Файл: Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.07.2024
Просмотров: 98
Скачиваний: 0
- 43 -
сти (напомним ,что абсолют двойственен Самому себе). Проведем через обыкновенную точку А две обыкновенные прямые «• и é и две мнимые сопряжен
ные касательные |
і. |
и |
к абсолюту. Мера угла |
||||
между-ориентированными прямыми |
Л |
и |
І |
определя |
|||
ется равенством |
|
у |
~ ( а І ) і - |
—. |
UL ( аІ t, L^) ■ |
п ° .4 . Геометрия Римана. Существует группа действительных проективных преобразований, оставляющих неизменным некоторое мнимое коническое сечение. Эллиптической (метрической) гео метрией, или римановой геометрией, называется геометрия,свя занная с этой группой. Б этой геометрии не существует парал лельных прямых, люббя прямая имеет конечную длину (рас стояние и мера угла определяется аналогично случаю гиперболи ческой геометрии). Дальнейшие подробности о геометрии Римана читатель может найти в книге # . Клейна„Неевклидова геометрия"
(гл.УП, §§ 2 -5; гл . УШ §§ 1 -5), а также в книге В.Ф.Кагана "Основания геометрии",х
Свои далеко идущие идеи Риман развил в своей диссертацион ной лекцшГОгипотезах , лежащих в основании геометрии" (1854). "Эта работа, имеющая исключительное значение для современного развития математики, не предназначалась Риманом для опублико вания и потому была напечатана впервые лишь после его смерти в 1868г. Из всех присутствовавших на диссертационной лекции Римана, вероятно,Г^гсс был единственным, кто вполне понял зна
чение изложенных в ней новых мыслей. Говорят, что хотя он и не высказался по поводу этой лекции, но в глубоком раздумьи от правился домой" (Ф.Клейн*Неевклидова геометрия", ст р .314).
п2 5 . Отношение тпех основных мероопределений (геометрий) к внешнему миру. Возникает вопрос; какое из трех геометрий (мероопределений) имеет место во внешнем мире.
На этот вопрос Ф.Клейн дает следующий ответ: "Измерения во внешнем мире так хе хбр-ошо совместимы с неевклидовыми мероопределениями, как и с евклидовой геометрией. В силу этого мы можем назвать неевклидовы мероопределения также веевклидо-
х)В.Ф,Каган, Основания геометрии; часть П, гл . ІУ .І,ст р . 157-209, (Основы эллиптической геометрии)*
выми геометриями" (стр.210).
И далее* "Это утверждение энергично оспаривалось многи ми и продолжает оспариваться и сейчас. Большей частью ему противопоставляются различные философские рассуждения, как, например, такое, что из числа априорного воззрения, известно, что в мире опыте для данной прямой должна существовать одна и только одна параллельная прямая , проходящая через данную точку, так что во внешнем мире должна иметь место евклидова геометрия.Эти возражения мы с самого начала в корне уничто жаем тем, что исходим при применениях геометрии ко внешнему миру из физических представлений. Вследствие этого наш вопрос не может быть разрешен с помощью чистого воззрения, но только с помощью надлежащих физических опытов".
"Так как три рассматриваемые геометрии имеют совершенно различное строение, то на первый взгляд кажется возможным искомую разницу получить на основе измерений в мире опыта. Так, например, в евклидовой,гиперболической и эллиптической геометриях сумма углов треугольника соответственно равна мень ше и больше 180°, но вследствие несовершенства наших измери тельных приборов мы никогда не можем установить, что сумма уг лов треуголбника в точности равняется 180°; можем лишь уста
новить, что она, например, заключена между 179° 59* и І80°0І/ - результат, который оставляет совершенно открытым вопрос о том, какая из трех геометрий имеет место во внешнем мире. Правда, посредством продолжающегося улучшения наших измерительных приборов мы можем все более и более уменьшить интервал оши бок наших измерений, однако мы никогда не получим точной величины, хотя бы интервал ошибок и был очень м а л ... "Е с т бы во внешнем мире имела место евклидова геометрия, то мы никогда бы не могли этого доказать, потому что неизбежный интервал ошибок нашего измерения в этом случае оставляет еще
возможность наличия как гиперболического, так и эллиптическо го мероопределений. Напротив, если во внешнем мире имеет ме сто гиперболическое и эллиптическое мероопределение, то ято обязательно обнаружится с помощью достаточно точных средств наблюдения, потому что если бы мы сделали интервал ошибок достаточно малым, то возможность двух других мероопределений
- 45 -
была бы исключена."
