условию на |
поверхности |
шара |
|
||||
|
|
|
|
£",=0. |
" .- |
|
|
(2) |
Вытекающее из этого условия граничное условие для потен циала <р таково:
где |
/ — л ю б а я кривая на |
поверхности |
шара |
S. Отсюда |
следует, |
||||
что |
f\s = const. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«Р-То+Тдоп. |
|
|
|
|
|
где |
<рд о п — потенциал |
искомой |
системы |
з а р я д о в |
внутри |
ш а р а . |
|||
Из формулы |
(1) |
следует, |
что <рд оп д о л ж н о с о д е р ж а т ь |
множитель |
|||||
c o s ô |
(граничное |
условие |
д о л ж н о выполняться |
при любом |
ô), а та |
||||
кой множитель содержится в выражении для потенциала диполя. Поэтому положим
^cos э-
52
где р —• искомый момент диполя . Следовательно,
|
На |
поверхности |
шара, т. е. при г —а, |
должно |
выполняться ус |
|||||||
ловие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<Pç=j — Е0а |
+ |
|
_Е—|cosö=const. |
|
|
|
||||
|
|
|
V |
|
|
4*= 0 я а / |
|
|
|
|
|
|
|
Так как это равенство д о л ж н о |
выполняться |
при |
любом |
&, то |
|||||||
оно |
возможно только |
тогда, |
когда |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
it |
|
|
—Е0а+ |
: |
• = о, |
|
|
|
|
|
|
||
откуда |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ ? = 4 а д 3 Е 0 £ 0 |
|
|
|
(3) |
|
|
|||
и задач а решена. На |
рис. 3 |
показаны |
векторные |
|
|
|||||||
линии |
поля Е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Диэлектрический |
шар в |
однородном |
|
|
||||||
|
|
N |
электростатическом |
поле |
|
|
|
|||||
|
В этом случае, в отличие |
от предыдущего, д о л ж н ы |
выполняться |
|||||||||
два |
граничных условия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
где |
Êj |
и е,— диэлектрические |
проницаемости |
внутри |
и вне |
шара |
||||||
(рис. 4) . |
|
|
Граничному условию (4) соответству |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
ет условие для |
потенциала |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
foi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dl |
, |
dl |
|
|
|
|
|
Рис. 4 |
|
Это |
граничное |
условие |
сводится |
к сле |
||||
|
|
|
дующему: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
cpj—cp2 =const=0,
поскольку в бесконечности потенциал <р2 д о л ж е н равняться нулю. Таким образом, на поверхности- ш а р а д о л ж н о выполняться усло вие
?і Ь= [Р2І5 |
(6) |
53
и условие, |
соответствующее |
(5), |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
' 1 |
дп |
"2 |
дп |
|
|
|
|
|
(7) |
В случае идеально проводящего ш а р а поле внутри его |
равно |
|||||||||||
нулю. В случае ж е диэлектрика |
поле внутри шара отлично от нуля. |
|||||||||||
Поэтому д о л ж н ы быть две неизвестные |
величины |
соответственно |
||||||||||
двум граничным условиям . Если попытаться |
решить |
задачу |
путем |
|||||||||
подбора |
поля диполя, то это даст одно |
неизвестное—< момент |
ди |
|||||||||
поля р. Очевидно, что вторым |
неизвестным |
д о л ж н о |
быть поле |
Е, |
||||||||
внутри шара . Итак, полагая |
поле |
E h |
параллельным |
полю |
Е 0 |
|||||||
внутри ш а р а однородным, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вне |
шара |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
?2 = |
То + Ч'»п = - V C O S & + |
£ С |
° ! г ' • |
|
|
|
|
|||
Подставляем эти в ы р а ж е н и я |
в граничные |
условия |
(6) |
и |
(7), |
|||||||
и получаем |
систему |
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
F |
-F |
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2р |
|
|
|
|
|
|
Р е ш а я |
ее, |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
/?=4т:е 0 е 2 а3 |
— — — |
|
|
|
|
|
(8) |
||
|
|
|
|
|
2 ч + Ч |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
+ Ч |
°- |
|
|
|
|
|
|
В частности, при е 2 = |
1 , г 1 = г > 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
/ ? = 4 * е 0 а 3 ^ Е 0 |
|
|
|
(9) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
Конфигурация векторных линий поля Е для это го случая изображена на рис. 5. В связи с неравен Рис. 5 ством (10) вводят понятие фактора деполяризации,
который определяется по формуле
Р '
54
где Р — вектор поляризации внутри "диэлектрика ш а р а .
Учитывая, что Р— £ 0 ( е — \)Еи находим |
|
" ~ « o ( ' - l ) F 3 |
3 ' |
Рассмотренное решение задачи о шаре используется при изу чении рассеяния электромагнитных волн в атмосфере и в других средах,.
|
|
|
ЛЕКЦИЯ |
10 |
|
|
ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО |
ПОЛЯ |
|||||
1. Энергия |
дискретной |
системы |
и непрерывно |
распределенных |
||
в пространстве |
|
зарядов . |
|
|
|
|
2. Энергия |
электростатического |
поля |
в анизотропной среде. |
|||
Симметричность |
тензора |
диэлектрической |
проницаемости. |
|||
а. Эллипсоид |
энергии |
тензора |
диэлектрической проницаемо- |
|||
СІ.И (эллипсоид |
Ф р е н е л я ) . |
|
|
|
||
1.Энергия дискретной системы и непрерывно распределенных
впространстве зарядов
Рассмотрим систему п |
проводников, на которых распределено |
(по поверхности) п з а р я д о в |
qi (рис. 1). |
|
|
Рис. 1 |
Энергия, |
запасенная в |
электростатическом поле в объеме V, |
равна |
|
|
|
|
V |
П о д с т а в л я я |
под интегралом |
Е=—grad<p, имеем |
56