Файл: Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.07.2024
Просмотров: 96
Скачиваний: 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
79 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линии пространства! |
= * ( |
и) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
х* |
и |
|
|
|
|
|
||
возьмем две бесконечно близкие точки |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
полояим |
в (6 ,1 8 ). |
|
cL* |
\ |
|
А |
- . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Тогда, |
|
согласно |
(3,18) и (4 ,1 8 ), |
получим |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
откуда, |
согласно |
(5,18) и (8,18) |
|
|
|
|
|
(1,19) |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
cLs* = |
cU , l + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Модно легко получить условие ортогональности двух ли |
|||||||||||||||||||||||
нейных |
|
|
элементов, |
исходящих из |
точки |
|
|
к |
двум |
точкам |
|||||||||||||
х*+ U |
х.ы и |
|
х“ * |
£tx“ |
. Точки |
дк“ |
и с/х“ |
находятся |
на по- |
||||||||||||||
|
/ |
|
плоскости |
І |
|
|
X |
|
/ |
|
1 |
согласно |
|
(4 ,1 8 ), |
|
||||||||
лярной |
|
точки |
,так |
как, |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
£ |
я0'*/** = £ * * < / * * = о . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Условие, |
|
' |
|
|
1 |
I |
' |
и |
*-І |
|
* |
образуют |
гармоническую груп |
||||||||||
что |
точки |
&*г |
а х |
|
|||||||||||||||||||
пу с |
точками пересечения |
прямой, |
проходящей через |
оіх* |
и |
||||||||||||||||||
с/х“ |
, |
|
с |
плоскостями |
ш. |
и |
(J. есть |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
і |
|
|
|
|
І |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
|
= |
' |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2,19) |
|
||
|
|
|
|
|
t |
|
|
ö . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
t |
■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ыо это равенство может выполняться только в том случае, |
|
||||||||||||||||||||||
когда |
одна |
из |
|
точек, |
например |
|
U |
находитсяd на |
оси абсо |
||||||||||||||
люта. Тогда |
оно |
будет |
выполняться |
дляфлюбого |
|
х * • |
|
||||||||||||||||
|
Таким |
образом, два |
направления |
£* |
и |
dx |
, исходящие |
||||||||||||||||
из точки |
X* |
, |
будут |
ортогональными, если одно из них |
|
||||||||||||||||||
проходит |
через |
ось абсолюта. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
х*к |
На этом основании модно говорить о нормали в точке |
|
|||||||||||||||||||||
плоскости |
б" |
.Если |
последняя |
не проходит |
|
через ось |
|
абсолюта, то всякое направление, соединяющее х“ с осью абсолюта, будет ортогональным любому направлению в плоско сти <Г . Поэтому нормалью к ней в х* следует считать всяческую прямую , проходящую через х и пересекающую ось абсолюта. Получается целая плоскость нормалей. Изотропную
- 80 -
прямую пересечения этой плоскосіи с плоскостью б" следует считать ортогональной самой себе.
В случае, когда плоскость * проходит через ось абсолю та, всякое направление в х3* ортогонально <г .Действительно, всякая прямая, проходящая через х* , ортогональна пучку пря мых плоскости б" с центром в * ,так как прямые этого пучка , пересекают ось абсолюта.
|
§ 2 0 . |
Нормаль к поверхности |
|
|
|
||||
|
Возьмем |
в пространстве |
поверхность |
|
а |
, 20) |
|||
где |
и!, i t |
- |
* * = |
х - < < |
/ ь |
|
|||
|
криволинейные координаты точки |
поверхности. |
|||||||
Для |
нормированных однородных координат |
хы |
точки поверхно |
||||||
сти |
имеем |
|
* |
+ * ^ |
1 • |
|
(2,20) |
||
|
Обозначим через |
тангенциальные |
координаты (§ 3) |
||||||
касательной плоскости к поверхности в точке |
х |
.Тогда, |
|||||||
пользуясь |
сокращенными обозначениями |
|
|
|
|||||
получим |
|
1- |
tx * |
|
"bk* |
|
|
|
|
|
~ - і и ‘ |
' |
4 ' ■ ■ J i t 1’ ’ |
|
|
(3>20) |
|||
|
x * ^ - о , |
|
х* « . „ - о . |
|
Будем предполагать,что касательная плоскость к по
