Файл: Клевенский А.Е. Моделирование геометрических понятий и технология проектирования.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.07.2024
Просмотров: 101
Скачиваний: 0
Правило 3. В любой точке н а п р а в л я ю щ е й автономная координатная система образующей р а з м е щ а е т с я так, что ее начало совпадает с точкой на направляющей; ось Ох совпадает с нормалью базового элемента направляющей, причем положительная полуось направлена вправо по нормали, если двигаться в сторону возрастания пара метра Т н а п р а в л я ю щ е й ; ось Oy автономной системы ко ординат образующей совпадает по направлению с осью Oz координатной системы Oxyz.
Такое размещение образующих поверхность линий продиктовано, с одной стороны, некоторыми особенностя ми воспроизведения поверхности, а с другой — возможно стью формально описать ориентацию образующей в про цессе ее движения .
Правило 4. При образовании элемента поверхности взаимное расположение образующих поверхность линий определяется преобразованием автономной системы ко
ординат образующей движением.путем |
последовательных |
|||||||||||
преобразований: вращения |
|
вокруг оси Ох на угол я/2; |
||||||||||
вращения |
вокруг оси Oz на угол •б', образованный |
|
поло |
|||||||||
жительным |
направлением |
оси Ох |
системы |
Oxyz, |
и на |
|||||||
правлением |
нормали н а п р а в л я ю щ е й |
в заданной |
|
точке |
||||||||
X(Т), |
у(Т), |
а т а к ж е |
п а р а л л е л ь н ы м |
переносом |
в |
точку |
||||||
*(Т), |
У(Т). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формально это правило легко представить |
произведе |
|||||||||||
нием |
матриц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
D(T) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
"1 . |
О |
0 |
х(Ту |
"cosd |
- s i n d |
0 |
0" |
"1 |
0 |
0 |
0" |
|
0 |
1 |
0 |
у(Т) |
sin d |
|
cosd |
0 |
0 |
0 |
0 — 1 |
0 |
|
0 0 1 о |
О |
|
0 |
1 0 |
0 1 |
0 0 |
||||||
О О О |
1 |
0 |
|
0 |
0 1 |
0 0 |
0 1 |
|||||
или |
|
|
|
cosd |
0 |
sind |
х ( Г ) - |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
D(T) |
|
sind |
0 - - c o s d |
У(Т) . |
|
|
(20) |
||||
|
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
41
Угол •& вычисляется по формуле |
|
|
||||
•& = я|)0 |
— - ^ - |
для |
базового |
элемента |
«прямая»; |
|
тЭ- = "ф0 |
-f- а0Т |
для |
базового |
элемента |
«дуга». |
|
Матрица (20) |
в ы р а ж а е т собой закон ориентации |
ав |
||||
тономной |
системы координат |
образующей . Этим не |
ис |
|||
черпываются возможности ориентации образующей отно сительно направляющей . Нетрудно видеть, что образую
щ а я |
в |
своей |
автономной |
системе |
координат |
может |
|||||||
переориентироваться |
|
путем преобразования |
движения, |
||||||||||
причем |
компоненты такой |
матрицы |
движения |
т а к ж е мо |
|||||||||
гут |
быть в ы р а ж е н ы |
через |
параметр |
Т: |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
D* |
(Т) = |
|
|
|
|
|
|
|
~ 1 |
0 |
0 |
а(Т) |
|
|
"соэф(Г) |
|
• sin ф (Т) |
0 |
0 ' |
||
|
0 |
1 |
0 |
Ь(Т) |
|
|
|
sin ср (Т) |
|
с о з ф ( Г ) |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
или |
|
|
|
• cos |
ф |
(Т) |
|
- sin ф (Г) |
0 |
а(Т) |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
D* (Т) |
= |
sin ф |
(Т) |
|
cos ф (Т) |
0 |
Ь(Т) |
(21) |
||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
1 |
|
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
Таким образом, более сложный вариант ориентации образующей относительно н а п р а в л я ю щ е й может быть представлен произведением матриц
D**(T) = |
D(T)-D*(T). |
|
(22) |
||
Существенным моментом в этом сложном преобразо |
|||||
вании положения в пространстве образующей |
является |
||||
то, что те компоненты, которые входят в состав |
матрицы |
||||
(21) в ы р а ж а ю т с я |
графически в |
виде нормированных |
по |
||
Т функций ф ( Г ) , а(Т), |
Ь(Т). |
|
|
|
|
Подведем итог |
изложенного |
выше материала . |
Д л я |
||
представления'элемента |
поверхности необходимо |
описать |
|||
форму графического элемента — н а п р а в л я ю щ е й и графи ческого элемента — образующей .
