Файл: Лепилов Н.С. Теория автоматического управления учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 24.07.2024

Просмотров: 106

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

от 0

Угол поворота вектора Найквиста при изменении частоты

до

для характеристики, изображенной на рис. 5 .8 , равен

нулю.

Таким

образом, на рис. 5 .8 представлена характеристика,

которая соответствует устойчивой замкнутой системе. Угол пово­ рота вектора Найквиста для характеристики, изображенной на рис. 5 .9 , равен - 2 яг . Характеристика охватывает критическую точку на угол y v = -2 s r , следовательно, замкнутая система неус­ тойчивая.

АФХ неустойчивой

разомкнутой системы при чгк= і

представле­

на рис. 5 .1 0 .

Угол

поэтому соответствующая

данной ха­

рактеристике

замкнутая

система устойчива.

 

Рис. 5.10

2 . Критерий Найквиста для астатических систем

Порядок применения критерия Найквиста для астатических систем изложим на примере системы с астатизмом первого порядка.

7

ІОІ

 

Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Комплексная передаточная функция равна

АфХ , соответствующая выражению

( 5 .4 .3 ) для двух

различных зна­

чений коэффициента

передачи

л

приведена на рис.

5 .I I в виде

сплошной кривой ОС.

При

а —0

модуль вектора ^ (^ н еогр ан и чен н о

 

увеличивается, а сам вектор приближается к чисто мнимой величи­

не

K/jco

.

Для

того чтобы применить в такой системе критерий

Найквиста,

необходимо дополнить АФХ двумя вспомогательными

кри­

выми -

кривой

ОД, симметричной АФХ ОС относительно действитель­

ной

оси,

и другой СЕД бесконечно большого радиуса,

 

проходящей в

правой

полуплоскости.

В результате образуется замкнутый контур

ОСЕДО.

Затем

следует обвести

концом вектора

NQu)

вдоль всего

этого контура. Безразлично, откуда начать этот обход; нужно

лишь закончить его в той же точке, откуда

он был

начат.

Угол

поворота

вектора

NQai)

при таком обходе дает ответ на вопрос об

устойчивости

замкнутой

системы. Так как в нашем

случае г к =

о ,

то

равенство

нулю угла у? ѵ означает,

что замкнутая

система

ус­

тойчива (рис.

5 .I I , а ) .

На рисчж. 5 .1 1 ,6

угол

 

поворота

вектораЛ ^)

отличается

от

нуля (он

равен

при обходе

вдоль

 

замкнутого

контура).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\

 

 

 

 

\

 

 

 

 

 

 

\

 

 

 

 

 

 

 

\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\

 

о.)

5)

Рис. 5 .I I

102

Таким ооразом, соответствующая данной характеристике замк­ нутая система неустойчива. При исследовании устойчивости можно ограничиться проведением конца вектора N(j&)u.o "половине"

замкнутой кривой, т .е . по пути ОСЕ между точками 0 и Е . форму­ лировка критерия остается неизменной.

Материалы для проверки усвоения содержания параграфа

1 . Формулировка критерия Найквиста.

2 . Что такое предельный коэффициент передачи разомкнутой системы ?

3 . Порядок исследования устойчивости с помощью критерия Найквиста статических и астатических систем.

§5 .5 . ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЗАМКНУ1ЫХ СИСТЕМ ПО ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ

РАЗОМКНУТЫХ СИСТЕМ

Методические указания

В результате изучения параграфа слушатели должны уметь определять устойчивость системы в замкнутом состоянии по лога­ рифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы.

Содержание

Устойчивость замкнутой системы иногда можно определить по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы

Н(ь

р(а

) . На рис. 5 .1 2

,6 приведены логарифмические частот­

>)А6и

 

ные характеристики, которые

соответствуют устойчивой (сплошная

л?ния) и неустойчивой (штрих-пунктирная линия) замкнутым систе­ мам. На рис. 5 .1 2 ,а приведены годографы амплитудно-фазовых ха­ рактеристик этих систем. Системы статические и характеристичес­ кие уравнения не имеют корней в правой полуплоскости.

Устойчивость замкнутых систем определим на основании крите­ рия Найквиста. Для характеристики, которая изображена отлошной линией, % - О , а для характеристики, которая показана штр.’.х-пунк- тирной линией,УѴ = 2 яг . іак как zY= 0 , поэтому сплошная линия соответствует устойчивой замкнутой системе.

Если возникает задача построения годографа АФХ по логариф­ мическим частотным характеристикам, то обычно поступают следу.с- 103

щкм образом. Для фиксированных значений частоты по логарифми­ ческим характеристикам определяют значения амплитудных и фа­

зовых характеристик. После перехода от логарифмического масш­ таба амплитудной характеристики к натуральному (можно использо­ вать, например, номограмму, приведенную на рис. 4 .4 ) по величи­ не модуля и фазы строят по точкам на комплексной плоскости го­ дограф АФХ.

Можно строить годограф АФХ в логарифмическом масштабе. Для этого на комплексной плоскости (рис. 5.13) наносят окружности, радиусы которых изменяют на постоянную величину. Оцифровку окружностей производят в децибелах. Окружность Олв соответству­

ет окружности единичного радиуса в натуральном масштабе. Какую из совокупности окружностей обозначают через окружность 0А , »

определяют исходя из диапазона изменения логарифмической ам­ плитудной характеристики. Отсчет положительных углов вектора И^/<у)ведется против часовой стрелки, а отрицательных - по ча­ совой стрелке от вещественной положительной полуоси. Критичес­

кая точка А

получается при пересечении

окружности

0Аб вещест­

венной отрицательной

полуоси.

 

 

Обратимся вновь

к рис. 5 .12. При пересечении годографом

вещественной

отрицательной полуоси фаза

- - sr .

