Файл: Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.07.2024
Просмотров: 102
Скачиваний: 0
- 64 -
Вычитая (16,16) из (15,16) , получим
< 6 4 - r . ‘ ) г“ < £ Л
или
i ü 4 - r A ) t J J =
откуда, в силу произвольности t ,
Ъ г Ч г ^ - |
T sj> |
||||
следовательно, |
Г |
â J - |
2 |
^ |
> |
(б Г д |
- С д ) |
|
|
||
откуда |
і> |
г 1 |
Р |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
-= в/» а* ,
где б- есть функция точки .
Подставим (18,16) в (17,16):
( G j р ~ljfi ) cLt <зIj Щ |
J |
откуда |
|
(17,16)
(18,16)
( И , К )
Таким образом, задав какое-нибудь параллельное перенесе ние направлений (Задав Ѳ Д ) и выбирая <гк произвольно, а затем определяя lj* из (19,16) , можно получить бесчисленное множество пар геометрий аффинной связности, определяющих одно и то же.параллельное перенесение направлений.
Поставим следующую задачу: среди всех геометрий аффинной
связности, |
определяющих в бинарной области одно и то же па |
|||||
раллельное |
перенесение направлений, найти .ту, |
в которой круче |
||||
ние равно |
нулю: |
|
|
к |
|
(20,16) |
|
|
|
|
|
||
|
&І1 |
|
&j L |
|||
Из (19,16) и (20,16) имеем |
|
|||||
|
G ' - |
= |
& |
Хі' > * |
|
|
|
6 ,I-.* |
|
|
|||
|
с■;* - G 1 |
> |
|
|||
|
'It |
- |
^xi |
|
||
|
|
|
|
|
- 65 -
G : = / ^ A ' V
Gч-,,}-- l'ntj *■SC|<r‘J откуда, согласно (2 1 ,Іб ), имеет
г'
=- ' f/ij
|
Аналогично |
_ . |
Г /« .} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
<гь- |
г. |
|
однозначно. Из |
этого |
|
||||
|
/определяется |
|
|||||||||
следует,что среди |
геометрий эффинной связности, |
определяющих |
|||||||||
одно и го же параллельное перенесение направлений, |
существует |
||||||||||
одна и только одна с нулевым кручением. Будем говорить,что |
|||||||||||
эта геометрия определяет перенесение симметрично. |
|
|
|
||||||||
|
Сделаем небольшое отступление в область аналитикиЛусть |
||||||||||
в /г -мерном пространстве |
заданы две геометрии аффинной связ |
||||||||||
ности, одна коэффициентами связности |
,другвя - |
Гу |
р а с |
||||||||
сматривая эти геометрии одновременно, можно получить два |
|
||||||||||
различных ковариантннх |
дифференцирования. |
|
величину |
|
|||||||
|
Назовем ковариантной производной 2-го рода |
|
|||||||||
|
|
- 1 ) к сц - G Ki в* |
■> |
|
|
|
|
|
|||
а |
ковариантной производной 2-го рода |
- величину |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
f— ot |
|
Я у к |
|
|
|
||
|
a t £j = “ö / c - / |
к і |
cu |
* вариант |
|||||||
( в случае многозначного тензора, например, |
|
ѵе |
|||||||||
ную производную 2-го рода |
будем обозначать так:. |
|
>с |
<) ) . |
|||||||
|
Возьмем какой-нибудь |
тензор 2-го |
ранга. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Разобьем его на идеальные множители и введем в рассмотрение такую производную (смешанную производную):
|
(aѵка |
1 |
{'7*&ij))= |
0 ^ ; |
|
|
+ |
) а - -- ft: |
= |
ay ~GZ |
- |
(22,I6) |
|
-i О к aJ - r*j |
|
|||||
|
- r ty |
' C L и = |
• |
|
|
|
Эта смешанная производная обладает свойствами: |
|
|||||
I) |
ѵ к ( a UJ >+ |
|
+ |
</) » |
|
2) |
- |
6 6 . |
|
V t (?'■ Лі<^'У) — |
Л^ +7\Ѵ^ (X{(Jj |
, |
|
3) |
V ft( C l ^ |
+ а-;'*к |
fyz- |
Получим еще одну формулу. Пусть дана производная 1-го рода:
Введем сюда ковариантное дифференцирование 2-го рода сле дующим образом ( У разбивается на идеальные множители):
|
V * ( а * l è) » |
|
< а * U lj = С ^ |
* |
„ I |
||||||
Но |
|
|
1 |
||||||||
|
|
) |
* |
С |
7 * |
л ^ ) ^ |
+ |
в * ^ к |
і* 1! |
|
|
следовательно, |
|
|
|
||||||||
|
ѵ |
к С а ^ / * ) |
= |
С |
с ѵ |
^ й ^ з ) ^ |
+ |
««S T -* |
|
||
Так как |
подчеркнутые члены суть |
|
|
|
|
||||||
то |
|
|
о<С |
a * |
7 « |
- |
|
|
|
|
|
- |
J a - : |
= |
. _ |
+ |
|
i . |
(23,16) |
||||
|
ѵ |
< а * * |
; |
( |
|
ß < .o ) / |
|
|
Пусть теперь в двумерном пространстве заданы две геомет рии аффинной связности, следовательно, два параллельных перенесения направлений. Пусть, кроме того, в этом про странстве задана некоторая сеть.
