Файл: Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.07.2024
Просмотров: 97
Скачиваний: 0
- 83 -
Дифференцируя (8,20) по и І 9 получим
г<&
где |
|
ы . |
|
|
|
|
2 |
|
|
следовательно, |
у |
. «* |
^ ~ |
|
|
(2,21) |
|||
|
?Ѵ |
~ |
7, |
у |
|||||
Отсюда следует,что |
|
|
есть симметричный тензор |
||||||
второго ранга. Его компоненты - |
коэффициенты первой основ |
||||||||
ной формы (1,21) |
поверхности. |
|
|
то можно поло |
|||||
Так |
как для |
точек |
поверхности имеем (2 ,2 0 ), |
||||||
жить |
х .* = |
і і п ц |
, |
|
|
|
(3,21) |
||
|
Сс s Cf , |
|
|
|
|||||
где Я |
|
= |
|
в эллиптической метрике между дву |
|||||
можно считать углом |
|||||||||
мя плоскостями, проходящими через ребро абсолюта.Поэтому |
|||||||||
|
di* =. (9,ctu!+• |
du.*) |
|
||||||
следовательно, |
|
c k 4 = cL<3 Z; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
- |
|
C 4 .2 I) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, первая основная форма (1,21) поверхности вырождается.
§ 22. Сопряженные направления-, вторая квадратич ная форма поверхности-, асимптотические ли
нии поверхности
Два направления < ^ и du ъ точке * поверхности называ ются сопряженными, если касательная прямая и характеристическая прямая соответствующие этим направлениям, совпадайте
J/oiJUh Л- |
td a iü et Чи tnfdt и. djtx |
'TIO.CJ AK Ltn. jb%0— |
вып.2, IS35. |
Труды сем. по вект.и |
тенз.анализу, |
х)jetti-irCK |
|
|
- 84 -
Для того, чтобы два направления были сопряжены друг другу, необходимо и достаточно, чтобы
d X*clи- = о
или
. */» |
J S |
J J B O . |
(1 ,22) |
I |
t |
Введем обозначение
сХ
■*£
и продифференцируем третье равенство группы (8,20).; тогда получим
|
$Lj «= - |
Ч у |
® |
|
(2,22) |
Отсюда следует, |
что |
|
есть симметричный тензор |
||
второго |
ранга. Его компоненты - коэффициенты |
второйквадра |
|||
тичной формы поверхности: |
|
|
(3,22) |
||
|
/7 = Ср |
условие |
сопряженности |
||
Согласно (2 ,2 2 ), |
(1,22) принимает |
||||
вид |
4 |
^ * ° |
’ |
|
С1» ,22) |
Направление, сопряженное самому себе, называется асимптотическим. Дифференциальное уравнение асимптотических линий поверхности имеет вид
(5,22)
В каждой точке поверхности имеется два асимптотических направления, которые могут быть действительными, комплексносопряженными или совпадающими.
§ |
23. |
Основные уравнения |
Точки |
* ,“ » *■! ,С С К образуют тетраэдр, относи |
|
тельно |
которого можно найти координаты любой точки простран |
|
ства. Так, для |
|
- |
85 - |
имеем разложение |
|
|
|||||
точки |
|
* |
С Ѵ з > |
|
|||||||
|
X л « & “■ * ‘ * A ij х Ѵ Л у Л * . |
(8 ,2 0 ), |
|||||||||
Свертывая |
(1,23) |
с |
|
|
»согласно (2 ,2 0 ), |
(4 ,2 0 ), |
|||||
(2,21) , получим |
/ |
|
V |
(3 ,2 0 ),(5 ,2 0 ), |
(2 ,2 2 ), получим |
||||||
а свертывая с и* , согласно |
|||||||||||
Итак, |
V |
= G*liУ |
уV |
=- |
ft* |
¥s C' iLi X |
* |
• (2,23) |
|||
Введем |
обозначение J |
