Файл: Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.07.2024
Просмотров: 101
Скачиваний: 0
- 49 |
- |
Выбереы среди них один |
и назовем альтернатором (А .П , |
(Норден). Как всякий антисимметричный тензор второго ран
га , |
альтернатор |
имеет только |
одну |
независимую компо |
|||
ненту: |
£„ - *Чх - с |
) -4-1X = “ |
s ■ |
|
вто |
||
рого |
Назовем |
антисимметричный |
контра вариантный тензор |
||||
ранга |
£'і взаимным альтернатору |
,если |
|
||||
|
Так как |
тензор |
cJ |
. |
|
J |
аль |
|
(взаимный или контравариэнтшй |
тернатор) антисимметричен, то отличных от нуля компонент
этого тензора |
будет |
два: |
|
t |
.1 |
XX |
.1 |
|
іО |
Ч - -*• - |
|
С другой стороны |
имеем |
||
|
|
-.1 |
|
X г*, - |
|
||
откуда |
|
|
t it- |
4Xi
Таким образом, при выбранном альтернатрре одно значно определяется взаимный альтернатор CJ , причем, если альтернатору іѴ соответствует матрица
( Д і ) . |
|
. |
||
то альтернатору |
0> будет |
соответствовать матрица |
||
С |
| |
' Г ) . |
; |
. |
Альтернаторами |
tg- и |
{V |
будем пользоваться для"подня- |
тия" и "опускания" индексов, определяя эти операции следующим
образом |
|
А |
/}<* |
М, |
—& іі |
> |
|
|
|
|
|
|
' |
V 4 |
|
|
|
||||
|
^‘ /3 4 ■ |
^о4.‘ |
= |
сіѴ. |
|
|
|
|||
Очевидно, что если сначала поднимем (опустим), а затем |
||||||||||
опустим (поднимем) индекс, то, согласно |
(1 ,1 2 ), придем к |
|||||||||
первоначальному тензору: |
|
|
в«/ |
|
у |
■ |
||||
|
|
|
"У |
|
|
|
||||
£ |
Q-л'і |
-О -і • |
, i |
|
' w - Л |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
* ‘Л г |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
тензор.Свернеи |
Пусть |
-антисимметричный по |
|
|
|||||||
его по * и |
|
с |
произвольным |
вектором^ -гг , получим анти- |
- 50 -
симметричный тензор второго ранга, пропорциональный альтернатору
Свернем |
это |
с |
|
|
г"* - |
|
£„•; |
|
|
i yj |
: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
'.I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
'r:J ' по индексам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
откуда |
|
|
|
С' |
|
|
г- |
= СГ |
± < |
і с > |
* 2.S-. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
— |
= |
|
I |
|
л |
-V |
, |
|
|
|
|
|
|
||
следовательно, |
|
ь |
— |
а • ■ >« |
>■ |
• |
гг і |
■■ |
|
|
|
|
||||||
|
ас •%-и |
= |
—лI |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
J |
|
|
|
* |
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
или, освобождаясь |
отпроизвольного |
• |
A i |
, |
|
(1,13) |
||||||||||||
Не делая |
|
|
V * |
= |
і |
£ |
|
■* * |
|
|
|
|
||||||
никаких предположений |
|
о симметричности тензора |
||||||||||||||||
a t--tn o |
* |
и |
|
|
, имеем |
|
|
|
„z1- |
Л/іл |
|
|
- ^ P ■< J |
|||||
|
L |
|
1 |
|
|
|
|
“ |
|
|
i- |
|
|
k |
= |
|
f1 |
|
} |
|
|
J |
|
f f i |
Л.р ^ |
|
|
|
|
|
|||||||
так что |
iT-cxfc |
— ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2,1 3 ) |
|||||||
|
|
|
a t |
|
|
|
|
о* |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если |
|
|
Д • і* К |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|||
тензор |
ac.-к. |
симметричен по |
L |
j |
|
,то |
||||||||||||
|
|
|
^ |
|
«7 |
|
|
^ |
|
|
|
|
|
. к |
|
|
|
|
|
|
й * к - ^ ■ к = — |
|
|
|
(3,13) |
||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
- |
|
я |
/ * |
= 0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
о * - * * |
|
|
|
|
|
|
(4,13) |
t |
|
j |
необходимое условие |
симметричности tf^ n o индексам |
||
Это |
||||||
|
и |
|
, |
Оно |
есть и достаточное условие, так как в противном |
|
случае |
мы |
не |
имели бы (3,13) |
, следовательно, не имели бы и |
||
(4 ,1 3 ). |
|
|
что тождества (1 ,1 3 ), (2,13) и (4,13) могут |
|||
|
Отметим, |
быть установлены для тензоров любого ранга и соответствую щей валентности..
