Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.07.2024
Просмотров: 158
Скачиваний: 0
следующими |
способами |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.Г>) |
|
При этом <5, |
или |
£ |
будем |
считать |
заданными, |
а |
другой |
||
из векторов-искомым. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Если при любом таком разбиении компонент -Г |
и у |
н е |
|||||||
известные компоненты однозначно определены через |
и з в е с т |
||||||||
ные, то будем говорить, что |
Л — разделительно |
обратима. |
|||||||
Легко доказать, |
что |
А |
-разделительно обратима |
т о г |
|||||
да и только |
тогда, |
когда |
А |
допускает двустороннюю |
<Ьак— |
||||
торизацию. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разделительная обратимость матрицы допускает простую |
|||||||||
интерпретацию на языке линейных многополюсников. |
|
|
|||||||
Пусть |
-х. - |
входной |
сигнал. Тогда |
tj = А -х |
-выходной |
сигнал линейного многополюсника, характеризующегося мат~
рипей А |
. Обратное |
включение |
многополюсника |
означает, |
что |
|||||
у |
-входной |
сигнал, |
а зс |
-выходной. При |
этом |
матрица |
т а |
|||
кого |
многополюсника |
равна |
A"f |
. |
Если £, |
считать входным |
||||
сигналом, |
а |
^ -выходным, |
то |
это |
означает |
разделительное |
включение многополюсника. Таким образом, если многополюс
ник |
А |
допускает ранее указанные |
разделительные |
включения, |
||||||||||||
то |
его |
матрица |
А |
• допускает |
двустороннюю |
факторизацию. |
||||||||||
Отметим, что обычно в электротехнике сигнал |
|
|
в |
к |
- к а |
|||||||||||
нале (входной &к^сс^. |
, |
выходной |
|
|
^ |
представ |
||||||||||
ляют В |
ВИДЄ |
З к |
= |
|cZA| • Є1 |
<-Ук~Ук,о') |
|
|
, |
Г Д Є |
<рк |
в |
~ |
||||
произвольная начальная фаза, зависящая от выбора |
начала |
о т |
||||||||||||||
счета . Это приводит к тому, что две унитарно |
э к в и в а л е н т |
|||||||||||||||
ные матрицы |
А |
и |
DAD~Y |
, |
где |
Л - |
диагональная |
уни |
||||||||
тарная матрица,по существу определяют один и тот |
же |
много |
||||||||||||||
полюсник. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Рассмотрим следующую постановку обратной спектраль |
|||||||||||||||
ной задачи в линейной алгебре. Рассмотрим |
в с е |
значения Л- , |
||||||||||||||
при которых |
матрица |
А - <£ї |
не допускает |
двустороннюю |
||||||||||||
факторизацию. |
Эти |
значения |
будем |
называть |
системой |
|
р а з |
|||||||||
делительных |
(факториэаиионных) |
собственных |
значений. |
|
|
Системи факторнзацнонных |
собственных значений с о в |
падает с системой собственных |
значений прямой и обрат |
ной последовательности главных миноров. Обратная задача
заключается в |
восстановлении |
матрицы |
А по |
ее |
системе |
||
факторизатюнных собственных |
значений. |
|
|
|
|
||
Здесь, повндимому, имеет место следующий результат: |
|||||||
симметрическая матрица А восстанавливается |
по |
системе |
|||||
собственных значений прямой |
и обратной |
последовательно |
|||||
сти главных миноров однозначно, с точностью |
до |
диагональ |
|||||
но унитарной |
эквивалентности. |
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим еше одну, на первый взгляд, |
и с к у с с т в е н |
||||||
ную задачу. Однако, как будет |
видно |
из |
дальнейшего, |
ее |
|||
континуальный |
аналог существенен в |
решении |
обратной |
н е |
стационарном задачи. Разобьем все места в матрице на две
зоны: "верхнюю" и "нижнюю". В верхнюю отнесем все |
э л е |
|||||||||||||||||
менты, стоящие над главной диагональю, а в |
нижнюю - |
под |
||||||||||||||||
главной диагональю. Элементы на диагонали |
разобьем |
на |
||||||||||||||||
верхние и нижние произвольно. Вопрос, о котором пойдет |
||||||||||||||||||
речь, заключается в следующем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Пусть |
у |
матрицы |
А |
известны все |
верхние |
элементы, |
|||||||||||
а у матрицы A~f |