42
О ба эти |
описания |
допускают |
графическую |
форму |
|||||
представления |
информации . |
|
|
|
|
||||
Если о б р а з у ю щ а я |
ориентируется более сложным |
за |
|||||||
коном ориентации, то |
необходимо представить |
функции |
|||||||
ф ( Г ) , а(Т) |
и |
Ь(Т). |
Эти |
функции |
т а к ж е допускают |
гра |
|||
фическую форму |
представления |
информации. |
|
|
|
||||
Наконец, |
о б р а з у ю щ а я |
может |
изменяться |
по |
форме, |
||||
и это изменение, к а к |
было показано в предыдущей |
гла |
|||||||
ве, может быть представлено графически. Заметим те перь, что компоненты вектора (15) т а к ж е могут быть представлены графически.
Следовательно, пространственное представление эле мента поверхности может быть разложено на несколько плоских графиков:
1)о т о б р а ж а ю щ и й форму направляющей;
2)о т о б р а ж а ю щ и й форму образующей (или совокуп
ность |
графиков д л я |
вида (15)); |
|
3) |
ф(Т), а(Т), |
Ь(Т); |
|
4) |
К(S)-линейного |
(K(S)=S) |
и нелинейного вида |
(см. |
преобразование вида ( 8 ) ) . |
|
|
Напомним, что д л я н а п р а в л я ю щ е й и образующей мо ж е т иметь место ФОТ, это тоже графики однозначных и
нормированных |
по Т |
функций. |
|
||
К а ж д ы й из |
этих графиков представляет собой эле |
||||
менты, |
изменяя |
которые |
конструктор-оператор получает |
||
возможность |
управлять |
процессом |
конструирования |
||
формы |
создаваемого |
им |
образа конструкции. В этом и |
||
состоит |
существенная |
особенность |
объемно-графическо |
||
го языка. Широкие возможности управления |
процессом |
||||||
конструирования |
формы |
обеспечивают |
то |
требование |
|||
гибкости языка, |
которое |
было отмечено |
вначале . |
||||
2. Параметрическая модель элемента |
|
||||||
поверхности |
|
|
|
|
|
|
|
Перечисленные |
графики |
|
определяют |
основной набор |
|||
элементов описания, из |
которых |
строится |
пространст |
||||
венная модель элемента |
поверхности. Д л я подавляюще |
||||||
го большинства |
элементов |
поверхностей |
их |
описание |
|||
сводится к паре |
векторов |
вида |
(2) и |
(8), |
из |
которых, |
|
с к а ж е м , первый представляет форму направляющей, а
второй |
(вида |
( 8 ) ) — ф о р м у образующей . Теперь |
необ |
ходимо |
более |
точно определить связь м е ж д у этой |
парой |
43
(а в конечном итоге между полным набором элементов описания Э л П ) и параметрической формой записи эле
мента поверхности. Д л я плоских элементов графическо |
||
го описания |
эта связь у ж е |
была нами установлена. Так, |
д л я плоских |
графических |
элементов описания были |
определены два вида параметрического описания базо
вых элементов |
(4), (5). |
|
||
К а к у ж е |
отмечалось, |
точку базового элемента с |
ко |
|
ординатами |
х(Т), |
у(Т) |
при непрерывном изменении |
Т |
можно считать движущейся по элементу и, следователь но, Т в ы р а ж а е т как бы временной показатель движения точки.
