Файл: Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие.pdf

Скачать файл (4,41Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 20.07.2024

Просмотров: 95

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

- 32 -

ческом смысле равноправно с евклидовой геометрией.

Подобным образом могут быть определены угол между прямыми и плоскостями в пучке прямых и пучке плоскостей.

Выразим теперь определения расстояний и углов с помощью координат точек, прямых и плоскостей.


	Введем		на прямой проективные						координаты	и возь
мем невыроядающийся образ второй степени										і о . (2 , ІО)
	3)еІ, IЛ ij=І			-фо		oyj	“ Я.	</*.	і а .
где		C L ijJ a .ji			. Из		в качестве		фундаментального образа,
причем							(2,10) мы		определим пару фундаменталь
ных точек с			координатами

Уі = -

J l/

•6

обозначая

координаты

точек

через

и Z (

Теперь,

JLt

согласно

(1 ,1 0 ),

определим

расстояние

между точ

ками

Mt,

относительно

фундаментальных точек

А (.* ,'7х і )

Далее, обозначим

точку прямой линии координатами

у ;

•

Тогда

значения

-л,

параметра

соответствующие

фунда

ментальным

точкам

«Ä(( * / ,* * ) «

х £ )

,мы

найден

при

по

мощи (2 ,1 0 ):

или

* + 74

?' z *)

+•

•fО-2. <***.<•!»,

с ^

+ ^

z z ; = О ■

+г7'*0(.Ух. +

или,

I *4»*1Тр + 2TVI

^ 2/Э-к £

= о

согласно

(2 ,1 0 ),

0 -

(3,10)

? ? J lZ L 4-

*■ >

мы,

согласно

йэ этого уравнения

( 2 ,4 ) , найдем

= C ‘ U ( І Я Д , .£ *) * с & - =

< v

fl;

- 33 -

(4,1 0 )

Отметим, что здесь подкоренные выражения могут быть переписаны в следующем виде:

i L ,13

( А * і - *,& )

(5,10)

Для пучков прямых и пучков плоскостей применимы хе же рассуждения, что для прямой линии. Пусть уравнения обеих фундаментальных пряшх или плоскостей имеют вид:

и. " t-	^ U-ji -	t ^	4 щ	®
где £ i t	Тогда угол	между двумя	прямыми пУ	и-цг и
плоскостями определяется соотношением: .

W (' іг, иг) - е

Примем на плоскости в качестве фундаментального образа невырождающееся коническое сечение.В этом едучае расстоя

ние между

двумя

точками

Л ,

и Л

СУс и Z ;)

мы

получим,

найдя

соеди

точки пересечения

прямой,

няющей точки

ус

и.

г,-

, с

фундамен

тальным коническим

сечением.

касается

конического

сечения,

Случай, когда

эта прямая

называется

изотропным. В общем

случае, точки прямой,

соединя

ющей точки

4-, будут

иметь

координаты

+ 'K Zc

и для

расстояния

между

точками

-М.,жЛг

>И4)

•— с

@п,будем иметь_____________

Для

(Л ,

Р-Х*

Z o

~ ^ ”^~z z '

изотропной прямой

X L ^ 'j'L ^

(так как

в этом

случае>(="> )

и, согласно

(4 ,1 0 ),

будем

иметь

( • Д ,Л 4-) = С іц

= С ^ И .4 » 0 ;

(7,10)

так что расстояние между двумя точками но изотропной прямой равняется нулю, если, разумеется, ни одна из точек не совпа дает с точкой прикосновения. В последнем случае Л а і- е и расстояние , согласно (7 ,1 0 ), становится неопределенным.

Формулы для угла между двумя прямыми и- , ь ' мы получим двойственным путем, обозначая урав нения фундаментального конического сечения через

	~			= 0 ,
	( UК*- j.t W )	~	e ' .		8 , I Q
Если	прямые И», ѵ пересекаются	на	*Р чѵ -~		сечении,
			самом	коническом
то угол между ними обращается в нуль ( в				случае, если	ни од
на из	прямых не является изотропной).

