Файл: Чепиль А.М. Конспект лекций по элементам теории случайных процессов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.07.2024
Просмотров: 108
Скачиваний: 0
Из формул (4) — |
(7) следует, что в общем случае матема |
||
тическое ожидание |
интеграла от стационарного |
случайного |
|
процесса |
не равно |
константе, а корреляционная функция |
|
К-ц (fi, U) |
не будет функцией разности аргументов t2—1\. Сле |
||
довательно, интеграл стационарного случайного |
процесса в |
||
общем случае не является стационарным процессом.
Наконец рассмотрим общее линейное преобразование ста ционарного случайного процесса. Пусть f; (t) — стационар ный случайный процесс,
= к а ь , t2) = K i{t)
иL — произвольный линейный оператор, а
7)(*) - Ц (t) .
Чаще всего приходится иметь дело с интегро-дифференци- альными операторами. Если оператор L содержит только опе рации дифференцирования, умножения на постоянный множи тель и сложения, то процесс £ (t) также будет стационарным. Если же оператор L содержит операции интегрирования либо умножения на неслучайный множитель, зависящий от t, то в общем случае процесс tj (t) не стационарен. Характеристики процесса tj (t) определяются по тем же правилам, что и при линейном преобразовании произвольного случайного процесса
5 (0 . т- е- |
|
|
тг, (t) = Lnii , |
(8) |
|
t2) = |
Lt lL4 K i{ t 2 - tx) . |
(9) |
В заключение рассмотрим примеры. |
имеет |
|
Пример 1. Стационарный случайный процесс £ (t) |
||
математическое ожидание |
= 2 и корреляционную функцию |
|
ki (х) = 9 e-tt|T| cos рх .
Будет ли этот процесс дифференцируемым при произвольных значениях параметров а и Р (а > 0)?
Решение. Если существует вторая производная корреляци-
n |
dr К%( 0 ) |
- ... |
, |
|
оннои функции при т = 0 : |
— |
— ~ > то процесс ? (г) |
— диф |
|
ференцируем. Запишем корреляционную функцию так:
^ (t) — I |
9 е*'cos |
ПРИ |
х < 0 , |
||
£ |
I |
9 б_1Т cos рх |
при |
х > 0 |
|
и найдем первую и вторую производные функции |
k%(х) при |
||||
х < 0 и х > 0. |
При |
х < 0 |
|
|
|
5. Зак. 525. |
65 |
k'z (x) = |
9 eat (a cos px — p sin px) ; |
||
k", (x) = |
9 g" (a2 cos px — 2 aP sin px — p2 cos px) . |
||
Найдем предел k!\ (x) |
при z -> — 0: |
||
k"t ( — 0) = lim 9eaT(a2cos px—2 ap sin px—p2cos px)=9(a2—p2) |
|||
-->-o |
|
|
|
При x > 0 |
|
|
|
к1£ (x) = |
— 9 e~a%(a cos px -f |
p sin px) ; |
|
k'\ (x) = |
9 e- “x (a2 cos px -f- 2 |
ap sin px — p2 cos px). |
|
Найдем предел k'\ (x) |
при x -э- + 0: |
||
^"e( + 0)—lim 9e~ax(a2 cos px-(-2ap sin px— p2 cos px) = 9(a2—p2).
^->+o |
|
|
Так как k!\ (— 0) =■ &"? (+ 0 ), то |
&"e(x) непрерывна в точке |
|
x = 0 и, следовательно, существует производная |
||
k\ (0) |
= 9 (a2 |
- р2) , |
а это значит, что процесс |
£ (t) дифференцируем при любых |
|
значениях параметров а и р .
Пример 2. Характеристики стационарного случайного про
цесса £ (t) известны: |
|
|
tni *= 4 и |
/?£ (х) |
=■ 9 e - “N (а > 0) . |
Найти характеристики случайного процесса |
||
Л (0 |
= j |
£ (х) dz . |
Решение.
тп (t) = j пц dz = 4 | dz — A t.
