Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf

т . е .

— О

ф=0

Ф

"

'

S i ~

( 2 . 8 2 )

Левая

часть первого

равенства

( 2 . 7 5 )

при любом х.

явля ­

е т с я

ядром

оператора

Г . - Ш . В

с і л у

оценок

( 2 . 8 ) - ( 2 . 7 4 )

т а ­

ковой

же является и правая уасть. Более

того,

при-х-*"-0 0 нор­

ма Г . - Ш . правой части стремится к нулю. Согласно

( 2 . 9 )

||А

-=*• О

при

х-*--

. Таким

образом,

Ф^И+хА+хЬ

как

разность

между

обеими

частями

в

первом

уравнении

( 2 . 7 5 )

должна определить оператор

Г.-Ш,

норма

которого

стремится

к

нулю

при

с с - > - - о о

. Это возможно

только

в

случае

Ф^

О, ибо норма

оператора,

ядром

которого

служит

Фн

(t

+ x,

^-f-x)

, не зависит от

х- .

Совершенно

аналогично

получаем

@

• Таким

образом

Ф(х,

ty£,)=0

,

т . е . равенства

( 2 . 7 5 ) - ( 2 . 7 6 )

дей­

ствительно

имеют

м е с т о .

Доказательство

равенств

( 2 . 7 7 ) - ( 2 . 7 8 )

получаем

из

( 2 . 5 5 )

так же , как

и

( 2 . 7 5 ) - ( 2 . 7 6 )

из

( 2 . 5 4 ) .

5 . Доказательство основной теоремы

Пусть

выполняются

условия

теоремы

1J'.2. Тогда,

с о г л а с ­

но замечанию к лемме 2 . 3

для почти

в с е х

(x,t)

существуют

функции

ci(.x,t)

и

c,(x,t)

\c,(x,t)\<

,

определяемые

равенством

( 2 . 7 4 ) .

Ядра

А —операторов согласно

лемме

2 . 4

удовлетворяют

интегральным

уравнениям

( 2 . 7 5 ) — ( 2 . 7 8 ) ,

в

точности

совпадаю­

щий

с

интегральными

уравнениями ( 2 . 3 1 ) - ( 2 . 3 2 ) ^ ( 2 . 5 6 ) -

( 2 . 5 7 )

гл . П для операторов

преобразования

задачи

нестаинс)-

нарного

рассеяния

с

указанными

выше

Cf(x,t)

t

с£(х,ї)

В силу однозначной разрешимости интегральных уравнений

делаем

вывод, что

А

— операторы

являются

операторами

пре­

образования.

Так

как

условие ( 2 . 7 ) георемы

выражает

опера­

тор f

через А —операторы в точности

так же,

как

оператор

рассеяния £ выражается через отгерятоом преобразования,

д е ­

лаем вывод,

что

/Г-,*}

, т.а.|"есть опп ратор

рягсеячпя

задачи

с потенциалом

Ci(X,{)

,

Cjfx.i

}

,

улопчотпоряютим

1

5 8

( 2 . 8 7 )

't

(

и

,

- неизвестные функции х

и t

-

параметры)

име -

ют

в

Л £

лишь

тривиальные

решения

для

любых х

и

t

, то

тогда

и только

тогда

е с т ь оператор

рассеяния

нестацио­

нарной задачи

для системы

( 2 . 1 ) с

потенциалом

C(x,t)

, удо­

влетворяющим

оценкам ( 2 . 4 ) и однозначно

определяемым по

Задача рассеяния для

системы уравнений

да

Зи

( 3 . 1 )

—

- 6

—

+ C(x,t)u,

0&х<

+ °°

д-Ь

дх

с граничным

условием

u1(0,t)

= u!;(OJ)

( 3 . 2 )

подробно изучена в 8 3 гл . П.

Обозначим

через { ^ j ^

множество

всех

операторов

рассеяния задачи ( 3 . 1 ) - ( 3 . 2 )

с различными

потенциалами в и ­

да

( 3 . 3 )

где Cf. (x,t)

_ измеримые комплекснозначные функции, у д о в ­

летворяющие

оценкам

С

( 3 . 4 )

\с

(x,t)

\ <

—

(k=-f,?),

*

и+\*\)<*(іАі\)^

1 6 П

с фиксированным

£>0

Отметим

наиболее важные

свойства

операторов

р а с с е ­

яния

из класса

{ З J-£

1 . О ц е н к и

. Оператор рассеяния

£

имеет

обратный

. При этом

S=l+F

,

S'f=I+if

, гд е

F

и У -

интегральные операторы Г.—Ш., ядра которых удовлетворяют

оценкам

(f+\i+£,\)'+e(f+\t-£i)<+s

'

, \

С

( 3 . 5 )

I I .

К о в а р и а н т н о с т ь .

Оператор

рассеяния

Sixe)z&~

дачи ( 3 . 1 ) — ( 3 . 2 )

с о сдвинутым

потенциалом

CxJ.x,t)~C(x+x1l,t)

принадлежит

{ < 5 } £

и связан

с

исходным

оператором

р а с с е я ­

ния

равенствами

F(x„,t£)^F(t-xB,i\+xa),

Ш;

У(ъ/А)=№<ъ£-*М^;(з.б)

где

F(xott,t,)

7

f/(xB7t,c%)

-

ядра

интегральных

операторов

F(x„)

,

*/(х„)

;

f<xj

= 6(xa)-l

,

У(х„)=

&~\х0)-I

.

( 3 . 7 )

Ш. Ф а к т о р и з а ц и я

. Операторы

из класса -{c^j

допус ­

кают

двустороннюю

факторизацию.

Указанные свойства

1 - П - Ш являются определяющими для

операторов

рассеяния из класса

{ 6

\е

. На основании

этих

свойств

можно

дать

следующие

необходимые

и достаточные у с ­

ловия принадлежности оператора

классу

{

£ }

е

Т е о р е м а

1 У . 4 .

Пусть

f--

оператор

в Lt

(-оо, +<*>) .

П у с т ь с у щ е с т в у е т

оператор

и

p^I+F

,

,

г д е F

и

У

- интегральные

операторы

Г . - Ш . , ядра

которых

удовлетворяют оценкам ( 3 . 6 ) , Кроме того, система однород­

ных

интегральных

уравнений