Файл: Качуринер Д.М. Теоретическая механика (краткий курс лекций) учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 25.07.2024

Просмотров: 112

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Л0 -

частота собственных незатухающих колеба­

 

Решение

ний.

 

 

через амплиту­

 

(7) или (8) можно записать

?

ду и ф азу.

Для этого надо

взять

А =<ßsjnci ? ß=S)cos<±

где

 

 

Я -

 

>

(9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

X0*.Q

 

 

 

и

 

 

tl-cL=~ß

Х 0

 

 

 

 

 

JC = 3)Sin(Ä0t + Ci-) •>

(Ю)

 

 

 

 

 

dO

-

амплитуда колебаний, максимальное отклонение

 

jl t+dL

-

точки от равновесного положения;

 

oL

-

Фаза колебаний;

 

 

 

 

начальная фаза.

 

 

 

 

Так

 

как

колебания точки, описанные формулах ( І § ) ,

 

происходят по периодическому закону, то определим пери­

од колебаний.

Обозначим период2йГ

буквой

Т

г

( и )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Величины

 

 

Ло

 

 

 

точки.

 

oQjOitA 0 , Z

определяют

колебания

dD

и

d<

зависят от начальных условий

( 9 ),

а

Л0

и

і

от начальных условий не зависят, .

(рис. 117).

 

 

 

Изобразим

графически

 

зс

 

 

*

Для

свободных колебаний точки выполняется закон

со­

хранения

механической энергии.

Кинетическая энергия

 

184

течки:

т 1

■г

 

 

-

 

 

= —

 

Т - -

тл:

 

z/

т £ 2Ä20COS2(Apt +Ск)

 

i ( t )

x(t)

±(t)

Нотещиальная энергия:

П= j С х 2= ~ С х 2= j CJ)2sin(Ä 0ttck) ;

Tt /7= J 3) 2 \mA20cos2(A0t + а У CSin2(Ä01*ol)]=

=M^cos2(A0t+d)+Csm{A0t+ ^ -3 ?C = co n st -

*> 2 . Свобедные колебания точки в сведе.соиротюлсние "

'

котарой пвопорииоиально первой степени

ск о уст и

(Сввбодннезатухавщие колебания точки)

 

 

Определим влияние сопротивления на свободнее коле-

 

банил точки.

Восстававливонщал рила; - ирепериконаяьна .

расстоянии,

а 'сила соиретирлеиил - пропорциональна пер­

•

вой степени

скорости < рис . И # )

\7^~ сх

%х ~ ~

^

 

 

 

 

185

ние

По второму закону Ньютона дифференциальное уравне­

будет:

 

 

 

 

 

 

т х

= -

С х - $ х

 

О

 

Я

У

м

 

 

 

 

 

или

 

 

 

(12 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т х +

+ ‘С х -

О .

 

 

 

 

Рис. I I8

 

 

 

 

Уравнение

(12)

линей­

 

 

 

 

 

 

 

 

ное, однородное дифферен­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

циальное

уравнение

второ­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

Разделим уравнениеС _

(12)2

1 .

го порядка.

 

 

 

2 h

и обозначим

 

 

 

 

 

 

т_

 

 

о 7

т

,

 

 

 

тогда

 

 

 

“ ЛЛ ,

 

 

 

 

(13)

 

 

 

x + 2hx+Ä0x = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Составим характеристическое уравнение

 

 

 

 

-,ч

V t '

 

 

h?+2hk+Ä2=0

 

 

 

 

 

уравнения

 

 

 

,О_

 

 

 

 

 

корни

этого

 

 

 

 

 

 

 

 

( Ю

,

Возможны три' случая:

-

 

 

 

 

 

' А

 

 

 

2)

 

^ ~ Ло У

3) Л < Л в .

ДДДДДД-Д

Кожебатёдьное движение

точки иолучим только в слу-

f ч -Д' К ’ ■ чае

£

,< Л0

V

т . е V в

случае

малого сопротивления.

Тогда

 

корни Ік(14)^ -кимеют+ Х^г такой

вид:

 

 

 

 

X- = - к - Л- г

 

 

где

 

Л=ф £~-к2 .

 

Решение уравнения (13) при этих корнях получим та

кее

 

х - е -h t(C'CosÄ't+C^inA/t)--

 

Для

определения

 

и

 

надо

\

 

С,

Сг

задать начальные

условия:

при

t = 0

 

 

 

 

х

 

С=ха

 

 

х - х 0 7 х = х 0 ■

 

Первое условие

подставляем

в

 

и находим

 

Для

определения

Сг

 

найдем

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х = -к е (C/cösAlt + C2sinAlt)+ e (-C^^slnА,і'+

 

+ C2Xtco$А, {)

,

 

 

 

 

 

'

 

 

 

 

 

 

“

 

-

+ +гхф

 

зс

 

X0=-hCl + C2X l

 

х 0д ^

 

 

 

 

С2 .

 

в

 

 

Найдещие

значения

Сг

и

С2

иедстелляем

 

 

 

~h-tf

,

,

 

Xg+hxg

'

V

 

 

(15)

 

x = é

 

 

----- $гпА,Т;)\

 

 

(xt c0sAtt +

 

 

 

 

•

 

 

TO

Если положить

C=Bsi n jb ,

C2=Bcosß ,

 

 

 

Величины

x = e

Bsin(A,t+fi>) .

 

 

 

(15)

 

ß

и уЗ

 

получим

следующие:

 

 

■. 1 8 7

ß =

 

 

Cj_

 

7

Н/J = c2

 

 

 

 

 

6~

{x0tb x oy

 

 

АI

(17)

Af

 

4 h

x0+ кэсо

Построим

график движения

( Іб ) (рис.

І І 9 ) .

Из рисунка видно,

 

что

Be ht

-

амплитуда;

ß

-

на­

чальная

ф аза;

А,

-

частота затухающи* колебаний.

 

Период

 

2 S

_______

2JT

 

 

 

(18)

 

 

 

л >

 

 

 

 

Рассмотрим отношение отклонений, отличающихся на

период

Xfi

Be

sin(A,ttß)

 

hT,

 

 

 

хп+/ ße h^tZl'>sin(Alt ß')

1 8 8

Смотрите также файлы