оо
|
tx |
t2 |
|
t„ |
|
K^(tu i2) = |
j dzx j Kz (x2 |
— xt) rfx2 = 9 j |
dzxj |
dx2 . |
|
|
|
|
в |
и |
|
Если x2 < |
xlt |
to |
|
|
|
e~<^- |
a при x2 < xj |
“Is xil = |
e- * . - y |
||
Внутренний интеграл по х2 |
вычисляем с учетом этих условМг |
||||
66 |
|
' |
|
|
...иJ |
|
*2 |
|
|
|
|
|
\ е~а]х^ |
- |
1 |
|
|
|
J |
|
|
||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
е |
т3 = — [2 - <TaTi - |
; |
a. |
п |
~ |
|||
сс |
|
|
|||
Подставляя полученное значение интеграла в выражение для К ц (ti, t2), получаем
К п {h , |
t2) ~ |
2 - |
j 1 |
[2 |
- |
dxx= |
|
_9_ |
2 x |
, + |
- |
<Г‘Т* |
------ |
||
a |
|
|
|
|
|
|
|
= | |
a |
(2 ef, + |
e“e'i |
+ |
- е - Ч -Q - 1] . |
||
Как видим, математическое ожидание процесса ?) {() зави сит от времени, а корреляционная функция попросту является функцией двух независимых переменных t\ и t2, а не их раз-' ности t2—tь Поэтому процесс т, (t) не стационарен. Найдем дисперсию процесса ц (t):
Dn (0 - |
К п ((, t) = - i - (2 * t + 2 е~« - |
2 ). |
|
|
§ 3. СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ, |
||
|
ОБЛАДАЮЩИЕ СВОЙСТВОМ ЭРГОДИЧНОСТИ |
||
Совокупность всех реализаций случайного процесса пред |
|||
ставляет собой бесконечное и очень часто вообще |
несчетное |
||
множество детерминированных функций x k (t), |
описывающих |
||
все возможные |
течения процесса во времени. |
Эти функции |
|
xk (t) могут существенным образом отличаться друг от дру га. Если в результатах эксперимента наблюдалась некоторая реализация x k (t) процесса £ (7), то в общем случае она со держит весьма мало информации об этом процессе, так как
Р {£ (0 = ** (0} = о .
Полную вероятностную информацию о всех возможных реализациях случайного процесса содержат в себе, например, все его /г-мерные.функции распределения или соответствующие плотности распределения. Но, как отмечалось в главе I, зна-
67
нке всех многомерных законов распределения случайного про цесса затруднительно, если вообще не невозможно. Оставаясь в рамках корреляционной теории, оперируем одномерными и двумерными законами распределения, с помощью которых
можно определить некоторые |
«общие |
тенденции» процесса, |
т. е. общие свойства всех или |
«почти |
всех» реализаций про |
цесса t (i). Путем осреднения по вероятности можно получить математическое ожидание Щ (t ), дисперсию £>$ (t) и корре ляционную функцию Ki {ti, t2) процесса ? (t). На практике исследователь, наблюдая в некотором эксперименте течение случайного процесса ? (t ). обычно не располагает даже одно мерным законом распределения. Более того, часто в распоря жении исследователя имеется лишь одна реализация xk (t) этого процесса, и нет возможности повторить в неизменных условиях проведенный эксперимент, чтобы получить еще и дру гие реализации процесса.
Естественно возникает вопрос: можно ли по одной реали
зации случайного процесса |
£ (t) найти хотя бы приближенно |
|
основные |
характеристики |
этого процесса т.%(t), £>5 (0 и |
Ki. (£i, t2), |
чтобы составить определенные вероятностные суж |
|
дения о других его реализациях, о том, как «в среднем» будет протекать этот процесс при повторении подобного экспери мента?
В общем случае ответ на поставленный вопрос будет отри цательным. Однако существует значительный класс стацио нарных случайных процессов, для которых можно ответить утвердительно на данный вопрос. Это так называемые эргодические случайные процессы или процессы, эргодические по от ношению к математическому ожиданию и корреляционной функции.■Условия, при которых стационарный случайный про цесс обладает свойством эргодичности, определяются следую щей теоремой Хинчина.
Теорема. Если непрерывный стационарный в точном смыс ле процесс £ (I) имеет конечное математическое ожидание, то с вероятностью единица существует предел
о
Если обозначить данный предел через т, то сформулиро ванная теорема означает следующее:
Р
68
Доказательство теоремы Хинчина выходит за пределы про граммы курса. Кроме того, она дает достаточные условия эрго дичности случайных процессов, стационарных в точном смыс ле. В рамках корреляционной теории нас интересуют преиму щественно случайные процессы, стационарные в широком смысле. Достаточные условия эргодичности стационарных слу чайных процессов определяются следующей теоремой.
Э ргодш еская теорема. Если корреляционная функция ста ционарного в широком смысле процесса £ (t) непрерывна и удовлетворяет условию
т~> |
1 |
I |
|
|
(1) |
т |
|
|
|||
Пт |
|
Ki (х) dx = 0 , |
|
|
|
то имеет место равенство |
|
|
|
|
|
l.i.m. |
1 |
1 (f) |
dt = 1Щ . |
|
( ) |
|
т |
|
|
|
2 |
Доказательство. Сходимость в |
среднем |
квадратическом |
|||
означает |
|
|
|
|
|
(- |
г |
|
|
|
|
1р ■" j* |
£ (t) dt |
— /77 е |
О . |
(3 ) |
|
Докажем, что равенство (3) при наложенных ограничени ях на корреляционную функцию имеет место:
/ |
Т |
|
\2 |
/ |
|
|
M l - i - f u |
o dt - |
mt I *=M. 1 |
[ |
(§ (t) - mO |
dt |
|
|
|
|
rpо |
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
T |
T |
|
|
|
|
M |
_ L |
[? (0 — ws] |
[5 (t) |
- m\ dt dx |
|
|
f t |
|
||||
|
|
0 |
n |
|
|
|
Так как операции математического ожидания и интегриро вания перестановочны для СК непрерывных случайных про цессов, то
69