Файл: Лепилов Н.С. Теория автоматического управления учеб. пособие.pdf

Для уравнений, порядок которых п?~5 , пользоваться критерием Гурвица, как правило, не целесообразно из-за громоздкости вы­ числений. Но главным недостатком этого простого с математичес­ кой точки зрения критерия является трудность определения влия­ ния на устойчивость того или иного параметра системы автомати­ ческого управления. Поэтому для исследования системы чаще при­ меняют частотные критерии устойчивости.

Пример 5,1 Исследуем устойчивость системы, характеристи­ ческое уравнение которой имеет вид

2р^ ■+ к р і + Ь рг+ р + 3 = 0 .

Система неустойчива, так как

Материалы для проверки усвоения

содержания параграфа

1 . Критерий устойчивости Вышнеградского.

2 . Критерий устойчивости Гурвица.

§ 5 .3 . ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА

Методические указания

Изучив параграф, слушатели должны знать формулировку кри­ терия и уметь определять устойчивость системы по виду годогра­ фа Михайлова.

Содержание

Советский ученый А .В . Михайлов в 1936 г . предложил ввести оценку устойчивости системы по углу поворота характеристическо­ го вектора, который называется вектором Михайлова. Используя критерий Михайлова, можно определить устойчивость как разомкну­ той, так и замкнутой систем. Имеем характеристическое уравне­ ние замкнутой системы

ап р п + ап „{р п' {+ ■ • • + а,р + а0 = О.

95

Левую часть этого уравнения обозначим М(р) и будем называть характеристическим многочленом замкнутой системы или многочле­ ном Михайлова

Если задана передаточная функция системы в виде отношения двух полиномов от p t то знаменатель передаточной функции есть многочлен Михайлова. Согласно формуле (3 .7 .1 0 ) многочлен Михай­ лова разомкнутой системы М(р)=Ѵ(р)> Многочлен Михайлова замкну­ той системы выражается через полиномы числителя и знаменателя разомкнутой системы следующей формулой:

лексной плоскости опишет кривую, которая называется годографом Михайлова.

Формулировка критерия устойчивости Михайлова следующая: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы вектор

Михайлова при изменении частоты от нуля до бесконечности повер­ нулся в положительном направлении (против часовой стрелки) на число квадратов, равное порядку характеристического уравнения

(5 .3 .4 )

На рис. 5 .6 ,а изображен годограф Михайлова для устойчивой системы четвертого порядка, а на рис. 5 .6 ,6 - для неустойчивой системы. Суммарный угол поворота вектора Михайлова при измене­

ся в начале координат (рис. 5 .6 ,в) или проходит через начало

координат (рис. 5 .6 ,г ) , то система находится на границе устой­ чивости .

96

мы W(jo)J. Позднее советский ученый Я .З . Цыпкин распространил критерий Найквиста на астатические системы любого порядка.

Так как частотные характеристики разомкнутой системы дос­ таточно просто строятся по характеристикам отдельных звеньев, поэтому критерий Найквиста является весьма удобным и получил широкое распространение.

Критерий Найквиста формулируется следующим образом. Если

тойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточ­ но, чтобы годограф амплитудно-фазовой характеристики разомкну­ той системы охватывал точку ( - J , j 0 ) на угол ?ѵ *" • Точка с координатами - i , J 0 называется критической точкой.

Чтобы использовать критерий Найквиста, необходимо пояснить

понятие "охватывание". Для статических и астатических систем это понятие имеет свои особенности. Рассмотрим отдельно устой­

Характеристическое уравнение разомкнутой системы

(T,p*i)(Tt p * 0 ( h p * 0 ~ o

имеет три вещественных отрицательных корня.

98

Комплексная передаточная функция равна

который назовем вектором Найквиста. Проследим концом вектора

фазовая характеристика не охватывает критическую точку. Если результирующий угол отличен от нуля, то характеристика охваты­ вает критическую точку на угол У>ы . Угол поворота вектора Най­

квиста для характеристики, изображенной сплошной линиёй, ра­ вен 0 , т .е . соответствующая данной характеристике замкнутая система устойчива. Характеристика, изображенная штрих-пунктир­ ной линией, соответствует неустойчивой замкнутой системе. Ха­ рактеристика, которая проходит через критическую точку (изобра­ жена пунктиром), соответствует замкнутой системе, находящейся на границе устойчивости.

99

Изменяя значение коэффициента передачи разомкнутой систе­ мы, можно перевести разомкнутую систему из устойчивого состоя­ ния в неустойчивое и наоборот. Значение коэффициента передачи разомкнутой системы, при котором замкнутая система находится на границе устойчивости, называется предельным коэффициентом передачи. Рассмотрим теперь случай, когда разомкнутая система находится на границе устойчивости.

Пусть передаточная функция имеет вид

Комплексная передаточная функция равна

В состав системы входит резонансное эвено с передаточной функ­ цией К (р )= p i i z z !• Иа частоте co=s? амплитудная характеристика

стремится к бесконечности, а фазовая характеристика совершает скачок от 0 до -180° (рис. 4 .8 ) .

Амплитудно-фазовая характеристика (5 .4 .2 ) разомкнутой сис­

100