Файл: Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.07.2024
Просмотров: 100
Скачиваний: 0
- 74 -
проективного мероопределения с невырождающимся абсолютом (действительным и мнимым) была построена Бианки^и Кулидяен,хх) Классическая теория поверхностей соответствует случаю абсолюта, состоящего из двух совпадающих плоскостей.
В настоящей главе, пользуясь общими результатами теории нормализаций А.П.Норденаххх\строится теория поверх ностей в пространстве с абсолютом, распавшимся на пару пло скостей (комплейсно-опряжеиных и действительных пересека ющихся).
Излагаемый в этой главе материал заполняет пробел, существующий в области дифференциально-геометрических свой ств подгрупп проективных преобразований, а именно подгрупп, переводящих в себя распадающийся образ второго порядке. За
служивает внимания |
ю т класс геометрий |
аффинной связности, |
|
которые рассматриваются как внутренние |
геометрии поверхностей |
||
этого пространства. |
этот материал появился в печатихххх\ в о з |
||
С тех пор, |
как |
||
никли работы, в |
которых рассмотрены различные другие случаи |
теорий пространств проективных мероопределений. Обзор этихххххх) работ дан в книге Б.А.Розенфельда "Неевклидовы пространства".
|
|
|
|
§ 17. Поляритет |
|
|
|
||
|
|
Пару комплексно-сопряженных плоскостей, составляющих |
|||||||
абсолют |
, обозначим через |
|
и ю* |
.Действительную прямую |
|||||
пересечения |
этих плоскостей |
|
назовем |
осью абсолюта.Б^нару- |
|||||
|
|
t |
|
2 .£ e « .t W |
d i аипЖ са. |
t k f â ’t&h.i.iaA, |
ѵ .П ,р .П , |
||
X) ѣ іа лл к і |
|
|
|||||||
хх) |
C |
|
e é u S i ä b |
Y |
M tt- e t r c â c L Ö t f o J V V * |
||||
|
|
|
xxx)Норден А .П . 0 внутренних геометриях поверхностей проектив ного пространства. Труды семинара по векторному и тензор ному анализу, 1948, вып.УІ, 126-244; 1949, вып.УГІ, 31-64,
Москва. .
Y T T T ) Хатипов'А.Э.-А.Теория поверхностей в пространстве с распа дающимся абсолютом.Труды семинара по вект.тенз.анализу, вып.Х, 1956, 285-308; Хатипов А .Э .-А . К теории поверхностей
в пространствах с распадающимся абсолютом.Труды сем.по векг.и тенэ.анализу, вып.-ХІ, 1961, З ІІ-З І4 .
ххххх) Розенфельд Б .А . "Неевклидовы пространства". Издательство "Наука , Москва, 1969.
- 75 -
шения общности, можно предположить, что плоскости со, ,ь)1 определяются уравнением
где( |
л* |
- однородные координаты |
|
|
(1,17) |
||||||
точек этих плоскостей |
|||||||||||
§ |
I ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б дальнейшем будем предполагать, что латинские ин |
||||||||||
дексы пробегают значения |
1 ,2 , |
а |
греческие |
(если не огово |
|||||||
рено |
особо) - |
1 ,2 ,3 ,4 . |
точки |
х |
Оі |
|
плоскостей |
||||
о), ,iotПолярная |
плоскость |
относительно |
|||||||||
где |
определяется |
урз внением |
‘ |
|
(2,17) |
||||||
У - |
текущие однородные координаты полярной плоскости |
||||||||||
(§ 6) ; так что полярная плоскость точки |
х“ определяется |
||||||||||
однозначно и проходит через ось абсолюта, |
так |
как |
для то |
||||||||
чек |
оси абсолюта |
у '= і/1 = о. |
|
|
|
|
|
||||
Если |
точка |
х“ |
|
находится |
на |
оси абсолюта, |
то |
ее поляр |
ной плоскостью будет любая плоскость, проходящая через ось абсолюта.Это следует из уравнения полярной плоскости, так
как для |
точек |
оси абсолюте х ^ х ^ о . |