В каждой точке пространства задана , следовательно, инволюция с двумя двойными направлениями. Возьмем в каждой
точке пространства два направления |
и |
гл |
.Будем |
говорить, |
||||||
что |
направления |
£1 |
и |
в |
данной точке |
сопряжены |
друг |
дру |
||
гу |
относительно |
сети |
21 |
»если они соответствуют |
друг |
другу |
в инволюции, определяемой сетью. Это, следовательно, такие направления, которые гармонически разделяются направления
ми сети. В таком случае направления |
и |
>*-L |
ортогональны |
|
|
|
относительно |
сети; |
|
- |
67 |
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|||
e L± m L. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Будем |
говорить, что |
перенесения |
|
|
|
|
||||||||||
I и П сопряжены друг |
другу, если каж |
|
|
|||||||||||||
дый раз, как только некоторое направ |
|
|
||||||||||||||
ление |
переносится |
параллельно |
в |
|
|
|
||||||||||
перенесении |
I , |
сопряженное |
|
ему |
направ |
|
|
|||||||||
ление |
^ |
переносится |
параллельно |
в перенесении П. Сеть £ |
||||||||||||
будем называть базисом сопряженных перенесений. |
|
|||||||||||||||
Пусть |
сеть L |
, которая |
|
принята |
|
за |
базис, определяется |
|||||||||
тензором |
icj |
.Если |
направления |
г |
‘ и |
mL |
сопряжены |
относительно |
||||||||
сети, |
то |
|
|
я |
* |
Р |
= о . |
|
|
|
|
|
^ |
(24,16) |
||
Пусть |
направление |
і |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
переносится |
параллельно в геомет |
|||||||||||||
рии |
І-го |
рода: |
S е |
= ^ г |
|
■ |
|
|
|
|
|
|
(25,16) |
|||
Найдем условие |
того, |
что |
направление |
т переносится парал |
||||||||||||
лельно в геометрии 2-го рода, т .е . условие сопряженности |
||||||||||||||||
перенесений I и П . |
|
переносится |
параллельно |
в геометрии |
||||||||||||
Если |
направление |
|
||||||||||||||
2-го рода, то |
if m |
£ frt- • |
|
|
|
|
во |
|
(26,16) |
|||||||
С другой |
стороны, |
согласно |
|
(24 ,1 6 ), |
|
все время перенвсв- |
||||||||||
иия |
|
|
|
. |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J i(L p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Произведем здесь дифференцирование смешанным образом:
|
|
{ S t ) Hrf+■ |
£ $tnf'-i- S <p) |
e e^= 0 ' |
|
или, согласно (25,16) |
и (26,16) |
^ |
|
||
9 |
. |
L p |
t*”*1** $ |
e |
M |
|
|
|
откуда, согласно (24,16),
с я |
ß |
(27,16) |
с g<*(p) £* m |
-О . |
Итак, |
|
- |
68 - |
|
|
|
|
|
|
||
имея инволюцию (24,16), мы получили инволюцию |
|||||||||||
(2 7 ,1 6 ). |
|
Но эти инволюции совпадают, так как сопряженность |
|||||||||
в (24,16) |
совпадает с сопряженностью в (27,16) ; следова |
||||||||||
тельно, |
два тензора «у |
и |
S f cyj |
отличаются |
скалярным мно |
||||||
жителем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
S duj) - 05 |
= é ij f |
|
|
|||||||
или |
|
(V j |
|
|
сЬл. |
а ” |
|
||||
откуда |
свертыванием с каким-нибудь тензором |
получим |
|||||||||
Поэтому |
|
ц5 |
|
d |
сіи- |
. |
|
i i j J S , |
|
|
|
|
С^ |
rz |
|
= Чі |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(28,16) |
|||
откуда |
|
Vt di (J •>= |
|
dLj . |
|
|
Кы получили искомое необходимое и достаточное условие сопряженности двух перенесенийгеометрий аффинной связности)
относительно сети £• |
* |
к |
Из (28,16) следует, что если коэффициенты |
|
я Іу' |
совпадают, то мы имеем одну геометрию, сопряженную самой себе. Так как в геометрии Вейля
= озк О у -,
то геометрия Вейля сопряжена самой себе относительно своей
изотропной сети, определяемой тензором |
Oij |
• |
||
Докажем ^ведущую теорему: Вели дана какая-нибудь |
||||
связность |
Qj (какое-нибудь перенесение) и какая-нибудь |
|||
сеть |
Gtj |
|
|
|
. , то всегда существует одно и только одно пе |
||||
ренесение |
,коіорое сопряжено данному |
относительно се |
||
ти Т -- |
|
|
|
|
Г - G*- |
|
||
Введем обозначение |
|
||
'У |
■ |
V ' |
У |
ж вместо того, |
|
(29,16) |
|
чтобы искать |
будем искать С * ’ |