Остается рассмотреть вопрос для случая пространства. В этом случае для расстояния между двумя точками и угла между двумя плоскостями пространства мы получим такие же формулы,

только в данном случае			индексы		принимают		значения от		і	до V .
Формула	(4,10)	для расстояния				может	быть представлена
в .другом виде.						d+i
Согласно	формуле			,
имеем	•л		=■			-5==,
	Ы	л.		2 и «.гг cos				(9,10)

Эту формулу можно представить и в виде арксинуса
	( Ä , Mt )		^	2	иге 5				ю , Ю )

Предполагая, что уравнения фундаментальных образов даны

- 35 -

не в общем виде: 2. < 3 ^ ■ • = о, а в виде суммы квадратов , например как в формулах (9,7) или (1 0 ,7 ), мы можем написать формулу (9,10) и (10,10) еще проще.

В случае прямой линии уравнения пары комплексно-сопряжен ных или пары действительных точек можно переписать в виде

1г Л

X.j *Г 2 >чJ —О 1

где

€=

г і

. Поэтому

Л 33 =

-Ö-iz = У, zi -+■

2//

с .

—-

>2-2

алс с

к J3.1Z‘ +

С и , іо )

XU -

«нс £ :и ,

М Та,1 -г

( z , l -hi z L)

В случае плоскости уравнения нулевой или овальной линии

можно переписать в виде

X j

где

і -

st,

+ i

~ 0 f

± 1 '. Поэтому

+.4xZx

С м ■І М Х ') =

• Я Л Сй & , $V '—

—- - - - -- - —

І с

ЧІ- -+

1л/

согласно

п .2 ° . Вырождающиеся мероопределения. На прямой,

(10,7)

, существует только

один вырождающийся

образ

- дважды

взятая точка. Этот образ мы положим в основу мероопределения в качестве фундаментального образа. В данном случае определи

тель уравнения		-Я-	^ іѵ^		^	х ( х4	ft	Xj ~ О	согласно
принимает вид ß e ti^J l=				л »		=	0	і поэтому,
(5 ,1 0 ), получим			-		= 0
		Л J2.
а , согласно (4,10)			, имеем		i а	° *			(12,10)
Такое	( І І , Л		) -	с h
	значение	принимает		р а с с т о я н и е ^х. )				.Ин сопоставим
этот	результат	с мероопределением				, основанным на паре			точек

у Я e t /сі.у j = 0

Выражение

= о

» г д е

для расстояния между точками

вид

и z

в этом

случае,

согласно

(10,10)

и (5,10) принимает

\ O-^SX

a-uL

-_a,f

Это

(Л,Я,_)

ЗсС •CLtC W t

выражение модет быть преобразовано. СближаЕМ обе

фундаментальные

точки; тогда

о,і

будет неограниченно прибли

жаться к

л * йгі

Д м

Х(

+■•JSäti . *t

; поэтому

прев

ращается

в квадрат

выражения

-<Ч>

= хГа-.

Л,

• +

■

З .

Л Z 2

2.'

■+.чГ с С t

.Z L

И так как при этом аргумент аркси.ѵуса становится сколь угодно малым и поэтому можно зѳменитьарксинус этим аргументом, то имеем

(Л, А )

- ^

I t

“ “ i1t

большие

значения и объединяя

Приписывая

всеz iбольшие и

его

с множителем

а , а ,

в новув конечную постоянную

і<

получим

М Іі Л — К __________ —

z i3 t.

CVTÖ : - ^

Теперь дважды взятая точка, положенная в основу нового

мероопределения,• л - * *

определяется= ( ЧГ < Ѵ

*уравнением, + *Ч S Lл) ц =. •°

ж поэтому имеет координаты

'Ц'чГ^<ГtA r

Q-a- o

>»* _

Возьмем в качестве фундаментальной точки бесконечно уда

ленную точку прямой,

т .е . подоим

; тогда получим

(

К А

\ -

~ г ~Z|—^ -

U i,- * ,.)-

AJA

рии

Этой формулой определяется расстояние в евклидовой геомет

.Действительно,

для расстояния

в однородных коорди

натах имеем

Эі_ _

zj.

5lzi-

Смотрите также файлы

Lektsia_3.doc

Цалиович А.Б. Методы оптимизации параметров кабельных линий связи.pdf

Lektsia_7.doc

Челпанова О.М. Среднее многолетнее давление воздуха над океанами.pdf

Lektsia_8.doc

Файл: Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно