Файл: Черный Ф.Б. Теория электромагнитного поля курс лекций.pdf

3.

Уравнения

Пуассона

и Л а п л а с а

и их решение.

4.

Потенциал

системы

дискретно

распределенных зарядов на

теризующие лишь магнитное поле. Это

означает,

что

при

-Jj = 0

электричество

и магнетизм — явления разные.

электростатики;

П е р в а я пара уравнений

составляет

основу

вторая пара уравнений является исходной системой

уравнений

магнитостатики.

К этим парам уравнений для их решения

д о л ж н ы

быть добавлены еще и соответствующие

материальные

уравнения.

В данной лекции мы начнем изучать

электростатику,

которая,

следовательно,

определяется

уравнениями

I. r o t E = 0 ;

I I I .

dlvD - =p

"

и в простеишем

случае

изотропных

сред материальным

уравне­

нием

D=s 0 sE .

:

2. Электростатический

потенциал

Уравнение

1 утверждает,

что

электростатическое поле

безвих­

ревое. Поскольку

rot grad «р=0,

то м о ж н о положить

,

E = - g r a d t p = — у ?

(1)

дх

+ У

ду

dz

С к а л я р н а я

функция

<f> называется

электростатическим

потен­

циалом

или просто

потенциалом.

„

г

п

джоуль

=

Дж

Размерность

<Р = — — —

- 7 7 - .

r

l T J

кулон

Кл

Представление

электростатического

поля формулой

(1)

озна­

чает, что это

поле

потенциально. З н а к

«—» — результат

соглаше­

ния. Он

поставлен

для

того,

чтобы <р имела смысл

потенциальной

энергии. Точнее, чтобы работа, которую совершают внешние

силы

(против

сил

поля)

при

перемещении

единичного

положительного

з а р я д а

из одной

точки

поля в другую,

например из

точки

М{

в

точ­

ку Мг, равна

была

увеличению потенциальной энергии этого заря ­

да . Согласно (1)

эта работа

равна

г*

г*

grad fdl=

|j-dxAr

dy +

• '

t.

Mt

Mi

Mt

d

( 2 )

начального и

конечного

положения

з а р я д а .

Следовательно,

при

перемещении

з а р я д а по

замкнутой

кривой

работа

будет

равна

нулю.

Формулой

(1) функция ср определяется не полностью, а с точ­

ностью до произвольной

постоянной. О д н а к о

в большинстве

слу­

чаев

интересуются разностью потенциалов, и произвольная постоян­

ная

выпадает. Произвольная постоянная оказывается

равной

нулю

слранства. Тогда потенциал в бесконечности

равен

нулю,

а в точ­

ке

A4,-находящейся

на

конечном расстоянии,

м

<p(/W) = —

j

Erfl =

J E r f l ,

(3)

где

М м — т о ч к а в бесконечности.

Д л я

наглядного

представления

электростатического

поля, а

т а к ж е

для

расчетов

вводят

в

рассмотрение

понятия эквипотен­

циальных

поверхностей

и векторных

линий поля.

Эквипотенциальные

поверхности

определяются

уравнением

cp(^:,y,2)=const,

откуда

получаем, что на эквипотенциальной

поверхности

Если известны Ex,

Ey, Ez как функции координат-x,

y, z,

то ре­

шив эту систему дифференциальных уравнений, можно

определить

искомые векторные линии Е.

3.

Уравнения

Пуассона и Лапласа

и их решение

<

П о л а г а я

e = const и подставляя Е=—grad<p

в уравнение

I I I , по­

лучаем

divgràd 9 —

—

£

0 £

или

V

<

P

—

(

4

)

где

2 д' J _ д*~ _1_ д*

п

Ѵ 2 = ^ + ^ - 3 + - д ^ — о п е р а т о р Л а п л а с а .

Соотношение

(4) — это

уравнение

Пуассона;

в

тех

областях

пространства

где

нет зарядов, т. е. р = 0, уравение

Пуассона пре­

вращается

в

уравнение Л а п л а с а

Ѵ2 ?=0.

(5)

Таким

образом, система

уравнений

Максвелла

для

электро­

сона или Л а п л а с а для потенциала <р Найдя

потенциал, нетрудно

по

формуле

(1) вычислить

напряженность поля Е. Найдем реше­

ние

уравнений (4) и (5).

з а р я д а величины g

Начнем

с простейшего

случая — точечного

Рис.

2

Такой

з а р я д создает поле,

векторные линии

Е которого

направ ­

лены по

радиусам . Б л а г о д а р я

этой

сферической

симметрии

поле Е

определяется весьма просто. Д л я

этого используется третье урав ­

нение Максвелла в интегральной

форме

Проводится

сфера радиуса г

с центром в точке,

где располо­

жен з а р я д . Поскольку векторные

линии Е нормальны

к этой сфере

из последнего

соотношения, получаем