Файл: Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие.pdf

- 37 -

Таким образом, рассмотренный случай привел нас к пара­ болическому (евклидову) мероопределению.

Мы переходим к .случаю пучка прямых и плоскостей. Этот случай рассматривается так же, как случай прямой линии; так что и в этом случае устанавливается параболическое (евклидо­ во) мероопределение.

Первый и второй случай (нулевые и овальные конические сечения) таблицы (9,7) мы уже рассмотрели. Остальные случаи разобраны в книге. ФЛаеИНа "Неевклидова геометрия", стр.

201-203.

Случай пространства рассматриваете^, как случай плоско­

сти.

В гл.Ш настоящего курса мы подробно рассмотрим случай комплексно-сопряженной пары плоскостей и действительной па­ ры плоскостей.

§ I I . Соотношения между евклидовой, гиперболиче­ ской и эллиптической геометриями

Выше мы изложили ряд проективных мероопределений, ко­ торые оказались логически равноправными с евклидовой гео­ метрией. Но большая часть этих мероопределений непригод­ на к практическим применениям во внешнем мире. Практиче­ ски применимыми к внешнему миру являются лишь три меро­ определения, которые называются параболическим (или евклидовым), гиперболическим и эллиптическим мероопреде­ лениями. Эти три мероопределения играют основную роль, по­ этому обычно ограничиваются изучением только их.

Ниже рассматриваются геометрии, связанные с каждым из этих мероопределений. Приводимые ниже соображения легко распространяются на случай трех измерений. .

П ° .І . АФФииная геометрия. Иы определили (§ 9) аффин­ ную группу как подгруппу всех проективных преобразований, которые оставляют инвариантной (неизменной) заданную пря­ мую. Этой прямой может служить любая прямая илоскости.

- 38 -

Геометрия, связанная с аффинной группой, называется аффин­ ной геометрией на плоскости(двумерной аффинной геометрией).

Прямую, которую оставляют неизменной преобразования афнфинной группы, будем обозначать через с о и называть несобственной.Последнюю необязательно мыслить как бесконечно уда­ ленную прямую . Считая ее находящейся в бесконечности, мы получим обычную элементарную (евклидову) геометрию.

Точки прямой со будем называть несобственными (или бесконечно удаленными), а все остальные точки плоскости - обыкновенными точками (или просто точками). Все прямые пло­ скости, отличные от прямой со будем называть обыкновенными прямыми (или просто прямыми).

К аффинной геометрии относится классификация конических

понятия не имеют места в общей проективной геометрии (на общей проективной плоскости). На аффинной плоскости (в аффин­ ной геометрии) существуют параллельные прямые, в то время

как две любые прямые проективной плоскости пересеквются (§ I ) . Это прямые (1 и ё , которые пересекаются на оо , причем две прямые, параллельные, одной и той же третьей, параллельны друг

другу. Имеет место и евклидов постулат о параллельных: через данную точку вне данной прямой можно провести единствен­ ную параллельную к данной прямой. Парал­

лельное перенесение на аффинной плоскости (аффинной геометрии) определяется к а к ____

особенная гомология с осью с о } ^ причем совокупность всех парэллельных

перенесений образует группу. Так как при параллельном перенесении прямая со

остается инвариантной, то при параллельном перенесении каждэя прямая переходит в параллельную ей прямую, а пучок параллель­ ных прямых переходит в пучок параллельных прямых, причем пучок

х) А .Э .-А , Хэтипов, Курс проективной геометрии: издательство СаѵГУ, Самарканд , 1971, стр .150, § 42, ст р .155, п°3.

- 39 -

параллелей с центром в центре гомологии сохраняет свое управ­ ление. Последнее есть направление гшраллельного перенесения.

Две фигуры, соответственные в параллельном перенесении должны считаться аффинно-конгруэнтными (равными). Из сказанного следует, что

параллелограммом на аффинной плоскости должен считаться такой полный четыреугольник АВСД, у которого две диагональные точки находятся на прямой оо , причем про­ тивоположные сторснн AB и СД, АСи Вд должны считаться аффинно-равными (конгруэнтными).

Векторы AB и СД также равны друг другу.

тическую инволюцию (назовем ее абсолютной или ортогональной инволюцией) с двумя мнимыми двойными точками Of иС^(назовем их бесконечно удаленными циклическими точками). Группа проек­ тивных преобразований, оставляющих неизменной инволюцию, на­ зывается евклидовой метрической группой, а геометрия, связан­ ная с этой группой, называется евклидовой (метрической) гео­ метрией. Прямая оо с циклическими точками ^ и ^ на ней на­ зывается абсолютом евклидовой плоскости.