— в с е нижние. Когда |
по |
этой |
информации |
||||||||||||||
можно |
восстановить |
А |
? Ответ следующий. По верхним |
|||||||||||||||
элементам |
матрицы |
А |
и по нижним |
элементам |
матрицы |
|||||||||||||
А'1 |
матрица |
восстанавливается однозначно |
тогда и |
т о л ь |
||||||||||||||
ко |
тогда, |
когда |
она |
допускает |
двустороннюю |
факторизацию. |
||||||||||||
|
§ |
3 . |
Факторизация |
фредгольмовых |
операторов |
|
|
|||||||||||
|
О п р е д е л е н и е |
1 . 1 . |
Будем говорить, |
что |
оператор |
|||||||||||||
А |
в |
пространстве |
Z 2 |
( - эт |
. + |
0 0 |
; ^ } |
|
|
суммируемых |
с |
|||||||
квадратом |
|
функций |
на |
всей оси |
допускает |
правую |
факто |
|||||||||||
ризацию, |
если |
существуют |
такие операторы Гильберта-Шмид |
|||||||||||||||
та |
К+ |
и |
К_ |
, |
являющиеся вольтерровскими |
с |
переменным |
|||||||||||
верхним и |
соответственно |
нижним пределами, |
что |
А = |
|
|||||||||||||
- С Г + * + Х 7 + |
Kj |
|
, з д е с ь |
I |
- |
единичный |
оператор. |
|
||||||||||
|
Если |
|
имеет место |
представление |
А = |
|
|
Х / + А+ ) , |
||||||||||
то |
будем |
говорить, |
что |
оператор |
А |
допускает |
левую фак— |
торизашпо. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пели оператор |
А |
допускает |
праную |
факторизацию,го |
|||||||||||||||||||
согласно лемме 1 . 1 |
существуют операторы |
(1 |
|
+K^)'f |
|
|
||||||||||||||||||
{Г+К_) |
1 |
и, |
следовательно, |
существует |
|
А " ' |
|
, |
который |
|
||||||||||||||
равен A~f—(I+ К_) |
|
'(I |
+ К+У* |
|
, |
а |
значні, |
оператор |
|
А |
|
|||||||||||||
допускает левую факторизацию . Аналогично получаем, |
|
чго |
||||||||||||||||||||||
если |
оператор |
|
А |
допускает |
левую |
факторизацию, |
то |
суще |
||||||||||||||||
ствует |
А " ' |
, |
и он |
допускает |
правую |
факторизацию. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
Л е м м а |
|
3 . 1 . |
|
Прямая |
и обратная |
факторизация |
единст |
||||||||||||||||
венна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о |
. Пусть, |
например, |
оператор |
А |
д о |
||||||||||||||||||
пускает |
две |
правых факторизации |
А — ( J /- K^f))( |
|
Li |
К ( 1 ) ) |
11 |
|||||||||||||||||
Л — (Ґ+ |
К^*)(Г |
|
+ К ( |
* , |
|
Тогда, |
приравнивая |
эти |
в ы р а ж е |
|||||||||||||||
ния, |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(1+к У хг + kL°)=а+* |
?xi+ к[е))- |
|
о |
д |
) |
|||||||||||||||||
Умножая слева ( 3 . 1 ) |
на |
(2> К ( |
+Ъ ~* и справа |
на |
(1+К(_г)) |
|
, |
|||||||||||||||||
которые |
существуют |
согласно лемме 1 . 1 , получаем |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
(Г+ К^)-'(1+К(?)^(1+К^){1+ |
|
|
|
|
К<Р)'. |
|
|
|
|
( 3 . 2 ) |
||||||||||||
|
В равенстве ( 3 . 2 ) |
слева |
стоит |
сумма единичного |
опе |
|||||||||||||||||||
ратора |
н вольтерровского |
с |
переменным |
верхним |
пределом, |
|||||||||||||||||||
а в правой части ( 3 . 2 ) |
— сумма единичного |
оператора |
и |
|
||||||||||||||||||||
вольтерровского с переменным нижним пределом. |
Следова |
- |
||||||||||||||||||||||
тельно, каждая из частей равенства ( 3 . 2 ) |
равна |
единичному |
||||||||||||||||||||||
оператору. |
Но |
|
тогда |
л + |
|
+ |
|
и |
л_ |
|
= |
А _ |
|
|
|
, т . е . |
|
|||||||
правая факторизация единственна. Аналогично доказывается |
||||||||||||||||||||||||
единственность |
левой факторизации. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Т е о р е м а |
3 . 1 . |
Пусть 3— интегральный |
оператор Гиль |
||||||||||||||||||||
берта-Шмидта в- |
|
С - ° ° , |
+0 |
0 |
; |
АО |
. Тогда |
при любом |
*Z |
|
||||||||||||||
существует |
и единственно |
в |
Lg |
|
решение |
|
уравнения |
|
|
|
+ |
|||||||||||||
f-J |
& (х,л) |
у |
(s) &s |
— Л\т>) |
|
д |
л я |
любой |
|
правой части |
t(oc)eLg |
|||||||||||||
тогда и только тогда, когда оператор |
|
1+ & |
допускает |
пра |
||||||||||||||||||||
вую |