верхности не проходит через ось абсолюта. |
|
в X . |
|
Определим нормаль первого рода к поверхности |
|||
Потребуем, с одно® жтороны^чтобы нормаль первого рода |
|||
была ортогоналъив згаоа тельно^Р-тсК поверхности в |
x t |
усле- |
|
довательно, она дозшва .пересекать ось абсолюта. О другом; |
|||
стороны, потребует,, штабы конгруэнция нормалей пехрвовпе |
|||
рода была сопряжен® таяерасности , х ' |
|
|
|
х) J f c it L t K |
Л |
&*. -* & Ѣ л |
tyzon't'iU |
cU Ф & 4**. ^ |
р t c je .* tiи-th. |
'flfbujruz “ |
«сем. по |
векг . ш тпиілі, |
|
анализу, |
вып.2, 1935- |
|
|
|
- |
81 - |
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим через |
/у»<> |
|
|
|
|
|
|
||
|
однородные координаты точки пе |
||||||||
ресечения |
нормали |
первого |
рода |
в |
с |
осью абсолюта ; |
|||
очевидно, |
что |
оси |
абсолюта |
первые |
|
|
(ѴО) ' |
||
так как |
для точек |
две координаты |
|||||||
равны нулю. |
|
что |
если конгруэнция |
нормалей |
|||||
Можно показатьх \ |
|||||||||
сопряжена |
поверхности, |
то |
координаты |
|
, |
X й |
могут быть |
||
пронормированы так, что |
|
|
|
|
|
||||
|
|
о , |
|
|
5 20 |
||||
й С \ = і ,Х \ л і - о |
|
|
|
|
( , ) |
||||
где |
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это нормирование будем считать выполненным. |
|||||||||
Из второго равенства |
группы |
(5 ,2 0 ), |
согласно (4 ,2 0 ), |
||||||
имеем |
ОС игс |
+■%- и-чс — 0? |
|
|
|
(6 ,2 0 ) |
|||
откуда |
|й „ |
ult |
|
|
|
|
|
|
|
иІ і . . .
следовательно, между «3 и и ч существует функциональная зависимость:
|
|
|
|
|
<Pi uJ t U t ) = 0. |
|
|
(7,20) |
|
||||
|
Это есть необходимое и достаточное условие того,что |
|
|||||||||||
плоскости |
и„, |
, ü * * » « ,, |
пересекаются |
в одной |
точке. |
|
|||||||
Оно |
не |
определяет однозначным |
образом |
и*с |
.Поэтому |
|
неодно |
||||||
значно |
определяется из (6,20) |
и положение |
точки |
Х У |
на |
оси |
|||||||
абсолюта. Вследствие этого неоднозначно определяется и |
|
||||||||||||
нормаль первого рода к поверхности в точке |
х * |
.В |
§'26 |
|
|||||||||
будет |
показано, |
что если |
дополнить абсолют |
двумя мнимо- |
|||||||||
х сопоякенныни |
точками, лежащими на оси абсолюта,то |
|
нормаль |
||||||||||
) |
Xoidtn Я |
■£ 0 . -uXcdUre. |
|
d ir Sfid-chth |
ir*~ |
||||||||
i'w U r-bL'ri* |
Яйіищ, |
; Труды сем.по |
вект. и тенз.анелизу, |
||||||||||
в ы п . 2 , I , |
1935. |
|
|
|
|
|
|
|
|
первого рода |
- |
82 - |
|
|
|
может |
быть опреде |
||||
в точке |
к “ поверхности |
||||||||||
лена однозначно. |
|
(2,20) |
no |
t* |
: |
|
|
||||
|
Продифференцируем |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
I/ ' |
х/*, х* |
= О ; |
|
|
(8 ,2 0 ) |
||
следовательно, точки |
лежат |
в полярной плоско- |
|||||||||
сти точки |
х |
»Эти |
точки, согласно |
третьему |
равенству груп |
||||||
пы |
(3 ,2 |
0 ), |
лежат и |
в |
касательной |
плоскости |
к поверхности |
||||
в |
хы, |
следовательно, |
они лежат |
на |
прямой пересечения ка |
сательной плоскости с полярной плоскостью точки прикоснове-
НИЯ |
X . |
эту прямую нормалью 2-го |
рода |
к.поверхности |
||
|
Назовем |
|||||
в точке X |
.Конгруэнция нормалей 2-го рода |
гармонична по |
||||
верхности, |
так как она двойственна конгруэнции нормалей |
|||||
І-го |
рода по большому принципу двойственности (она образо |
|||||
вана |
прямыми, |
соединяющими точки х* |
,координ8іы которых |
|||
суть |
частные |
производные координат, |
точек |
* * ) . |
||
сти, |
Обозначим через |
тангенциальные координаты плоско |
||||
проходящей через нормаль 2-го рода в |
х- и ось абсо |
|||||
люта. Тогда |
|
|
|
|
( 10.2 0 ) |
|
|
Можно считать, |
что |
|
(9.20) |
||
|
|
( И ,20) |
||||
|
§ 2 1 . |
Основная |
квадратичная форма |
|||
|
|
|||||
|
|
|
поверхности |
|
|
Определим линейный элемент поверхности. Так как для всего пространства
Т = сІЛ^— L ( е£хы/ |
, |
то для поверхности (1,20) имеем |
|
iU %= & |
(1,21) |
где |
І |