Файл: Черный Ф.Б. Теория электромагнитного поля курс лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.07.2024
Просмотров: 133
Скачиваний: 1
ьоторые формально аналогичны уравнениям Максвелла для элек тростатики:'
|
|
|
|
r o t E = 0 ; |
|
|
|
|
|
; |
d i v E = - L . |
|
|
|
|
|
|
«о |
|
|
Следовательно, в |
магнитостатике |
постоянных |
магнитов можем, |
|||
.к?к и |
в |
электростатике, |
ввести понятия магнитного потенциала |
|||
<рт по |
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H = - g r a d <?„„ |
|
|
который |
удовлетворяет |
уравнению |
Пуассона |
• |
||
|
|
|
|
V2 ?m = -Pm. |
|
|
решением |
которого |
является выражение |
|
|||
В частности, поле магнитного диполя на больших расстояниях можно рассматривать как поле двух «магнитных зарядов» и соот ветственно потенциал его будет равен
/«COS 9-
Ти- 4лгг '
где m — момент диполя.
5. Ферромагнитный шар в однородном магнитном поле
В качестве примера применения полученных в п. 4 формул рас смотрим ферромагнитный шар в однородном магнитном поле Н 0 (рис. 4).
Здесь граничные условия на поверхности ш а р а для потенциала аналогичны граничным условиям в случае диэлектрического шара, т. е.
4m\\s=<?m2\s>
дп = ^ 2 дп
Рис. 4
Поэтому здесь можно воспользоваться готовым решением для диэлектрического ш а р а (формулы (8) и (9) лекции 9), но с уче том отличия выражений для потенциалов электрического и магнит ного диполя
ср. |
/1COS Э- |
/7/.COS 9- |
4 КЕП Л2 |
' |
69
В результате получаем для поля внутри ш а р а
' 2[A3-t-(J-i ü
!I для магнитного момента воображаемого диполя
ПрИ [Х2-=1 (|i! = }J.)
Аналогично фактору диполяризацип здесь вводят в рассмотре ние размагничивающий фактор, который определяется формулой
L = M •
В рассматриваемом случае ферромагнитного шара, учитывая,
что М= (ѵ-1)Н1г
L = |
-L |
^ |
3 ' |
как и в случае диэлектрического |
шара . |
ЛЕКЦИЯ 12
ЭНЕРГИЯ МАГНИТОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ СТАЦИОНАРНОЕ И КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ПОЛЯ
1. Энергия магнитного поля постоянных токов.
2.Стационарное поле.
3.Квазистационарное поле.
1.Энергия магнитного поля постоянных токов
Энергия магнитного поля равна
W^^HBdV;
учитывая, что B = r o t A , получаем
U7 M = - ^ - J Hrot AdV.
V
Воспользовавшись тождеством
d i v A x H = - A r o t H + H r o t A ,
получаем
H ? M = s - L J A r o t Hrf V + - 5 - J d i v [ A H ] d V.
V V
Учитывая второе уравнение Максвелла в первом интеграле и
теорему Остроградского — Гаусса |
во втором интеграле, находим |
|||
I F M = 4 J J A d l / + 4 - J [ A H ] n d S . |
|
|||
|
V |
|
s |
|
Д а л е е принимаем во |
внимание, |
что постоянные |
токи замкнуты |
|
и, подставляя dV = rf//ÄS, |
M S = |
/, |
первый интеграл |
преобразуем к |
виду |
|
|
|
|
V |
1 = 1 |
h |
|
|
71
где |
п — число замкнутых |
токов. Воспользуемся |
соотношением. |
|||||||||
|
|
|
JAudl,= |
J TolnAjdSi=. |
lBnldSi = 0 h |
|
|
|
||||
где |
Ф;— поток |
магнитной |
индукции, |
пронизывающий |
площадь |
|||||||
S/ |
/-го контура |
тока. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Второй |
интеграл |
мы |
должны |
взять |
по замкнутой |
поверхности |
|||||
очень больших размеров, чтобы она охватывала |
все токи. Посколь |
|||||||||||
к у |
Л ~ |
-y-, |
H'—у?, |
а поверхность |
5 ~ г І , поверхностный |
интеграл |
||||||
равен |
нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
В результате |
находим |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1-Х |
|
|
|
|
|
|
Замечаем , что это выражение аналогично формуле |
дл я энергии |
||||||||||
системы дискретных |
зарядов |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
і=і |
|
|
|
|
|
|
Выражени е (1) можно представить |
в другом |
виде, введя в рас |
|||||||||
смотрение |
коэффициент |
взаимной |
индукции |
по формуле |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
это выражение в |
(1), |
находим |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
л |
п |
|
|
|
|
|
В силу |
того, |
что |
|
|
і=11-Х |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
ді,д!к |
дІкд1, |
' |
|
|
|
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вчастности, для одного контура
Ф= Ф і = І и І і = и
и
2. Стационарное поле
Стационарным называют поле .возникающее в проводнике, по которому протекает постоянный ток.
72
Уравнения М а к с в е л л а для |
этого поля |
I . |
r o t E = 0 ; |
I I . |
r o t H = J . |
К этим уравнениям нужно добавить материальное уравнение — закон Ома в дифференциальной форме:
J = aE.
Выписанные уравнения сводятся к законам Кирхгофа теории испей. В самом деле, второе уравнение Максвелла дает
cliv r o t H = Ö = d i v J ,
откуда сразу получаем первый закон Кирхгофа
S/ « - о ,
і. е. сумма токов в узле проводов равна нулю (рис. 1). Из первого уравнения Максвелла следует, что стационарное электрическое по ле потенциально, поскольку
E = - g r a d « p , |
JEtdl=0. |
Подставляя под интегралом
Etdl |
dl= — 7 - 5 - |
=/dR, |
|
aAS |
|
Рис. 1
где
dl
dR--
сопротивление провода элемента длины dl, получим
IR^E.dUO.
Поскольку R¥=0, то / = 0, то есть постоянный ток не может су ществовать за счет стационарного электрического поля.
Остается предположить, что он создается посторонними э . д . с,
напряженность |
поля которых |
Е с т о р . |
Следовательно, здесь закон |
Ома должен быть обобщен с |
включением в него напряженности |
||
поля сторонних |
э . д . с, то есть |
|
|
|
J=o(E - fE C T O p |
) . |
|
Проинтегрировав обе части этого соотношения по замкнутому
.контуру, найдем
IR= §(Е[-\-ЕСТОр )d 1= $ £ С т о р dl=ßCTOf |
• |
