Файл: Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие.pdf

найдем необходимое и достаточное условие того, что площадь,

Таким образом, необходимое и достаточное условие того, чтобы данная геометрия аффинной связности быда эквиааффин­ ной,состоит в том, чтобы в этой геометрии существовал антисимметричный тензор второго ранга, ковариантная произ­ водная которого равна нулю.

Как известно, данная геометрия будет римановой, если в ней существует симметричный тензор второго ранга, ковариант­ ная производная которого равна нулю. Известно, что этот тензор играет роль фундаментального метрического тензора.

- 56 -

І£

я, «• - криволинейные координаты. Вместе с каждой точкой

поверхности будем рассматривать касательную плоскость в ней к поверхности; так что поверхность двойственно рассмат­ ривается и как место точек и как огибающая семействе каса­ тельных плоскостей.

Совокупность нормалей І-го и 2-го рода образует две конгруэнции, которых Норден называет нормализующими конгру­ энциями І-го и 2-го рода соответственно. Как сказано выше, соответствие между прямыми этих конгруэнций, точками по­ верхности и касательными плоскостями осуществлено так, что нормаль І-го рода проходит через соответствующую точку по­ верхности, но не лежит в соответствующей касательной пло­ скости, а нормаль 2-го рода лежит в соответствующей каса­ тельной плоскости, но не проходит через соответствующую точку поверхности. Важно отметить, что всей совокупности соответствующих друг другу элементов отвечает многообра­ зие двух измерений - пар значений криволинейных коор­ динат.

К затронутому вопросу мы еще вернемся в § 26 примени­ тельно к поверхностям пространства с распадающимоя абсо-

<лютом ( гл.П) .Сейчас ограничимся ссылкой на цитированную работу Иордана.3^

§ 16, Параллельное перенесение направлений;

г: s i r = o .

х) Норден А.П.О внутренних геометриях поверхностей проектив­ ного пространства ; Труда семинара, выпуск У І, § 6 , с т р .174.

- 57 -

Вектор

в л ѵ с

( І ,І б )

коллинеарішй вектору Ь'1 , не будет переноситься параллельно вдоль этой кривой, так как инвариант тѵ. есть, вообще гово­ ря, функція точки, вследствие чего

Будем называть полем абсолютно параллельных направле­ ний такое поле направлений, которое обладает следующим свой­ ством: какой бы линией мы ни соединили точки поля, вдоль нее получим последовательность параллельных направлений.

Найдем условие абсолютного параллелизма направлений. По определению условие (2,16) должно выполняться вдоль лю­ бой линии, т .е . для произвольных«^*-.Перейдем поэтому от дифференциалов к новариантным, производным; получим