Файл: Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 20.07.2024

Просмотров: 99

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

- 69 -

Раскроем равенство (28,16) , которое в данном случае должно иметь место:

 

 

ij -Сз к С

~ !~Kj é іо, =

 

4ij

 

 

 

 

 

 

Здесь вместо

/^поставим его значение из (29,16):

 

 

 

 

к. 4iJ -Gtci

 

 

-L & KJ

+ ^ Kj ) ß L» -

 

 

 

 

 

 

или

^

k' &tj

~ ** CJ 4c#

= 03 <4cj

•>

 

 

 

 

 

 

откуда

sv b*= v * *£j ~

 

ScJ■

 

 

 

 

 

 

Свернем это c

<?ь4

 

,т .е . приведенными

минорами

4ц

 

•

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

С з ° ,іб >

Надо

найти

 

 

, тогда однозначно определится и

С

е

.

 

 

~>к.

Поднимем

для

этого в (30,16)

индекс

к

и

свернем

c j

^ :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда

соt

=

 

 

 

у * '

 

 

 

 

 

 

(3 1 ,іб)

Пусть имеется два

сопряженных перенесения. Тогда можно

составить две производные вектора

 

 

: .

 

 

 

(32.16)

 

ѵ.2г‘= ~е>:Ѵ-G)# ѵы,

 

 

 

 

 

 

J

т?' =

г ‘ -

П+

V .-

 

 

 

 

 

 

 

 

J

â-

г

.■

 

<*

 

 

 

 

(33.16)

Образуемl

і

 

 

'

è

 

é

 

■

 

 

 

 

тензорJ

. '

J

.-іг‘

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l (

V-

іг с+

 

гг^0 )

 

 

H GJ

) Ѵ

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно,

что коэффициенты ,

 

 

 

 

У

+ Г

 

 

 

 

 

 

 

 

(34,16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

определяют некоторую связность. Будем наэыввть эту связность средней связностью'.

 

-

Т О -

 

 

 

 

 

 

 

Выясним характер связности (34,16),, Запишем для этого

основное тождество (28,16) в развернутом виде:

(35,16)

*сф = ^

~

- U i

 

= 03Ф у

Перепишем это так:

^

 

 

 

***■%*

(36,16)

f a y

=

 

 

 

 

@ij

что возможно сделать в силу симметричности

 

 

.Возьмем

полусумму

(35,16)

и (36,16):

 

"Z

 

 

=

 

■ХГс ëij —

éij -

Lfi i

-

KJ é id

 

Итак,

 

 

 

 

 

 

 

 

(37,16)

Это условие характеризует геометрию Вейля,

Таким образом, среднее перенесение определяет геомет­

рию Бейля,

в которой изотропная

сеть

совпадает

с базисом

пары сопряженных перенесений.

 

 

 

 

 

 

Получим, наконец, некоторые положения, на которые мы

сошлемся в

гл .И.

 

симметричное

перенесение и пусть

Возьмем произвольное

тензор его базиса удовлетворяет уравнению Петерсона - Кодацци»х '

v c h i n j » О

или

ЬЫ-j = О

(базисная сеть в этом случае называется сетью Петерсона-Ко- дацци)о Тогда, согласно (31,16), имеем

г г ' = о ,

откуда

4 = 0 ,

вследствие чего условия (28,16) и (37,16) принимают вид:

х) А .Э.-АД атнпов, Курс дифференциальной геометрии; издатель­ ство СамГУ, Самарканд, І9 7 І, § 44.

-

71

-

i u j )

= о,

 

-

о ;

следовательно, средняя метрика будет риыановой.

Принимая во внимание

(37,16) и (31,16), легко приіти

к заключению, что, если средняя метрика является римановой, то тензор базиса удовлетворяет уравнению Петерсона-Кодацци.

Таким образом, чтобы тензор базиса удовлетворял урав­

нению Петерсона-Кодацци, необходимо

и достаточно,чтобы

средняя

метрика

была

римановой.

эквиаффинныѳ связности

Gij Предположим,

что

сопряжены

две

г

 

.Для

геометрии І-го

и 2-го рода, согласно (3 ,1 4 ),

и

Гук

будем иметь

G.1

= Л- U i„ .

 

»

 

 

 

Q :

„

й , а ,

 

 

 

а для средней геометрии получим

W 8.16)

 

 

I '

- Ъ

и ' Ш

;

следовательно, средняя геометрия является эквиаффинной.

Но, кроме того,

она

всегда Вейлева

, следовательно,

она - ри-

манова.

сказанного легко прийти к заключению,что для

того,

Из

чтобы получить эквиаффинную геометрию, сопряженную данной эквиаффинной геометрии, нужно взять эту последнюю так,что­ бы тензор ее базиса удовлетворял уравнении Петерсона-Ко- дацци.

Отметим еще одно положение, относящееся к сопряженной паре эквиаффинных геометрий. Площади І-го и 2-го рода,

согласно

(1 ,1 4 ),

определяются равенствами

 

б~, -

о і

c l^ 'd u 1 ,

(39,16)

Так как

 

= I \

ctu -d u -1.

в средней

геометрии роль л

и А , согласно

(38,16),

играет)П м\то для площади

в ней инеем

 

S'

•■= 'T â Ä

cU‘cU ^.

 

Сравнивая это

с (39 ,1 6), получим

 

сг = \Г®Г<ч •

- 72 -

Таким образом, если две эквиеффинные геометрии сопряжени, to площадь средней геометрии является средней гео­ метрической между площадями эТих геометрий.

-

73 -

Ш

 

Г л а в а

 

ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВАХ С РАСПА­

ДАЮЩИМСЯ

АБСОЛЮТОМ

о непротиво­

Как было сказано

в г л .I

(§ I I ) , вопрос

речивости геометрий Лобачевского и Римана

был решен'

Клейном, давшим замечательные интерпретации этих геомет­ рий в евклидовом пространстве. Как сказано, средствами, которыми для этого воспользовался Клейн были проективные преобразования и работы Кели по теории кривых и поверх­ ностей второго порядка. В своей основе интерпретация Клейна имеет установленную им, Кели и Софусом Ли точку зрения на геометрию как теорию инвариантов некоторой группы преобразований,

В интерпретации геометрии Лобачевского абсолютам у Клейна служит произвольная действительная невырождающаяся поверхность второго порядка (для случая трех измерений)* Внутри этого абсолюта Клейн истолковал все предложения геометрии Лобачевского.

Пользуясь чисто аналитическим аппаратом, Клейн по­ строил, кроме того, измерение отрезков, положив в его основу произвольную мнимую невырождающуюся поверхность второго, порядка. Особенность такого измерения состоит я том, что прямые имеют конечную и одинаковую длину; в пространстве, в частности на прямых и плоскостях, не су­ ществует бесконечно удаленных точек. Этот вид измерения представляет собой проективную интерпретацию геометриче­ ской системы Римана, соответствующей гипотезе тупого угла Хайяма-Саккери.

Клейн показал также, что евклидова геометрия соответ­ ствует случаю вырождающегося абсолюте, именно абсолют/а, состоящего из двух совпадающих плоскостей.

Но Клейн не построил на основе своих интерпретаций теорию кривых и поверхностей неевклидовых пространств Ло­ бачевского и Римана. Теория поверхностей в пространстве

Смотрите также файлы