х“ |
и |
ось . |
|||||
|
Пусть плоскость |
<»-, |
проходит через точку |
|||||||
абсолюта. Если полярная |
плоскость |
точки х“ |
есть |
плоскость |
||||||
ff- |
,то |
пара |
si |
и |
гармонически |
разделяется |
парой |
и «о* |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда следует, что полярная плоскость любой точки плоско
сти <5^ есть |
плоскость 5) ,и |
наоборот. |
|
Из сказанного следует, что полярные преобразования |
|||
относительно |
плоскостей |
сэ, |
и ос, не обладают свойством вза |
|
|
|
имной однозначности. |
|
|
|
||
|
Полюсом плоскости, проходящей через ось абсолюта, явля |
||||
ется любая точка |
плоскости, гармонически сопряженной дан- . |
||||
ной |
относительно |
і |
; полюсом |
плоскости, |
не проходя |
щей |
через ребро абсолюта, |
является |
любея точка |
оси абсолюта. |
-76 -
§18. Эллиптическая метрик»; координаты
|
Назовем |
Бейерптрасса |
двумя |
|
точками |
|
|
|
,J8 |
про |
||||||||||
|
расстоянием |
между |
|
ß |
|
|||||||||||||||
странства |
|
число |
S , k - U |
( А & с А ) |
|
|
|
|
точки |
|
встречи пря |
|||||||||
где |
Л& |
JD |
суть |
|
комплексно-сопряженные |
|
|
|||||||||||||
мой |
С |
, |
|
|
|
|
, cOj, , а |
|
|
4 |
- |
постоянное |
число. |
|||||||
|
|
с |
плоскостями |
(§ |
|
|
||||||||||||||
|
Введем |
обозначение |
10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
iZ |
|
|
|
|
и |
|
через их |
одно |
||||
и выразим расстояние между точками |
|
 |
|
|||||||||||||||||
родные |
координаты |
х * |
и |
|
. I ß |
имеет |
|
координаты |
|
|||||||||||
|
Произвольная |
|
точка |
прямой |
и Z* |
|
прямой |
|||||||||||||
где Я |
- |
параметр. Точки |
2,“ |
|
пересечения |
этой |
||||||||||||||
■ с плоскостями а), |
|
и |
определяются |
|
уравнением |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
■\ |
IL у j |
і- Z |
|
+ £1**.- |
О • |
|
|
|
|
|
|
|||||
m |
как слогное |
|
|
|
|
|
|
|
з< |
|
Ы |
|
ы |
о4 |
||||||
Так |
отношение четырех точек л , ^ |
|
, **/ • z* |
|||||||||||||||||
равно |
7*1 |
|
(§ |
|
*0, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
$ |
L I- -<ь уу) -t-N |
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
- \ iL уч, - _ЯуК -ß-sj |
|
|
|
|
|
Под знаком логарифма имеем комплексное число с моду-, лем равным единице; следовательно, S будет действитель ным, если к возьмем чисто мнимым, например, положим
4 - - (1,18) . k " ХІ
при действительном Я .Тогда можно легко получть (§ 10)
С 4І ( ft ) |
“ “ |
(2,18) |
Пронормируем однородные координаты >; точки простран-
- 77 -
ства так, чтобы выполнялось равенство
|
і |
І |
|
|
(3,18) |
тогда |
X.' ■+** =. L ' |
|
|||
£ x c l f = 0 , |
- ( d-х' + cb*- ) . |
('t ,18) |
|||
|
Т. Х*с/Ѵ * = |
(5,18) |
|||
Новые координаты будем называть координатами Вейер- |
|||||
штрасса. |
(2,18) примет |
вид |
|
|
|
Теперь |
‘ |
(6,18) |
|||
|
M S ( I ) |
= |
1 |
||
Нѳзоем постоянную величину —t |
кривизной простран |
||||
ства. Отметим следующие особенности для расстояний, |
|||||
На всякой прямой, |
не |
пересекающей оси |
абсолюта, уста |
новится эллиптическая метрика, так как эта прямая пересе
кает |
плоскости |
и “-'і в двух комплексно-сопряженных |
||||||||
точках. Если прямая пересекает |
ось абсолюта, |
то |
|
|||||||
так ка$ в этом |
— ft-** Л |
s3 - |
0 , |
|
что |
|
|
|||
случае |