- |
~ъ и? |
|
|
|
|||||
и представим |
|
у |
в виде |
линейной комбинаадда |
|
|
|||||
|
«*<,• = |
rLj |
|
|
|
|
с ѵ |
з ) . |
|||
•Свертывал (3,23)с ^ »согласно (5,20) * (9,2<3), «<вяу-
чим
C t/- =cc,;:SC
или, согласно (5,20)
Ч= " ^ ‘ ^ 7 *
Ниже мы получим другое выражение теяз-снра
Свертывая (3,23) с |
х* |
, согласно (3,20) и ^ Й #2^>), иелу- |
|
чим |
«3 ij |
— |
X |
и так как из .второго равенства группы (.3,20) сяеяуеіг,адм> |
|||
то, согласно |
(2,22) , имеем |
^Lj - ^ j |
|
И т ( ^ Х ѵ |
<Х |
|
л л/ |
jUK+6{j -Учс •
Назовем 12,23) и (5,23) основными уравнения«» иидае^кно-
- 86 - |
|
этих уравнений опреде |
|
сги. Коэффициенты |
и.',ии.1 |
|
|
ляют в многообразии |
Qj |
геометрии аффинной связ |
|
|
две |
||
ности без |
кручения. Назовем эти |
внутренние геометрии по |
верхности |
геометриями І- г о и 2-го рода. |
|
Вводя |
символы ковариентного |
дифференцирования І-го и |
2-го рода |
(§ Іб ): |
|
|
ѵ ; г ; I S - |
|
vj |
V u f |
- |
Г* Ъ . |
в виде |
||
перепишем основные |
уравнения |
(2,23) и (5,23) |
||||
|
|
|
|
Scj'OO , |
(6,23) |
|
J |
|
«d |
K |
а |
у |
|
Мы видели |
(§ |
^ ij |
U- + |
|
>*■ ’ |
(7,23) |
13), |
что |
в бинарной области |
два любых |
|||
антисимметричных тензора второго ранга отличаются только скалярным множителем. Выберем поэтому среди всех антисим метричных тензоров второго ранга следующий:
Г Ѵ х ? * * ) , |
(8,23) |
который назовем альтернатором (Норден). Определим взаим
ный ему антисимметричный тензор |
(контравариантный аль |
тернатор) тождеством |
|
éQ (j
Альтернаторами icj и £ ■ будем пользоваться для "поднятия" и "опускания" индексов, определяя эти операции,
как в § |
13. |
|
|
|
|
|
|
|
Тензор кривизны Внутренней геометрии поверхности, опре |
||||||||
деляемой коэффициентами |
G y |
, будучи антисимметричным |
||||||
по индексам |
i> j, |
может быть представлен |
в следующем виде |
|||||
( § 1 3 ) : |
, |
е |
= |
11 |
iij |
о* |
е |
пг |
|
|
|
|
|
|
|
(9,23) |
|
откуда
(10,23)
Pj*.- тензор |
- |
87 - |
|
|
*■ ', «• • |
|
c d |
многообразия. |
|
||||
Отметим также соотношение (§ 13) |
|
( П ,2 3 ) |
||||
|
Ы |
Ѵк * |
ОЫ. |
|
|
|
Получим теперь |
Ѵ |
/~р к |
|
’ |
||
|
|
К - < Ѵ^ |
|
|||
разложение “ W |
: |
|
0 2 ,2 3 ) |
|||
X i к= S“ |
с «.< |
+ р сх * |
|
|||
Свертыввя это |
»согласно |
(3,20) и (5 ,2 0 ), получим |
||||
Рі-о,
а свертывая с х *,согласно (2^20), (4,20) и ( 8 ,2 0 ),получим
так |
как, согласно х(4,20), |
= О . |
(13,23) |
||
|
|
[ |
|
|
|
|
Свертывая, наконец, (12,23) с *•* , согласно (4,20) и |
||||
(2 ,2 1 ), получим |
(4,21), |
|
|
|
|
или, согласно |
|
|
|
||
следовательно, |
i s / 1 = |
0. |
|
||
|
Отсюда имеем |
|
|
(14,23) |
|
следовательно, |
s /= |
у |
" ’ |
||
s ; % |
- ^ L ^ - |
. |
|||
откуда,- согласно (б , 13),имеем |
вводя обозначение |
||||
где |
(Г - скалярный множитель. Поэтому |
||||
из |
|
ѵ с = |
<?Ч-, |
|
|
(14,23) получим |
|
|
|
||
