Файл: Чепиль А.М. Конспект лекций по элементам теории случайных процессов.pdf

Рис. 13

Вывод: В рамках корреляционной теории стационарный случайный процесс с непрерывным спектром полностью оп­

ределяется математическим ожиданием mt и спектральной плотностью (ш),

99

§ 3. УЗКОПОЛОСНЫЕ И ШИРОКОПОЛОСНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. БЕЛЫЙ ШУМ

Спектральная теория стационарных случайных процессов позволяет разделить их на два важных класса: узкополосные п широкополосные.

Стационарный случайный процесс Е (t) называется узко­ полосным, если его спектральная плотность s- (го) (его энер­

гетический спектр) существенно отлична от нуля в относи­ тельно узком интервале частот |ы — го0 1< Д«> и равна нулю или весьма быстро убывает к нулю вне этого интервала.

Спектральная плотность s; (&>) узкополосного случайного

процесса Е (£), как правило, в точке го = го0 принимает свое наибольшее значение. Вся или почти вся энергия флуктуации такого процесса распределена в полосе частот о)0 — Дго < со < <ш0-|-Д;о. Примерный график спектральной плотности s, (со)

узкополосного случайного процесса показан на рис. 15. К уз­ кополосным случайным процессам можно отнести и процесс, рассмотренный в примере 2 предыдущего параграфа.

Впротивоположность узкополосным случайным процессам

кширокополосным относятся такие процессы, в среднюю мощ­ ность флуктуаций которых вносят существенный вклад гармо-

100

иические колебания всех или почти всех частот, начиная с ну­ левой. Спектральная плотность s $ (со) широкополосного слу­

чайного процесса £ (/“) существенно отлична от нуля почти на всей полуоси частот 0<со<.оэ.

Примерный график спектральной плотности широкополос­ ного случайного процесса представлен на рис. 16. Следует, од­ нако, иметь в виду, что реально существующие как узкополос­ ные, так и широкополосные случайные процессы обладают ко­ нечной мощностью. Поэтому для любого широкополосного слу­ чайного процесса

j" sE(ш) da> < -f- со .

о

Большой интерес представляют широкополосные случай­ ные процессы, спектральная плотность которых постоянна при всех частотах,' т. е. IV1.•

S$ (со) =3 const.

Стационарный случайный процесс £ (t), энергетический спектр которого постоянен во всем диапазоне частот (s£(co)=c,

О со < со), принято называть «белым шумом». Понятие бе­ лый шум аналогично понятию «белый свет», который получает­ ся в результате равномерного смешения всех цветов видимого

101

Спектра. Реально такие процессы не существуют, так как энер­ гия белого шума не ограничена. Однако это понятие (белый шум) является удобной математической абстракцией тех про­ цессов, спектральная плотность которых примерно постоянна во всей интересующей нас полосе частот. Так как реально су­ ществующие процессы обладают ограниченной мощностью, то при рассмотрении белого шума полосу частот нужно всегда предполагать конечной. В противном случае получится либо бесконечная мощность, либо нулевая спектральная плотность.

К белым шумам относятся, например, тепловой шум, дро­ бовой эффект постоянного тока, флуктуации электродвижущей силы шумов в сопротивлении и т. п.

Между шириной спектра и корреляционной функцией ста­ ционарного случайного процесса существует тесная связь. Что­ бы выяснить влияние корреляционной зависимости между раз­ личными сечениями стационарного случайного процесса на ширину его спектра, обратимся к примерам.

В примере 1 предыдущего параграфа рассмотрен стацио­ нарный случайный процесс Е (t) с корреляционной функцией К\ (х) = De- ’!'1 и комплексной спектральной плотностью

s, («)

Da

г. (а2 + со2)

Очевидно, что на степень статистической связи между различ­ ными сечениями Е (Ч) и £ (^) процесса Е (t) определенным образом влияет параметр а, который можно назвать коэффи­ циентом затухания корреляции между различными значения­ ми процесса Е(0- С ростом а корреляционная функция Кг (у) будет убывать. При любом фиксированном т Ф О

ски становятся некоррелированными. В то же время с ростом

будет уменьшаться, точки перегибов кривой — отодвигаться

102

вправо и влево от оси ординат (точками перегиба графика

У Т

sc (ш) будут ш= + а — ; см. рис. 11).

Если же а уменьшать, то корреляционная зависимость между различными сечениями процесса 4 (/) будет возрас­

тать, максимум спектральной плотности s5 (ш) в точке ш— О

Таким образом, параметр а влияет на распределение энер­ гии процесса 4 (0 по частотам, и, следовательно, распреде­ ление энергии по частотам флуктуационной части стационар­ ного случайного процесса с непрерывным спектром зависит от «тесноты» статистической связи его различных сечений. Чем «теснее» статистическая связь между различными сечениями процесса (корреляционная функция Кг (т) медленно убывает к нулю при т -5- оо), тем уже полоса частот, в которой распре­ делена почти вся энергия флуктуационной части этого процес­ са. И наоборот, чем «слабее» статистическая связь между раз­ личными сечениями процесса 4 (t ) (корреляционная функция Кг (т) энергично стремится к нулю при т -* оо), тем шире полоса частот, в которой распределена почти вся энергия флуктуационной части этого процесса. В предельном случае, когда различные сечения 4 (А). 4 (^г) процесса 4 ( 0 стано­ вятся практически некоррелированными, мы имеем дело с «бе­ лым шумом».

Пример. Корреляционная функция стационарного случай­ ного процесса 4 (0 имеет вид

Кг (т) = De~*-? (а > 0, D > 0) .

Найти полосу частот, в которой распределено 90% энергии флуктуационной части этого процесса. Каким следует выбрать а, чтобы эта полоса не вышла за пределы интервала (0; 1)?

Решение. Найдем комплексную спектральную плотность процесса:

103

Вся энергия флуктуационной части процесса равна его дис Персии; полосу частот, в которой распределено 90% этой энер гки,определим из уравнения

где Ф(я) — функция Лапласа:

* Р

о

Таким образом,

Ф= 0,9 .

У'2а)

104