факторизацию. |
|
Однозначная |
разрешимость |
уравнения |
|
||||||||||||||||||
у (3?) |
[ & |
(д\ s) |
у |
|
) с/,ч = f(tr) |
'фи |
любом |
*2 |
|
эквнва - |
лентна |
условию, что оператор 1+3 |
допускает левую факто |
|||||||||
ризацию. Другими |
словами, |
операторы |
|
или |
|||||||
(I+&fj.) |
' |
существуют тогда |
и только |
тогда, когда |
опе |
||||||
ратор |
1+3 |
|
допускает правую |
или соответственно |
левую |
||||||
факторизацию. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Пусть |
Г-і-В |
допускает |
правую |
||||||
факторизацию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1+В = (Г+К+)(Г+К_). |
|
( 3 . 3 ) |
||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ь = К+ + К_ + К+К_ , |
|
|
( 3 . 4 , |
|||||
Прилюбом |
Л |
из ( 3 . 4 ) |
псгучаем |
|
|
|
|||||
Учитывая, |
что согласно |
( 1 , 1 3 ) К_ ^ |
= Q^К_ |
, |
р а |
||||||
венство ( 3 , 5 ) |
перепишем |
в |
виде |
|
|
|
|
||||
|
|
|
1*ЬЦ^а+к^%1 |
|
+ кЯа,) . |
( 3 . 6 ) |
|||||
Согласно замечанию к лемме 1 , 1 существуют операторы |
|||||||||||
{Ї+ |
Qj,) |
и |
(£+K_Qj)~f |
|
, а поэтому существует |
||||||
|
|
(I л в Qj-f= |
(/+ к_ Qd fd+K+Qi)'. |
(з.?) |
|||||||
Существование оператора |
(I |
+ BQj) |
f эквивалентно |
||||||||
однозначной разрешимости |
уравнения |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
3(x,s)y(<s)ds |
|
= f(x) |
|
( 3 . 8 ) |
|||
при любой |
правой |
части |
f 6 Ь g |
|
|
|
|
|
|||
Совершенно |
аналогично |
получаем |
|
|
|
(Г f ВРЛ Г'= и+*+Рл Г'( I+R.PjTi |
(з, я) |
при |
условии, что оператор |
Ii-3—(It-R_)(I |
|
|
+ |
R+). |
|
|
||||||||||
|
Таким образом, левая факторизация оператора |
J+B |
|
|||||||||||||||
приводит |
к |
однозначной |
разрешимости |
уравнения |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
оО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/(Х) |
+ |
|
В |
|
)у |
(s)ds |
- |
f(x) |
|
|
|
( 3 . 1 О) |
|||
|
|
|
|
|
'1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
любой |
правой |
части |
т€ |
Ьг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Наоборот, |
пусть уравнение ( 3 . 8 ) |
разрешимо |
при |
л ю |
|
||||||||||||
бом |
Л |
и любой правой |
части |
fie |
|
L |
. . |
|
|
|
|
|
||||||
|
Рассмотрим |
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y№ |
+ |
&(&,t)y(t)dt |
|
= - |
6>(J-jr)3(ccyJ)A |
|
, |
|
( 3 . 1 1 ) |
|||||||||
|
-оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которое имеет смысл при любом |
И.єН |
|
почти |
для в с е х J- |
, |
|||||||||||||
ибо |
3(х,Л)А |
|
почти |
для |
в с е х |
J. |
|
является |
суммируемой |
с |
||||||||
квадратом вектор-функцией по -х |
е |
(-<*>, |
+ *°) |
,т.е. |
правая |
|||||||||||||
часть принадлежит |
|
( |
- + |
|
<*» ; |
|
А/) . |
|
|
|
y(>x,A)k |
, |
||||||
|
Обозначим решение |
уравнения |
( 3 . 1 1 ) |
через |
||||||||||||||
величину |
9(d~3:)u(jc,d) |
- |
через |
R_l&,J-) |
, |
а |
|
|
||||||||||
*[В>(сс,Л)- |
|
у(ас,Л)\ |
|
|
— через |
К^іа:,^) |
|
. |
Легко |
заметить, |
||||||||
что ядра R_(a:,J.) |
|
и |
K+(a?t,l) |
|
|
являются |
ядрами Гнльбер. |
|||||||||||
та—Шмидта. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Покажем, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
т* в = а+ к^а> |
R_yj'. |
|
|
|
( 3 . 1 2 ) |
|
||||||||
Действительно, y(sc,JL)--R_(-xA)-K+(x,l)+ |
|
|
|
&(X-J)3(X,J), |
||||||||||||||
Подставляя это |
выражение в |
( 3 . 1 1 ) , |
получим, |
учитывая |
|
|||||||||||||
произвольность |
h€ |
/V |
, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В(л<Л> + R_(x,J.) |
+ J |
SU,t)R_(t,Jl)dt-К+{аг,Л). |
|
( 3 . 1 3 ) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
-сто |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ііпи |
в операторной |
форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
В + /г__ /-3R_= |
/Cf . |
|
|
|
|
( 3 . 1 4 ) |
|
Откуда, прибавляя единичный оператор в левую и правую часть равенства ( 3 . 1 4 ) , получаем