Файл: Черный Ф.Б. Теория электромагнитного поля курс лекций.pdf

Воспользовавшись

теоремой

Остроградского — Гаусса

ч

тем,

что потенциал

каждого

проводника

постоянен,

найдем

U r .=

—У,

<?,j>DnidS+

-L

fa„DndS,

i-t si

s

-

г д е S „ — п о в е р х н о с т ь

сферы

очень

большого

радиуса,

включаю­

щей все проводники.

В последней формуле считаем нормали

к поверхностям

провод­

ников внешними

по

отношению к проводникам. Вспомним, что в

теореме Остроградского — Гаусса нормали

должн ы

быть

внешними

по отношению

к

той

области,

в

которой

теорема

применяется.

Интеграл по

поверхности

сферы

S „

д о л ж е н

стремиться

к

нулю

с увеличением радиуса сферы /•«,, поскольку

П

L

ф

L

С

_ г 2

Учитывая

далее,

что

§DnidS=qi,

окончательно

находим

л

d*Ws _ d°-Ws _

1

с -

àfKdfi • дъдук

2

I"'

Cu-tc">

С'ік=-Сік<0.

Сц — называется

собственной

емкостью;

С'н

— коэффициенты емкости.

Ясно, что

формула

(1)

применима

и

к случаю

системы

точеч­

ных

зарядов .

В

этом

случае <р,- — это

потенциал

в

точке, где

нахо­

дится

з а р я д

qi и созданный всеми остальными

з а р я д а м и .

В

част­

ности,

для

энергии

взаимодействия двух

зарядов

W^-±-{qlb

+ q2o2).

(2)

Здесь может возникнуть вопрос: откуда взялся

м н о ж и т е л ь - ^ - ?

Согласно

элементарным

соображениям

энергия

взаимодействия

двух

з а р я д о в

qt

и q2

равна <рі<7і, т. е. работе,, совершаемой

против

сил

поля

на

перенесение

з а р я д а

qx из бесконечности в точку, где

потенциал

равен

Л и б о эта

работа равна <f2q2.

Отсюда

видно,

что

в

формуле

(2)

величина в

скобках

равна

удвоенной

энергии

взаимодействия.

Пользуясь формулой (2), рассчитываем энергию

4^-%

взаимодействия диполя с внешним

полем. Эта

энер-

"~

гия

р а в н а

(рис.

2).

W^qi^-b^q^M^pgraà

<р = - рЕ .

(3)

ля р противоположно направлен

вектору Е и, наоборот,

когда век­

тор р совпадает по направлению

с вектором Е, потенциальная

энергия диполя в электрическом

поле

наименьшая . •

Энергия электростатического

поля

при непрерывном распре­

делении зарядов с плотностьюр, как следует из формулы

(1), равна

dwa=EdP,

(4)

Иначе говоря, выражение (4) представляет собой работу, за­

трачиваемую на изменение составляющих поля

от Ех, Еѵ,

^ с о о т ­

ветственно до Ex-\-dEyi

Ey-\-dEy, Е2-\-йЕг.

Если

составляющие поля

принимают первоначальное значение Ех, Еу, Е2, то согласно

закону

сохранения

энергии

изменение

энергии

поля

д о л ж н о

равняться

той ж е величине

(4). Следовательно,

величина dwg

из (4)

должна

являться полным дифференциалом функции wB(Ex,

Еу,

Bz).

О т с ю ­

да

следует,

что д о л ж н о быть

d-wa

&wa

d'wa

_ <?X

d*wg

_

dzwB

^

дЕхдЕу

дЕудЕх'

dExdEz

dEzdEx

'

дЕудЕг

дЕгдЕу

'

io

есть

смешанные

производные от каких-либо

двух

аргументов

функции

\Ѵа

не д о л ж н ы зависеть от порядка

дифференцирования .

Следствием этого

требования

является

симметричность

тензо­

р а

Электрической

восприимчивости

и соответственно

симметрич­

ность тензора диэлектрической проницаемости.

Проиллюстрируем

этот вывод, для упрощения

предполагая,

что dEz

= 0.

Имеем:

dwB

=EdP=ExdPx+EydPy=B0Ex{yexrdEx+

+ x C ï y r f b " > , ) + e 0 £ , ) J ( ) : e j , v r f £ _ , + ) ; o , y d £ ' y ) = £ 0 ( ) : ^ v £ ' j : +

+yeyxEy)dEx+z0(yeXyEx+yeyyEy)dEy;

дЕх

=го(*~еххЕх+У-еУхЕy)>

дЕудЕх

~

^еух''

dwB

^

d*wg

Отсюда видно, что, действительно, выполнение

условий (5)

тре­

бует

выполнения равенств

^-еух^Улху

^-exz—Xezxt ^-eyz—Xezy-

Симметричность тензора

электрической восприимчивости

вле­

чет

за

собой симметричность

тензора диэлектрической проницае­

мости,

поскольку

о.

Эллипсоид энергии

тензора диэлектрической

проницаемости

(эллипсоид Френеля)

wa = 4 " E D = =

-^(ExDx+EyDy+EzDz)

=

= -£(вххЕ1+*ууЕ*+вггЕ1+2гхуЕхЕу+

(6)

+2вхгЕхЕг+2*угЕуЕг)=*іѵ.

(Ex,ErEz).

Из этого выражения видно, что уравнение

ws

(Ех,Еу,Еz)=const

стве, координатами

точек которого являются составляющие векто­

ра напряженности

поля Е r , Ev, E'z (рис. 3) . Этот эллипсоид наз-ы-