Пусть і: тензор первого ранга; тогда тензор £;t?j сим метричен по индексам і й j "»следовательно,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
51 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
(5,13) |
|
||
Пусть |
векторы |
|
<f. |
Ct = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
C’" |
и |
" i l коллинеарны, |
т .е . отличаются ска |
||||||||||||||||||
лярным множителем: £ (’ ~ |
А 'П. L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Свертывание |
этого |
|
|
|
|
. |
|
|
|
, согласно (5,13) , |
дает |
|
||||||||||
|
равенства с |
,7 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ё: |
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
і е, |
= |
hi е |
|
-о |
|
|
|
(6,13) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
rVL |
|
=: О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ров |
Мы получили необходимое условие коллинеарности векто |
|||||||||||||||||||||
é.L |
и |
|
w 1 |
.Если |
векторы |
|
г' |
|
и |
^ |
|
не |
коллинеарны, то |
|
||||||||
|
|
£ |
m * |
= |
<? |
|
|
"Ѵ5 Ä |
|
( е |
|
- |
г |
щ. )= і -т ‘ ^ 1 ^ ° |
• |
|||||||
|
Таким образом.(6,13) |
есть |
необходимое и достаточное |
|
||||||||||||||||||
условие |
коллинеарности |
векторов |
|
£' и |
|
. |
|
|
||||||||||||||
|
Пусть |
|
|
|
|
|
тензор кривизны3^ |
|
геометрии аффинной связ |
|||||||||||||
ности, определяемой коэффициентами Г[у. s |
|
|
|
|||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
п |
|
|
|
|
е |
, ~)й* |
|
. |
|
г * |
|
[~ ,е) |
. . |
по t}j |
, |
|||
|
|
|
К-у * ' * ( 5 ^ |
|
+ |
|
|
|
Uj |
)cLß |
||||||||||||
вследствие |
антисимметричности |
этого тензора |
||||||||||||||||||||
согласно |
(1 ,1 3 ), |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
или, |
вводя |
обозначения |
- |
о ( |
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
R .« |
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
I |
|
к. |
|
|
К ■к |
|
|
|
|
|
|
|
(7 »П ) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
\ . . J |
|
- |
tcj R, -* |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
или, |
свертывая |
у |
|
|
по |
|
</ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
это |
|
£„• |
«*■ |
- |
= |
|
|
|
• |
|
|
|
|||||||||
откуда |
|
|
I L j S |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
p |
Ä ; - |
- |
|
- |
Ч / *" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Здесь |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
тензором Риччи |
двумерной |
геомет- |
|||||||||||
»у*- называется |
х) А .Э .- А . Хатипов, Курс дифференциальной геометрии: . издательство СамГУ, Самарканд, 1971, ст р .39, § 16•
- 52 -
рии аффинной связности. Кз (7,13) следует, что для этой геометрии тензор кривизны обращается в нуль югда и толь ко тогда, когда обращается в нуль тензор Риччи.
По формуле Риччих) имеем
■9сVj С*. - ѵ . ѵ , W -- Ну*.“ Ъ соответственно для вектора а-* :
ѵ .ѵ |
. |
. |
J |
ек= |
,j |
|
< j |
|
|
|
|||
Поднимем здесь |
с |
и свернем с |
і : |
* “ |
||
-X |
|
|
> |
к |
^ О7' |
|
V V |
•> |
£ “' + V У . (? = — ty • |
£' , |
|||
|
|
|
^ |
|
|
откуда
КеХ
^ |
£ |
г — / ? ■ ■ * £ • |
|
(8 ,1 3 ) |
||||
’Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично для |
ковектора |
получим |
|
|||||
|
|
|
* е * |
• |
|
(9 ,1 3 ) |
||
Для произвольного |
можно легко |
получить тож |
||||||
тензора |
|
J |
||||||
дество |
|
|
|
|
dr. |
|
|
|
|
У |
= |
|
|
|
' (10,13) |
||
Ѵ |
а |
1 |
а °у' |
Говорят, что между точками ряда установлено проектив^ нов.соответствие, если между однородными координатами и.1 и гг1этих точек установлено линейное однородное соответствие
гг ‘ = |
|
(11,13) |
иди, опуская <-, |
|
( і а .і з ) |
"ГС = |
j |
|
Свертывая это равенство с |
V , получим третью форму |
|
проективного соответствия: |
|
(13,13) |
V ? - Лры іГ Т Г^О . ' |
Отсюда еледует,что
I См. цитированную книгу автора; гл .П , § 16, § 17.
-53 -
i:ыГ’
( И , 13)
Мы получили формулу обратного соответствия. Из (12,13) и (14,13) следует, что проективное преобразование есть взаим но однозначное преобразование.
Проективное преобразование точек ряда называется инво люцией, если наряду с преобразованием (14,13) имеет место преобразование
Свертывая |
V ; |
|
|
|
Vѵ |
* |
- |
(15,13) |
|
(15,13) |
с |
|
, получим |
|
|||||
|
Ар-* |
«. |
^ ь~J - |
ö , |
|
||||
так что при инволюции |
|
должно быть одновременно |
|
||||||
|
Л |
|
UuV 'ß |
= |
о |
,, |
|
||
|
Л^оі |
|
|
|
0 |
|
|||
откуда |
Л |
|
тГ'w / - |
|
|
|
|||
Др,< ( |
|
и ѵ Р . ѵ \ Г )ш 0 |
|
||||||
или |
¥ |
а |
|
£ - |
0 . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
или
Таким образом, проективное преобразование будет инво люцией, если
§ 14. Эквиаффинная геометрия
Так называется геометрия аффинной связкости, в которой можно определить площадь параллелограмма так, что она сох
раняется при параллельном перенесении вдоль |
^любой •линии |
||
векторов, представляющих его стороны. |
и |
w |
.Пло |
Возьмем два контра вариантных вектора |
|
||
щадью параллелограмма построенного на этих |
векторах назы |
||
вается инвариант |
|
|
|