Файл: Черный Ф.Б. Теория электромагнитного поля курс лекций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.07.2024

Просмотров: 138

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

В результате отсюда получаем второй закон Кирхгофа

л

1i^^fè

стор »

/ = 1

 

то есть сумма падений напряжений на отдельных участках з а м к н у т о й цепи равна сторонней э . д . с, действующей

Рис. 2 в этой цепи (рис. 2).

3. Квазистационарное поле

Квазистационарное поле имеет место в проводниках, по кото­ рым протекает переменный ток, но достаточно медленно меняю­ щийся.

Признак медленности: ток смещения должен быть значительно Mti-іьше тока проводимости, то есть

І Л ш К і Л

Соответственно квазистационарное поле описывается уравне­ ниями Максвелла:

I . го. Е . _ ff,

H.r o t H = J

ндвумя материальными уравнениями

В= ц в Н ,

J=aE.

Выписанные уравнения

сводятся

к законам Кирхгофа для пе­

ременных

токов.

 

 

 

 

 

В самом деле, из второго уравнения

Максвелла, как и в случае

стационарного поля,

следует, что div J = 0 и, следовательно, пер-

Е Ы Й закон

Кирхгофа

здесь применим

без каких-либо модификаций

Д а л е е ,

первое уравнение

М а к с в е л л а

означает, что

 

 

г г

it

йФ

, dl

 

 

 

\ E i d l = - 4 t = - L 4 t -

Таким образом, из всего рассмотренного в данной лекции и ра­ нее вытекает, что существует три вида напряженностей электри­ ческого поля:

 

2

 

Е — потенциальное; для этого поля §Eldl*=)Eldl=—U,vjxz

U —

I

1

 

— разность потенциалов;

74

1

Е

вихревое или индукционное; для этого поля

fÉldt=—L-^-;

Е — стороннее; для этого поля § E„ovdl

= £стор

.-

С учетом этих трех видов полей обобщенный закон Ома в диф­ ференциальной форме должен представляться в виде

J =о(Е-|-Е„„д + Е С Т О р ) ,

откуда

т. е.

 

Rf+U+L

-jjj— <§стор I

ил и

 

Это есть второй закон Кирхгофа

для переменных токов.

ЛЕКЦИЯ 13

ПЛОСКАЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА

ВИЗОТРОПНОЙ С Р Е Д Е

1.Постановка задачи .

2.Плоская волна в диэлектрике.

3. Плоская волна в среде с проводимостью.

1. Постановка задачи

По определению, плоской электромагнитной волной является решение системы уравнений Максвелла, в котором векторы элек­ тромагнитного поля зависят только от одной координаты прямо­ угольной системы координат. Пусть это будет координата z

В а ж н о , что при этих условиях уравнения Максвелла допускают строгое решение.

Здесь и в дальнейшем будем считать, что изменение величины поля во времени происходит по гармоническому закону и, следо­

вательно, зависимость от времени будем

представлять

множите­

лем е-''"'. Среду будем считать однородной. При последних

двух

условиях в отсутствие зарядов уравнения

Максвелла I I I

и IV яв-

ляются, как сразу вытекает из

тождеств

 

 

 

c l i v r o t E ^ O ,

d i v r o t H s O ,

 

 

следствием первых двух уравнений.

 

 

 

Таким образом, формулы для плоских

волн в однородной

сре­

де мы можем получить, оперируя только

первыми двумя

уравне­

ниями Максвелла .

 

 

 

 

2. Плоская волна в диэлектрике

Первое и второе уравнения Максвелла представляются следую­ щими скалярными уравнениями

76

дЕу

.

u

àEx о

 

 

 

 

I I .

дИх .

с

 

 

Из этих уравнении сразу видно, что поскольку

# 2 = 0 и

Ez=0,

плоская волна является поперечной.

 

 

 

Выписанные скалярные уравнения за­

 

 

пишем в виде более

компактных вектор­

 

 

ных уравнений. Д л я этого

воспользуемся

 

 

векторными соотношениями между еди­

 

 

ничными

векторами

координатных

осей

 

 

(рис. 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x u = y ü x z u ;

 

 

Рис. 1

 

 

 

 

y ° = z ° x x ° .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Умножая в

I обе части

первого

уравнения на

у° и обе

части

второго

уравнения на х° и складывая

левые и правые части

обоих

уравнений,

п олу ч а е_м

 

 

 

 

 

х°

Чг

+ У ° Чі

=-i^a[y°^}Hy+j^a{z\xa}Hx

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz = - M i e [ H , z 0 ] .

 

0 )

Аналогичным образом можно представить и вторую пару урав ­

нений

 

 

дНdz = / Ч Л Е , 2 ц ] .

(2)

Соотношения (1) и (2), таким

образом, являются

уравнениями

Максвелла для плоских волн.

 

 

И щ е м решение этих уравнений

в виде

 

Е - Ея . еЛ - ' - 1 ");'

 

Н = Н т е Л ш ' - * 2 ) ;

(3)

77

П о д с т а в л яя эти выражения для Е

и

H

в уравнения

(1),

(2),

находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Е = ^ [ Н ) 2 о ] ;

 

 

 

 

 

(4)

 

Н — ^ [ Е д о ] .

 

 

 

 

 

(5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из этих векторных соотношении следует, что векторы Е, H, z°

взаимно перпендикулярны и они соответственно ориентированы

как

единичные координатные векторы х°, у 0 ,

z°

(рис.

2). Д л я

того

что­

f.

бы найти

величину

к,

подставим

выражение

для

вектора H

из (5) в

(4)

и

получим

 

 

 

 

 

1—

к

і

>

 

 

 

Рис. 2

то есть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6)

Величина к называется волновым числом или постоянной рас­ пространения.

Смысл к проще всего выяснить, рассматривая уравнение пло­

скости

равных

ф а з :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

const.

 

 

 

 

Дифференцируя это уравнение по времени,

получаем

в ы р а ж е ­

ние для

фазовой

скорости

волны

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

с

 

 

 

 

 

dt

^

к

 

 

п

1

 

 

где с=

лГ—=

— с к о р о с т ь

распространения в

свооодном

про-

странстве, п=Ѵѵ&

— показатель преломления .

Следовательно,

 

 

 

 

 

ш _

2я

 

 

 

 

г д е X — д л и н а

волны.

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя

выражение

(6) для

к в формулы

(4) и

(5),

нахо­

дим

 

 

 

£ = Z e [ H ) Z ° J ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7)

H - у - [z°,E],

78

г д е

имеет размерность сопротивления п называется волновым сопро­ тивлением среды.

Д л я свободного пространства

Z « = j / ^ = 1 2 0 l î = Z ° -

' ( 8 )

Поскольку Z a вещественно, то, как видно из (7), векторы Е и H колеблются синфазно (рис. 3).

Рис. 3

Плотность потока энергии волны равна

S = I E , H ] = £ t f z ° .

Средняя плотность потока энергии рассчитывается по формуле

S c p = - 2 - R e { E , H * } = ^ | .

Плотность энергии

равна

сумме плотностей энергии электри­

ческого и магнитного

полей

ш в

и w..\

 

 

-

F3

та»=-

2

 

 

 

 

То есть энергии, запасенные в электрическом и магнитном

по­

лях

равны по величине.

 

 

 

 

Д а л е е получаем

 

 

 

 

s

Е *

_ L _ = - d .

 

 

W

 

 

 

то

есть

S=wvz°.

 

(9)

 

 

 

79

Смотрите также файлы