Файл: Черный Ф.Б. Теория электромагнитного поля курс лекций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.07.2024

Просмотров: 142

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

П о т е н ц и ал ср находим

по формуле

(3):

 

 

 

 

Т

J

4л:еп т-

 

 

 

 

 

 

г

 

 

 

 

 

Из этой

последней формулы следует, что поскольку Е =—gradcp.

то найденный вектор Е удовлетворяет

и первому

уравнению

Мак ­

свелла.

 

 

 

 

qu q2,

 

q„

Рассмотрим теперь систему точечных зарядов

^з,

(рис. 3).

 

 

 

 

 

 

 

Так как

уравнения Максвелл а

линейны, то, пользуясь

принци­

пом суперпозиции для суммарного потенциала этой системы заря ­ дов в точке с координатами — х, у, z (точка наблюдения), можем написать

где

Этот результат можно обобщить на случай непрерывного распре­ деления з а р я д а и написать (рис. 4)

где

 

 

 

 

 

 

 

Формула

(6), очевидно, представляет собой

решение уравнения

Л а п л а с а

(5), поскольку она

является

обобщением

формулы

для

дискретной

системы точечных

з а р я д о в ,

когда потенциал определял­

ся не в этих точках.

 

 

 

 

 

Однако

мы сейчас покажем, что формула

(6)

является

т а к ж е

решением

и уравнения Пуассона . В самом деле, пусть точка наблю-

 

Рис. 3

 

Рис.

4

 

Рис. 5

Д Й Н И Я

с

координатами х,

у,

z расположена

в

области, где рф-0

(рис.

5).

Тогда, выделив

эту

точку,

о к р у ж а я

ее

сферой малого ра-

42

диуса /о и

объемом Ѵо, м о ж н о

д л я

потенциала,

созданного

заря ­

дами в остальной части объема

Ѵи

написать

 

 

 

 

Исследуем

выражение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A(f=^7Îf

dV.

 

 

 

 

 

 

 

Va

 

 

 

 

 

 

Очевидно,

что

 

 

/•„п2-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л<Р<|рмакс I J" ¥ =|Рмакс| ]

] ]

' ^ ' " ^

^

Г

^ О .

 

 

 

Ѵ о

 

ООО

 

 

г°-*°

I

 

Таким

образом доказано, что

и д л я

уравнения

Пуассона

реше­

нием является

выражение

 

 

 

 

 

 

 

 

< Р = т М — dV.

аV

4.Потенциал системы дискретно распределенных зарядов

на больших расстояниях

Согласно изложенному выше можем написать

Положение точки наблюдения будем характеризовать радиусомвектором г, а положение зарядов будем характеризовать вектором /,: (рис. 6), причем будем считать, что

Тогда можно полагать

 

гі=г—

 

/(Cos

Ѳ,;

1

1

 

_ 1

/(cos 8f

Гі

Г—lfiOS

Ѳг

г

 

Рис. 6

и, следовательно,

(7)

i=\

так как

/(Cos Ѳ(=г°1(.

Из этого выражения (7) можно сделать два в а ж н ы х вывода:

43

1)

на больших

расстояниях

от системы

потенциал такой

ж е ,

как и потенциал одиночного точечного з а р я д а

величины

 

 

 

 

 

л

 

 

 

 

 

 

 

1 = 1

 

 

 

2)

если система

нейтральна,

т. е.

 

 

 

 

 

і =

\

 

 

.

 

то потенциал обратно пропорционален квадрату расстояния и

ра­

вен

 

 

 

л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л

 

 

 

 

 

 

Вектор р = 2 ^ / 1 /

называется

электрическим

моментом системы

 

1-1

 

 

 

 

 

 

зарядов . Свойство этого вектора — величина

его не зависит от на­

чала

отсчета. В самом деле,

пусть начало

отсчета смещено на а

і! находится в точке О' (рис.

7).

Тогда

 

 

 

 

і ; = 1 , - а ; р ' = І ^ і ; = І і < 7 Д - а ) =

£

д^-а^д^р,

 

 

 

i=i

i-i

 

i=i

i-i

 

Рис. 7

т. е. момент такой ж е , как если бы смещения начала не было.

ЛЕКЦИЯ 8

ЭЛ Е К Т Р И Ч Е С К ИЙ Д И П О Л Ь . ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ

МО Д Е Л Ь Д И Э Л Е К Т Р И К А

1.Электрический диполь.

2.Мультиполи.

3.Вектор поляризации .

4.Внутреннее поле.

5.Формула Клаузнуса — Мосотти .

1.Электрический диполь

Электрический

диполь — это

система из

двух

равных

по

вели­

чине и противоположных

по знаку

электрических зарядов

+

qn—q.

Найдем

поле

электрического

диполя. Д л я

этого

вводим

сфериче­

скую систему

координат

г,

 

ср

(рис. 1)

 

 

 

 

(координату

<р не

смешивать

с

потен­

 

 

 

 

циалом

<?).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Согласно

изложенному

в

предыдущей

 

 

 

 

лекции

потенциал

этой

системы

равен

 

 

 

 

 

 

 

pcosS-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 * * аГг

 

 

 

 

 

 

 

где p = ql — электрический

момент

диполя.

 

 

 

 

Н а п р я ж е н н о с т ь

поля

равна

 

 

 

 

 

 

Е=—grad <р=

Здесь учтено, что в силу осевой симметрии производная по коор­ динате <р равна нулю. В результате получаем

E = - r £ - s ( 2 r 0 c o s & + 8 0 s l n & ) ,

т. е. составляющие векторы напряженности поля в сферической си­ стеме координат; равны

Ег=

2pcos а-

ps'm 8-

 

 

45

В е к т о р н ые линии диполя изображены схематически на рис. 2. Диполь с меняющимся во времени диполыіым моментом является простейшим излучателем радиоволн.

 

 

 

2. Мультиполи

 

 

Н а р я д у

с

диполем

можно

себе

представить

более

сложные

нейтральные

системы

зарядов,

называемые мультиполями.

На рис.

3 изображены диполь,

квадруполь и

октуполь.

К а ж д ы й

 

мультиполь, как и диполь, обладает

своим

моментом:

 

 

 

 

 

<

КдаИрупт

ИтупиЛй

 

 

 

 

 

Диполь

 

 

 

Рис.

2

 

 

 

 

Рис. 3

 

квадруполь — квадрупольным, октуполь — октупольным

моментом.

Б ы в а ю т мультиполи

и более высокого порядка. Найдем

потенциал

и момент мультиполя произвольного

порядка. Вычисления произ­

водятся по

той ж е

схеме, по которой

вычисляются момент и потен­

циал

диполя и

не

нуждаются

в

дополнительных

пояснениях

(рис.

4).

 

 

Диполь:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ і « г ;

 

 

 

 

 

<Рі -

 

 

_ Я

гг.

 

 

 

 

4 я е

 

4™ а

 

 

 

 

 

_ qlYcos 9-

p,cos 6- _

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

Квадруполь:

 

 

 

 

Рис.

4

 

 

 

/ 2 « г ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ср2=-

PlCQS »! L _

±Л_

Picas*

г * - г \

 

 

 

 

 

4 я е „

 

4тіга

ггг\

 

 

 

_ fllCQsfr (r—rjlr+rj

=

2/»1 bcosa-1 cos fr.

 

46

Смотрите также файлы