Файл: Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 20.07.2024

Просмотров: 103

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

- 59 -

Уравнение (4 ,1 6 ), согласно (5 ,1 6 ), определяет в каждой точке пространства некоторую инволюцию направлений. Таким образом, задание сети равносильно заданию непрерывного по­ ля инволюций направлений.

Поля инволюций, определяемых (4 ,1 6 ), могут быть двух ро­ дов: поле эллиптических инволюций (когда«.?о в каждой точке пространства) и поле гиперболических инволюций (когдабЧ о в каждой точке пространства).

Поле гиперболических инволюций в каждой точке простран­ ства (или области пространства) определяет два действительных двойных направления. Линии сети касаются этих направлений.

Сеть,

следовательно, будет действительной, когда определяется

полем

гипеболических инволюций.

 

 

Вернемся к геометрии аффинной связности и рассмотрим фор­

м улу.*'

.

.

.

„

•I I

приращения вектора £ после обвода параллельно по бесконечно малому контуру. Так как

то

 

^

 

с*

=•

J

R--

 

 

 

«э

с '

-

і ->і*

I

i

 

 

или

 

 

 

L

 

 

 

где

есть бесконечно ывлый скадярный инвариант. Эта фор­

мула

равносильна следующей

 

 

 

 

 

/L . 2>«Ѵ=о.

 

Св,хб)

 

 

 

"

 

 

.

 

.

£>£.

Из этой формулы следует, что направления

и

нахо­

дятся

в проективном соответствии, определяемом

тензором .

Риччи

fi_ij

( § 1 5 ) .

 

вопрос

о двойных элементах этого про-

 

Можно поставить

х) См.А.Э.-А.Хатипов.Курс дифференциальной геомет іии зо СаиГУі Самарканд, 1971, стр.52, § 21, формула і в ,21

- 60 -

ѳктиввого соответствия. Они определяются иэ уравнения

Двойных направлений будет два. Они характерны тем, что век­ тор, полученный после полного обвода вдоль бесконечно ма­ лого замкнутого контура, будет коллинеарен первоначальному. Таким образом, среди всех векторов, обводимых парал­ лельно вдоль бесконечно малого замкнутого контура, только

две не меняют своего направления после полного обвода. Будем называть эти два направления абсолютными неправле-

'ниями перенесения или двойными направлениями тензора Риччи. В каждой точке нашего пространства твких направлений 0удеі два.

Если эти направления построить в каждой точке, то полу­

чим два поля абсолютных направлений. Можно получить в про­ странстве также сеть линий, касающихся соответствующих абсолютных направлений.

Будем называть эту сеть сетью абсолютных линий. Посмотрим, в каком отношении находится поле абсолютно

параллельных направлений к геометрии аффинной связности. Пусть имеется некоторое поле абсолютно параллельных

направлений. Возьмем в нашем пространстве некоторый замкну­ тый контур. Вдоль этого контура определится последовательно­

сть параллельных направлений« Можно сказать и так: обойдя по замкнутому контуру вектор поля вернется к пероначальному поло­ жению с тем же направлением.Это обстоятельство будет иметь место

и в том случае, когда контур будет бесконечно малым. Но мы видели, что только двойные направления тензора Риччи сохра­ няются после полного обвода вокруг замкнутого бесконечно малого контура. Таким образом, поле абсолютно параллльных направлений совпадает с полем двойныех направлений тензора

Риччи' .

Всякому вектору е1двумерного пространства можно отнести козектор, свертывая его с альтернатором;

с

и.

с

--

£■

-

(5,16)

*

 

 

 

с <-

 

 

 

 

 

- 61

-

переносится параллельно:

 

Пусть направление вектора е “"

 

 

 

 

 

 

 

 

(8,16)

6."

