Файл: Лепилов Н.С. Теория автоматического управления учеб. пособие.pdf

Система автоматического управления называется устойчивой, если ее собственное движение с течением времени затухает, т .е .

быть определено путем решения линейного дифференциального урав­

нием времени будет стремиться к нулю. Характеристическое урав­

Рис. 5 .1

90

чивости.

Рассмотренные случаи характера составляющих собственного (переходного) движения позволяют сформулировать показатель ус­ тойчивости линейной системы. Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения системы располагались в левой половине комплексной

На рис. 5 .5 корни характеристического уравнения третьего порядка изображены в виде векторов на комплексной плоскости. Рисунок 5 .5 ,а отображает устойчивую систему, рис. 5 .5 ,6 - неус­

тойчивую систему и на рис. 5 .5 ,в представлены корни характерис­ тического уравнения системы, которая находится на границе устой­ чивости .

Следует особо отметить, что факт устойчивости или неустой­ чивости целиком зависит только от структуры системы и числен­ ных значений ее параметров и не зависит от внешних воздействий. Это объясняется тем, что характер собственного движения опреде­ ляется только видом левой части дифференциального уравнения (2 .1 Л ) и не зависит от вида правой части этого уравнения.

Устойчивость системы легко обнаружить на практике. Так,

например, показателем устойчивостислужит наблюдаемый в экспе­ рименте возраст системы в нулевое положение после снятия по всем входам внешних воздействий. Показателем устойчивости может также служить затухание весовой функции системы lim w(t)~Q л наблюдаемое в эксперименте после подачи импульсноТо’ воздействия.

92

Поскольку непосредственное решение характеристического уравнения ( 5 .1 .5 ) , если оно высокой степени затруднительно, то в теории автоматического управления используются косвенные при­ знаки устойчивости.

Косвенные признаки устойчивости, опирающиеся на рассмотре­ ние соотношений между коэффициентами характеристического урав­ нения системы или свойств частотных характеристик, называют критериями устойчивости.

Материалы для проверки усвоения содержания параграфа

1 . Сформулируйте определение устойчивости системы.

2 . Признак устойчивости линейной системы.

3 . Чем объясняется, что устойчивость линейной системы за­ висит только от структуры системы и численных значений ее пара­ метров ?

§ 5 .2 . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Методические указания.

В результате изучения параграфа слушатели должны знать формулировки алгебраических критериев устойчивости и уметь при­ менять их для определения устойчивости системы.

Содержание

Из алгебраических критериев устойчивости рассмотрим крите­ рий Вышнеградского и критерий Гурвица.

Устойчивость системы с помощью алгебраических критериев определяется по характеристическому уравнению системы ( 5 .1 .5 ) . По характеристическому уравнению разомкнутой системы определя­ ем устойчивость разомкнутой системы, а по уравнению замкнутой системы судии об устойчивости замкнутой системы.

Приступая к исследованию устойчивости системы, вначале не­ обходимо убедиться, что выполняется ли необходимое условие ус­ тойчивости. Для устойчивости системы необходимо (но недостаточ­ н о ), чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительны. Это означает, что если коэффициенты положительны, система может быть устойчивой, но может быть и неустойчивой.

93

Для систем первого и второго порядка необходимое условие устой­ чивости одновременно является и достаточным.

Критерий Вышнеградского позволяет определить устойчивость системы третьего порядка с характеристическим уравнением

а 3рл + агр ‘ + а3р + ао = 0.

Он формулируется следующим образом. Если система третьего по­ рядка удовлетворяет условию положительности коэффициентов и , кроме того, произведение средних коэффициентов характеристичес­ кого уравнения больше произведения крайних коэффициентов, то такая система устойчива. Условием устойчивости служит выполне­ ние следующего неравенства:

а, аг > а0 а3 .

Критерий Гурвица пригоден для определения устойчивости ли­ нейной системы любого порядка. Критерий Гурвица формулируется следующим образом. Система является устойчивой, если все коэф­ фициенты характеристического уравнения (5 .1 .5 ) положительны, а

Выполнение условия положительности коэффициентов позволя­ ет не вычислять определитель Ап для системы любого порядка, так как он находится через определитель Д„_/ следующим образом:

94