В устой­

чивой системе при фазе, равной - я- , модуль К^^меныне единицы. Следовательно-, замкнутая система устойчива, если амплитудная логарифмическая характеристика перейдет через нуль при частоте,

меньшей частоты, при которой фазовая характеристика принимает

104

значение - я~ . Частоту, при которой Н(а)Аб = 0 , а IW(ja)f=l, на­ зывают частотной среза сое . Частоту, при которой фазовая харак­ теристика равна - $г , обозначим через со^. .

Im

904-270*)

270°(- 90е)

Ри с .‘ 5.13

вкритическом случае, когда годограф АФХ проходит через точку ( - l , J 0 ) , система оказывается на границе устойчивости

(<% = сос ) и в

замкнутой системе возникают гармонические ко­

лебания.

Чем дальше годограф проходит от критической точки

( - / , J 0 )

в случае

устойчивости системы, тем меньше вероятность

перехода системы в неустойчивое состояние при отклонении пара­ метров системы от номинальных, а также тем вероятнее, что пере­ ходные процессы будут затухать быстрее.

Параметры, характеризующие удаление годографа от критичес­ кой точки, получили название запасов устойчивости. Различают

запас по фазе^а = 5Г-/(й^и запас по амплитуде Ніа п Аі шН(&х)Аі ’ Запасом устойчивости по фазе ?іап называют угол между направлени­

ем вещественной отрицательной полуоси и вектором АФХ разомкну­

той системы W (jüjc) ,

модуль которого равен единице ( 0і б ) . За­

пасом устойчивости

по амплитуде t1ianназывают модуль вектора Най­

квиста N(jbjx ) = t + WCjOüx ) i у которого направление совпадает с

направлением вещественной отрицательной полуоси.

Оба запаса показаны на рис. 5 .12 . По величине запасов можно коовѳнно оценить качество управления. Практика показала, что для систем управления, порядок которых выше второго, запас

по фазе

должен быть в пределах 30 - 4 5°, а запас по амплитуде

10 - 20

дБ, причем оба эти условия должны удовлетворяться одно­

временно.

105

Годограф АФХ, изображенный на рис. 5 .1 2 , только один раз пересекает вещественную отрицательную полуось. Может оказаться, что в устойчивой САУ годограф АФХ несколько раз пересекает вещественную отрицательную полуось. Так, на рис. 5.14 пересечение годографа происходит на частотахй),,сиг^ .

В этом

случае

 

 

Рис.

5.14

запасом устойчивости по амплитуде называется мень­

шая из

величин

Н(ь>і)Ав

(

і

=

1 ,2 ,3 ) . В назем с л у ч а е /Ѵ,впДв=//^)44

 

 

На рис. 5.14 сплошной линией показаны частотные характеристики

статической и астатической

систем

п р и ^ -? ^ , устойчивых в разом­

кнутом

состоянии. При*' ^

ь)0

годограф

АФХ астатической системы

первого порядка показан пунктиром,

а

статической - штрих-пунк­

тиром.

Материалы для проверки усвоения

 

содержания параграфа

1 . Как построить годограф АФХ по логарифмическим частот­

ным характеристикам системы ?

запаса устойчивости по фазе

2 .

Сформулируйте определение

и амплитуде.

106

§ 5 .6 . ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ

Методические указания

Изучив параграф, слушатели должны знать порядок построения областей устойчивости и уметь их строить, если задан вид пере­ даточной пункции или характеристического уравнения САУ.

Содержание

При проектировании САУ иногда возникает необходимость ис­ следовать влияние ее параметров на устойчивость. Эту задачу можно решить построением областей устойчивости, т .е . областей таких значений параметров, при которых система оказывается ус­ тойчивой. Для построения границ областей устойчивости использу­ ются условия границ устойчивости системы, вытекающие из алгебра­ ических и частотных критериев. Области устойчивости могут стро­ иться в плоскости одного и двух параметров. Рассмотрим построе­ ние областей устойчивости в плоскости двух параметров на кон­

кретном примере.

Пример 5 .2 . С помощью критерия Вышнеградского построим об­ ласть устойчивости для САУ, передаточная функция в разомкнутом состоянии которой имеет вид

Область устойчивости будем строить в плоскости двух параметров

Т и

T j . Определяем характеристическое

уравнение замкнутой систе­

мы

к СЪр + 0

* 0

+ Гр)(Р‘ +

я**) = о

где

а3р 3 + агРг +

<*t p

+ а 0

= О,

аг - /у о3 = Т.

о.о ~ Ä +

>

ut -

кТ/ + 7я ;

Условием устойчивости согласно критерию Вышнеградского слу­ жит выполнение следующего неравенства:

а { аг * а 0 а3

или

107

Границе устойчивости соответствует выполнение равенства

а4а г = а 0 а і ,

т .е .

7). <= Т.

На рис. 5.15 построена область устойчивости в плоскости пара­ метров T j, т .

Р и с. 5.15

Материалы для проверки усвоения содержания параграфа

1 . Назначение областей устойчивости САУ.

2 . Что используется для построения областей устойчивости ?

§ 5 .7 . ОСНОВНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА УПРАВЛЕНИЯ

Методические указания

Содержание параграфа является дальнейшим углублением све­ дений о процессе управления, изложенных в § 1 .5 , которій пред­ лагается повторить. Изучив данный параграф, слушатели должны

знать физическую сущность основных показателей качества управ­ ления.

Содержание

Для нормальной работы системы автоматического управления необходимо, чтобы она была устойчива и обладала определенным качеством управления. Качество процесса управления принято оце­ нивать по переходной функции системы. Расчет переходной функции может производиться аналитическими методами на основе обратного преобразования Лапласа или частотными методами с применением

108

Смотрите также файлы