"Подобные соображения были известны уже основоположникам неевклидовой геометрии. Так, говорят, что Гаусс во время про изведенного им измерения королевства Ганновер с наивозможной точностью измерил сумму углов наибольшего имевшегося в его рас поряжении треугольника, образованного горами Большой Гаген, Брокен и Инзельсберг. Однако ему не удалось найти интеріующее нас отклонение от 180°. Лобачевский привлекает уже астро номические соображения для разрешения этого вопроса.*)
Наконец, Бойяи анализирует эти соображения Лобачевского".
"Подробное изложение этих обстоятельств с учетом более
новых достижений, |
астрономии |
имеется в работе |
Шварцшильда |
(ScLuwa |
||
|
|
|
|
|
|
|
izbiliL |
'lLioi |
% |
|
|
du Каймя )*xx] |
|
которую мы здесь вкратце изложим. Расстояние |
неподвижной звез |
|||||
ды от Земли определяется |
с |
помощью надлежащего астрономическо |
го измерения угла, под которым видна с этой звезды земная ор бита. Эту величину, называемую параллаксом рассматриваемой звезды, мы находим в предположении, что имеет место евклидова геометрия. Зная параллакс, мы можем при наличии того же пред положения легко вычислить искомое расстояние от звезды до Зем ли. Но в этом способе содержится произвольное допущение, так как мы совершенно не знаем, справедлива ли гипотеза Евклида; некоторые отклонения от нее, которые еще полностью ускользают от ваших наблюдений при измерениях в солнечной системе, в слу чае расстояний до неподвижных звезд могут оказаться весьма значительными. Поэтому мы должны в порядке проверки .произвести вычисления расстояния до зведы, положив в основу произвольную геометрию, и только тогда мы сможем выяснить с помощью надлвт' жащих рассуждений, какая из геометрий имеет место и вместе с там , каково истинное расположение звезд" (Ф.Клейн, стр.228)*
MY |
вПриведен: |
еще следующее высказывание А.П.Нордѳна |
по |
данно- |
х) |
о п р о с у |
|
|
|
Н.И.Лобачевский, 0 началах геометрии,1829 ,;сн» Полн.собр» |
||||
|
с о ч .,т .І . |
. |
„ |
' |
хх) Имеется русский перевод:К.іварцшильд. О допустимой мере кри визны пространства, "Новые идеи в математике " , сб»и, хзд»
"Образование", СПБ, 1913.
- 46 -
"Когда данные, определяющие расположение столь далеких объектов, станут доступными измерению, потребуются новые наблюдения и не исключена возможность, что они позволят обна ружить неевклидову природу пространства. На такую в'озможность Лобачевский указывает в "Пангеометрии". Он предполагает,что каким-либо способом, по-видимому, отличным от метода измере ния параллаксов, установлено, что наблюдаемый нами объект столь удален, что может быть практически принят за бесконечно удаленный. Если при этом обнаружится, что его наблюдаемый па раллакс все же отличен от нуля, то это будет служить доказа тельством неевклидовой природы пространства."*'
§ 12. Заключительные замечания к г л .І
Резюмируя все изложенное в этой главе, можно сказать,что групповая точка зрения на геометрию, по которой геометрия явля ется теорией инвариантов некоторой группы преобразований, поз воляет свести в единую систему три основные геометрии -евкли дову и две неевклидовы геометрии Лобачевского и Римана, кото рые до последней четверти прошлого века казались противореча щими друг другу. Цы рассмотрели и общую проективную группу с ее аффинной и евклидовой подгруппами, которым соответствуют проективная, аффинная и евклидова геометрии. Самой богатой из них является евклидова, так как в ней можно рассматривать как проективные, так и аффинные свойства фигур, в то время как в проективной геометрии не рассматриваются аффинпые свой
ства, а в аффинной евклидовы |
(метрические) свойства. Вместе |
с тем мы получили способ, по |
которому можно точно установить, |
к какой группе относится та или иная теорема евклидовой гео метрии.