Преобразования евклидовой (метрической) группы называются преобразованиями подобия. Две фигуры, соответствующие друг другу в преобразованиях этой группы, называются подобными.

Остается решить вопрос о существовании проективных преоб­ разований, оставляющих неизменной абсолютную инволюцию. Исхо­

- 40 -

прямых, которое представляет собой инволюцию, так как она совпадает с инволюцией сопрякешшх диаметров любой округности с центром в 5 Эта инволюция - эллиптическая, так как действительная прямая не может быть перпендикулярной са­ мой себе. Пучок S , пересекаясь с со , определит на ней эллиптическую инволюцию с мнимыми двойными точками У,- и \ , которые мы назвали циклическими. Любое проективное преобра­

проективное преобразование, оставляющее неизменными цикли­ ческие точки У, и ' У} ,или заменяющее их друг другом, остав­ ляет абсолютную инволюцию неизменной.

Кз изложенных соображений следует, что для построения евклидовой геометрии с точки зрения проективной мы должны принять некоторую прямую за о о ,на ней некоторую эллиптиче­ скую инволюцию ( мы назвали ее абсолютной пли ортогональной). Эта будет геометрия аффинной подгруппы. Определяя перпенди­ кулярные прямые как прямые, которые проходят через соответ­ ственные точки инволюции У , получим следующие предложения:

Теорема. Пары перпендикулярных прямых в пучке прямых суть пары эллиптической инволюции. Через каждую точку плоско­ сти проходит только одна прямая , перпендикулярная данной прямой. Прямая, перпендикулярная одной из параллельных пря­ мых, перпендикулярна и другой. Две прямые, перпендикулярные одной и той же третьей прямой, параллельны друг другу.

Б заключение отметим, что в евклидовой геометрии сущест­ вуют два ряда точек: собственные и бесконечно удаленные (не­ собственные) точки.

П ° .3 . Геометрия Лобачевского. Возьмем на проективной плоскости некоторое действительное коническое сечение (оваль­ ную линию второго порядка). Назовем ее абсолютом (или фунда­ ментальным коническим сечением). Группу всех проективных преобразований, оставляющих абсолют неизменным , назовем ги-

х) А .З.-А .Хэтипсв, Курс проективной геометрииj издатель­ ство СамГУ, Самарканд, 1971, стр .146, § 41.

перболической (метрической) группой плоскости. Связанную с этой группой геометрию назовем гиперболической (метри­

ческой) геометрией на плоскости, или геометрией Лобачевско­ го на плоскости. Точки, внутренние по отношению к абсолюту, называются обыкновенными точками. Идеальными называются точки, внешние по отношению к абсолюту. Ниже увидим,что точки на самом абсолюте ■ играют роль бесконечно удаленных точек плоскости. Прямая, которая содержит только обыкновен­ ные точки, называется обыкновенной прямой , а прямая, содѳр* яащая только идеальные точки, - идеальной. Совокупность все;, обыкновенных течек называется гипеболической плоскостью.

Она содержит обыкновенные точки и обыкновенные прямые.

Две обыкновенные прямые называются параллельными, если имеют общую точку на абсолюте. Две обыкновенные прямые называются перпендикулярными, если они сопряжены относительно абсолюта,х - Две фигуры гиперболической плоскости называются конгруэнтными (равными),

если они соответствуют друг другу относительно некоторого проективного преобразования гиперболической (метрической) группы.

На гиперболической плоскости имеют место следующие теоремы:

Теоремы: Через две обыкновенные точки проходит обыкно­ венная прямая. Две различные обыкновенные прямые могут иметь только одну общую обыкновенную точку. Через данную обыкновенную точку проходит только одна обыкновенная пря­ мая, перпендикулярная данной обыкновенной прямой.

Эти теоремы имеют место и в евклидовой (метрической) геометрии. Общими для двух геометрий являются и основные предложения конгрунтности (равенства),порядка (располо­ жения) и непрерывности точек. Но евклидова аксиома парал­ лельности на гиперболической плоскости не имеет места. Вместо нее имеет место аксиома Лобачевского: через любую

- чг -

устанавливается одно из свойств расстояния (свойство адди­

тивности):

( Л Ѣ ) = а л ) + ( - М ) .

На основании C l* II) устанавливается другое свойство рас­ стояния (свойство дизъюнктивности):

( А А ) = £■* ( л Л с£) ■=Іпі ~ о .

Очевидно и свойство симметрии:

Будем В стремить к С или А к Д. Тогда

Таким образом, точки С и Д играют роль бесконечно уда­ ленных точек прямой <* : прямая геометрии Лобачевского имеет дье бесконечно удаленные точки. В этом - еще одно отличие геометрии Любачевского от евклидовой геометрии.

Мера угла определяется по малому принципу двойственно-