х , |
между |
: так |
ю |
прямой |
|||||
следовательно, |
расстояние |
точками |
х |
|||||||
равняется нулю, если ни одна из них не находится на оси |
||||||||||
абсолюта. Если |
одна из |
точек |
х ^ и У |
находится |
на оси |
|||||
абсолюта, го |
обрашается в нуль и расстояние стано |
|||||||||
вится |
неопределенным: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть полярными плоскостями |
точек |
х |
et |
<*■ |
будут .пло |
|||||
я |
D |
|||||||||
скости <г( и б). |
; тогда сложное отношение четырех плоско |
|||||||||
стей |
<г, , <Г* , ui, »lOj, будет |
равно |
сложному |
отношения четырех |
||||||
точек |
х°% |
и точек |
пересечения прямой ху |
с |
плоскостями |
|||||
со, и |
- |
|
двумя |
плоскостями |
и |
|
, проходя- |
|||
Назовем углом между |
|
щими |
через |
ось |
|
- |
78 - |
число |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
абсолюта, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
где |
|
имеет |
|
= |
’/ L |
|
С > * і |
tHj. cJ, |
|
, |
|
|
|
(7 > 1 8 ) |
|
|
|||||
L |
значение |
( I . 18). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Отсюда |
сле.’у е т , |
что угол между двумя плоскостями, про |
|
|||||||||||||||||
ходящими через ось абсолюта, равен |
расстоянию между |
их по |
|
||||||||||||||||||
люсами. Поэтому, для |
угла между этими плоскостями имеем |
|
|||||||||||||||||||
эллиптическую метрику. |
|
х и ! ) |
|
|
и ось |
абсолюта |
плоско |
||||||||||||||
Проведем |
через |
точки |
|
|
|||||||||||||||||
сти |
6“, |
и CTt |
|
.Они |
будут |
гармонически сопряжены |
соответственно |
||||||||||||||
плоскостям |
<Г, |
И <Г4 |
(полярным плоскостям |
точек X.“ |
и |
f |
) , |
||||||||||||||
относительно |
w, |
и |
; следовательно, <г( |
и |
с / |
, |
|
|
и |
б/ |
|
||||||||||
являются соответственными в эллиптической инволюции, опре |
|
||||||||||||||||||||
деляемой двойными элементами |
w, |
и ю2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Так |
как |
|
при этом |
|
|
|
|
|
|
о |
^ |
г ) , |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
( с, (Г* о), ы 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
то имеем следующее предложение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Расстояние между двумя точками пространства равно углу |
|
||||||||||||||||||||
между плоскостмй, проходящими через эти точки и ось абсо |
|
||||||||||||||||||||
люта. |
(1,18) |
постоянное |
І |
было неопределенным. Выберем |
|
||||||||||||||||
В |
|
||||||||||||||||||||
Я. так,чтобы |
|
две |
плоскости |
fl; |
и г , |
доставляющие |
с |
^ |
|
и |
|
||||||||||
гармоническую группу, |
образовали угол |
~ |
.Так |
как |
|
при этом |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
> |
6* |
«*>/ ^ l ) |
= |
- |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
то, |
согласно |
|
|
( Ч |
1 ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(7,17) |
, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
откуда |
|
|
|
I ~ |
Rau |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
5 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Я = і - |
|
|
|
|
|
|
|
|
(8,18) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, теперь кривизна пространства равна еди нице.
§ 19. Основная квадратичная форма простран ства
Подсчитаем <іа пространстве. Для этого на какой-нибудь