Файл: Черный Ф.Б. Теория электромагнитного поля курс лекций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.07.2024

Просмотров: 137

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

2. Граничные условия для векторов

D a ß

И т а к, пусть ось ох перпендикулярна переходному

слою и пусть

ка рис. 1 кривая представляет собою

изменение

какого-нибудь

электрического параметра при переходе

от среды

I к

среде I I .

 

 

 

 

 

Рис.

1

 

 

Представим третье уравнение Максвелла в виде

 

 

 

дРѵ

,

àDy

dDz

 

 

 

 

 

дх і

-

ду

дг

 

 

и проинтегрируем

обе части

 

этого уравнения

в пределах от точки /

до точки 2

(рис.

1). Тогда

получим

 

 

 

 

 

2

 

ôD

2

 

2

 

Dx2

- DX1

+

 

dx+

f

 

dx=Udx

или, считая

переходной

слой

достаточно

тонким, найдем

 

 

 

 

 

dDv

àD, .

.

 

D x , - D x V

 

'У a

 

 

 

 

 

 

 

 

dDy

д£)

 

 

 

 

Производные

- ^ - и

 

поскольку

они

представляют собой

изменения величин Dy и Dz в плоскости, параллельной граничной плоскости, должн ы быть конечными, поэтому при ДА'-»-0 получим

где ps—поверхностная

плотность зарядов, равная

 

 

( О

 

 

4*->-0

причем

Кл

 

\РЦ]=ЙГ

 

Видим, что уравнения Максвелл а допускают существование по­ верхностных зарядов и плотность их должна определяться фор­

мулой (1).

п к граничной плоскости по оси ох,

 

Н а п р а в и в нормаль

можем

граничное условие для

вектора D представить в виде

 

 

Dn2-Dnl=ps,

(2)

27

если

имеются поверхностные з а р я д ы и

 

 

D«2=Dnl,

(3)

если

на граничной поверхности

таковых

нет.

Н о р м а л ь н а я составляющая

вектора

электрического смещения

при переходе через поверхность раздела двух сред терпит скачок,

равный поверхностной плотности зарядов, или меняется

непрерыв­

но, если поверхностных зарядов нет.

 

Совершенно аналогичным образом можем получить граничное

условие для вектора В:

 

В„2-Впѵ

(4)

Н о р м а л ь н а я составляющая вектора магнитной индукции при переходе через границу раздела двух сред меняется непрерывно.

3. Граничные условия для векторов H и Е

Пусть переходной слой такой, как показано на рис. 1. Пред­ ставим второе уравнение М а к с в е л л а в виде трех скалярных урав­ нений

 

дНу

= 4 +

dDx

 

'ду

~дТ

dt

;

дНх

дН2

 

ôDy

 

dz

дх

 

~~дТ :

дНу

дНх

=JZ+

dD,

 

дх

ду

dt

 

-Проинтегрируем последие .два

уравнения в предела-х от точки

/ к точке 2 и получим

 

 

 

 

 

2

 

2

- 2

 

1 ,

1

 

1

î

}

1

 

1

Считая переходной слой достаточно тонким, получаем

—{H2i-HzX)+^f

 

^x=Jy^x+

Дх;

г,

дНх

,

dHx

. ..

П р о и з в о д н ы е - ^ 1

-^f-,

поскольку они представляют собой

2В

изменения

величины

#,. в плоскости, параллельной граничной пло-

 

 

 

 

 

 

 

dDy

 

 

ÖD

 

 

 

 

 

 

 

скости, конечны, равно как и —^-

и

,

поэтому

при

Дя-э-О

по ­

лучим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H n - H ^ J z s

,

 

\

 

 

 

 

 

 

(5)

где

Jy = y°JyS

4- z°JzS— вектор поверхностной

плотности

 

T O K J P ,

определяемый

равенствами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

JyS=limJyàx,

JzS=\imJzbx,

 

 

 

 

 

 

(6)

 

 

 

 

 

 

 

Дл^О

 

 

их-*-О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J ѵ ~ » - э о

 

 

У2 -»-ао

 

 

 

 

 

 

 

причем

[Jo] =

4 -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Видим, что уравнения Максвелла допускают существование

п о

ъерхностных токов и плотность их

д о л ж н а определяться

форму

лами

(6).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н а п р а в и в нормаль

п к граничной плоскости по оси ох,

из гранич­

ного

условия

(5)

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n X ( H 3 - H J = J 5 ,

 

 

 

 

 

 

( 7)

если имеются

поверхностные токи, и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п Х ( Н 2 - Н , ) = 0

 

 

 

 

 

 

 

пли,

взяв

вектор

t

касательный к

поверхности

раздела,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И^Н-Л,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8)

если на граничной поверхности таковых нет.

 

 

 

 

 

 

Тангенциальная

составляющая

 

вектора

напряженности

 

 

маг­

нитного

поля

при

переходе через

поверхность

раздела

двух

 

сред

іѵрпит скачок, равный поверхностной плотности токов, или

 

меня­

ется непрерывно, если поверхностных токов нет.

 

 

 

 

 

 

Совершенно аналогичным образом можно получить граничное

условие

для - вектора

Е:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Е^=Еи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(9)

Тангенциальная составляющая вектора напряженности элек­

трического поля при -переходе через

поверхность

раздела

двух

 

сред

меняется

 

непрерывно.

 

( з = о о ) ,

 

 

 

 

 

 

 

Внутри

идеального -проводника

как

следует

из

соотно­

шений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-L

= E = Ü - ^ r o t E=-ycDjx0 H->rot

H = J = 0 ,

 

 

 

 

 

поле

равно, нулю. Поскольку ж е

соответствующие

составляющие

поля

при

переходе

черезповерхность

идеального проводника

 

тер-

29

пят

 

скачок, то

д о л ж н ы

появиться

поверхностные

з а р я д ы и токи,

так

что

р^.¥=0

и Js¥=0,

причем

 

 

 

 

 

 

 

Dm=,Dn=ps,

n X H = J y .

(10)

 

В

этом случае

тангенциальная

составляющая

электрического

поля

и нормальная

составляющая

магнитной индукции равны ну­

лю

(рис.

2) .

 

 

 

 

 

4. Преломление векторных линий электромагнитного поля на границе раздела сред

Согласно граничному условию (3) можем написать

С учетом граничного условия (9)

е 1 £ Л 1

е 2 Eni

 

 

Рис. 2

 

 

 

Рис. 3

 

 

О б о з н а ч а я

Е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'2>

 

 

 

где

«! и a 2 — у г л ы

м е ж д у

линией, перпендикулярной

к

границе рдз-

дела

и векторами

Е,і и Е 2

в первой

и второй

средах

 

(рис. 3), по-

лучаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tgа і =

 

j j .

 

 

( П )

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогичным образом, используя граничные условия (4) и (8),

находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg a i

_

 

 

 

(12)

 

 

 

t g a i

 

Hi *

 

 

где

 

 

 

 

 

границе раз-

a! и a2— углы

между

линией,

перпендикулярной

к

дела

и векторами

Hi и Н 2

в первой

и второй

средах.

 

 

30

Смотрите также файлы