Посмотрим, какое условие накладывается при этом на вектор

 

Дифференцируя

(5 ,1 6 ), получим

 

 

 

 

или,

согласно

(8 ,1 6 ),

 

 

£

•

 

Так

как

г

с

<*

 

°<

 

о

 

•+* ^ ^ і а

 

 

 

и

S£t\‘ , будучи антисимметричными, отличаются толь­

ко множителем:

 

 

 

 

 

то

Итак,

 

—у і і <* £

^

=

 

У ^і ■

 

 

 

 

 

 

 

(9,16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, условие параллельного перенесения направ­ лений вектора в* и ковѳктора одинаковы, но множители различны. В случае абсолютного параллелизма направлений, определяемых ковекторами, вместо условия (3,16) будем иметь условие

(10,16)

Посмотрим, когда возможно, чтобы геометрия аффинной связности допускала существование двух полей абсолютно параллельных направлений.

По предположению

Y * ? й ' r ’■

. -47- >'-l'= у . TlT1,

ОО

Составим тензор второго рвнга

а-у = пгWj + ^ ж : - ѵіС u p .

так что

ао - = Ѵ -

- 62 -

Найдем ковариантную производную от

а

: ':

= ( ( 1' ^ +

>

 

*

 

J

У*)

 

 

o ^ a4. j<. ; у а л .=

 

 

irc-Vj + i t * *

 

=

L t * + * * ) 4 c U j j

=

С

(П ,1 6 )

Итак

ѵ к * i j *

« j/

 

 

Мы получили

необходиое условие

существования двух полей

абсолютно параллельных направлений. Покажем, что оно есть и

'достаточное условие.

( I I , Іб) выполняется

,

рассмотрим двой­

 

Предполагая,

что

ные направления

тензора О-О-^’ .Они определяются из уравнения

или

 

 

 

 

 

ß

 

 

 

(12,16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О-Со. 'Vfi= 7V .

согласно

( І3 »16)

Дифференцируя

коввриантно

(1 2 ,Іб ) ,

( I I , Іб ), получим

или,

согласно

 

^ ѴР+ Ä

Ѵк Ѵ ЫѴГ Р= о

 

(1 2 ,Іб ),

 

ѵ ' » о

 

 

 

 

или,

согласно

(1 3 ,Іб ),

 

 

*

 

 

п

 

 

( ^

О

z

= 0 •

£

:

 

^вернем эіо с

произвольным

вектором

 

 

откуда

( z P v / i 'ir°l ) ' i r = O p

 

 

 

 

 

ѵ„

■ У'і'=

б- 'ZT*'

 

 

 

 

или,

в силу произвольности

е. }

 

 

 

 

Таким образом, при выполнении условия ( I I , Іб) сущест­ вуют два поля абсолютно параллельных направлений, совпа­ дающих с полями двойных направлений симметричного тензора

- 63 -

Геометрия аффинной связности, в которой выполняется усло­ вие ( II,З Б ) , называется геометрией Вейля. Она есть непосред­ ственное обобщение двумерной римановой геометрик.Роль симмет­ ричного тензора o-ij в римановой геометрии играет тензор ^ г.-, ковариантная производная которого равна нулю; так что в случае

римановой геометрии

и>к = о -

Условие ( І І ,і б )

можно заменить эквивалентным условием.Мы

видели, что поля абсолютно параллельных направлений совпадают с двумя полями двойных направлений тензора Риччи ^cj или сим­ метричного тензора / ((.y j. В таком случае

a c j.K c C j)

и условие ( I I , 16) принимает вид

С » , К )

Перейдем теперь к вопросу о сопряженности параллельных перенесений.

Понятие сопряженности параллельных перенесений было введено впервые Норденом. В своем развитии оно оказалось весьма пло­ дотворным.

Пусть в некотором двумерном пространстве заданы две геомет­

рии аффинной связности

самого

общего вида: одна при помощи

г>К

Г- К

/“*

Г” <

не предполагав

b y , другая при помощи /у ,

причем try и

n j

 

 

 

 

ются симметричными. Они определяют два различных перенесения векторов.

Спросим себя, возможно ли, чтобы две геометрии аффинной связности, определяющие два различных перенесения векторов,

определяли одинаковое параллельное перенесение направлений.

Как в этом случае они связаны?

параллельно в перенесении I :

Пусть вектор

t L

переносится

 

 

 

(15,16)

По предположению вектор 6 е можно'умножить на 5\ так,что

вектор ^переносится

параллельно

в перенесении П:

или

(16,16)

Смотрите также файлы