Так как образующих поверхность линий две, то целе
сообразно параметр Т обозначить по-разному для |
к а ж |
||
дой из этих |
линий. Пусть д л я |
н а п р а в л я ю щ е й T = t, |
а для |
образующей |
Г = т . |
|
|
Вычислим |
для произвольно |
выбранного значения |
пара |
метра т £ [ 0 , |
1] координаты х(т), у(х). Очевидно, |
что в |
|
координатной системе Oxyz координаты точки образующей
х(т), |
у(х) |
можно |
вычислить |
|
следующим |
образом: |
||||||||||
|
|
x(t) |
- |
X(T)-COST>"—1 |
|
|
х(т) |
|
|
|||||||
|
|
y(t) |
|
|
|
|
|
|
= |
D(t) |
|
0 |
|
(23) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Если |
сопоставить |
первые |
две |
вычисленные |
компонен |
|||||||||||
ты |
вектора |
(23) |
с |
в ы р а ж е н и я м и |
(4) |
и |
(5), |
подставив |
||||||||
соответственно |
значение |
•& д л я |
прямой |
или |
дуги, то |
|||||||||||
станет ясным, |
что |
х ( т ) |
можно рассматривать как при |
|||||||||||||
ращение |
функции |
|
F(t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Используя в ы р а ж е н и я |
(6) |
и |
(7), |
по |
аналогии м о ж н о |
|||||||||||
записать |
координаты |
точки |
элемента |
поверхности: |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x(t, |
т) = |
[х0, |
|
L 0 |
, F(t) |
+ |
х(х)]\ |
t |
COS 1|)0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
y(t, |
т) |
= |
[</„, |
L 0 , |
F(t) |
+ |
x(x)] |
t sin \|)0 |
(24) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— COS |
|
|
||
|
|
|
|
|
• |
_ |
|
г(х) |
|
= |
у(х) |
|
|
|
|
|
44
или
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t, |
|
т ) = |
[*„• |
В', |
В'} |
cos |
(со,/) • COS l|)0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—sin (w0t) |
sin я|)0 |
J |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y(t, |
|
т) = |
Іу0,В', |
B'] |
COS ((£>0t) Sill TJ30 |
|
|
|
(25) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—sin (<o0 0(—cos%) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
z(x)=y |
(T), |
|
|
|
|
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B'=R0+F(t) |
|
+ |
x(T), |
|
|
|
|
|
|||
а |
Л'(T), |
y(t) |
вычисляется |
по одной |
из |
формул |
(6) |
или |
|||||||||
(7) |
в |
зависимости |
от |
вида базового |
элемента. |
|
|
|
|
||||||||
|
Очевидно и то, что более сложный вариант ориентации |
||||||||||||||||
образующей |
|
не влияет на |
вид выражений (24), |
(25), так |
как |
||||||||||||
|
|
|
|
|
- |
* * ( т ) " |
|
|
|
*(т) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
D*(t) |
УМ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x*(t), |
у* |
(t) |
— координаты |
точки |
образующей |
в |
ее |
авто |
|||||||||
номной координатной |
системе, поэтому |
их |
можно |
подста |
|||||||||||||
вить |
в формулы (24) или (25) вместо х(т), у (х). |
|
|
|
|||||||||||||
|
Таким |
|
образом, |
одна |
и та |
ж е |
модель работает |
как |
|||||||||
д л я |
плоских |
фигур, |
так |
и |
д л я |
пространственного |
пред |
||||||||||
ставления |
элемента |
поверхности. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
3. |
Дерево оценок сложности |
представления |
|
|||||||||||
|
|
|
элемента |
поверхности |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Элементы описания, из которых складывается модель представления в машине элемента поверхности, при опре деленной систематизации позволяют оценить некоторые качественные показатели формы Э л П , которые нельзя было выполнить при ручном проектировании.
45.