"Открытие неевклидовой геометрии положило начало разработ ке теории обобщенных пространств. Если до Лобачевского наука знала единственное евклидово пространство, а сам Лобачевский указал на возможность второго - неевклидова, то в настоящее время множество различных пространств с трудом поддается обоз-
ж) А.П.ііогден.Геометоические идеи Лобачевского.Опубликовано в сбооннке "К.11.Лобачевский,Три сочинения по геометрии",ГТТИ, Москве, 1956.
- 47 -
зрению. Пространства Римана и Вейля, пространства аффинной, проективной и конформной связности, введенные Картами и Скоутеноы, пространства Финслера, П.А.Широкова, Келлера, В.Ф» Кагана и многие другие представляют общие понятия, заключа ющие бесчисленное множество частных случаев. Геометрии этих пространств строятся, как правило, на аналитической основе, но и эта возможность была намечена Лобачевским в его "Вообра жаемой геометрии".Построение этих многообразных и подчас весь ма причудливых систем не является самощелью. Они находят свое применение прежде всего при изучении с различных точек зрения
сложных образов обыкновенного пространства: поверхностей, мно жеств пряных, кругов, сфер и т .д . Так, например, геометрия Лобачевского используется при изучении семейств кругов и сфер, геометрия Римана служит внутренней геометрией поверхностей, а геометрия аффинной связности - внутренней геометрией поверх ностей, рассматриваемых с проективной точки зрения"»*'
х) См. цитированную выше статью А.П.Бордена
- 48 -
Г л а в а П
ЭЛЖЕНТЦ ГЕОМЕТРИИ АФФЖЛЮ" СВЯЗНОСТИ ДВУХ ИЗМЕРЕНИЯ
В настоящей главе ны будем пользоваться основными сведе ниями из римановой геометрии.*) Но прежде мы изложим неко торые сведения из геометрии аффинной связности двух измере ний, на которые мы сошлемся в г л . 111.
Геометрия аффинной связности определяется как геометрия двумерного пространства, в котором параллельное перенесение векторов задается непрерывными и непрерывно дифференцируемы
ми |
іі |
■ по условию: |
Lr? |
или |
о . |
|
|
|
cUc |
*Р х |
du. " ° |
||
|
|
Къ |
||||
|
В дальнейшем предполагается, |
что |
|
|||
|
§ |
Г Л ~ |
/ 7 * |
|
|
|
|
У |
т • |
|
|
||
|
13. Основные |
тождества |
|
|
Пусть а ; / и будут два антисимметричных тензора вто рого ранга. Из сравнения матриц этих тензоров:
следует, что
а é;j = іа . Lj
или
V ' Л |
’ |
так что в двумерном пространстве два любых антисимметричных тензора второго ранга отличаются только скалярным множителем.
х) А .Э .- А . Хатипов, Основы тензорного исчисления и пиненовой геометрин.под оед.А.П.Корденэ$ издательство СамГУ, Самар
канд, 1957.Основы римановой геометрии изложены также в книге автора "Курс дифференциальной геометри; издательство
СамГУ, |
Самарканд* |
1971, |
гл .П . Тензорная алгебра изложена |
в книге |
автора "лурс аналитической геом етрии,ч .,])] »издатель |
||
ство СамГУ, Ü969, |
гл.ХП, |
стр.2£?І-254. |