Файл: Гришин В.К. Статистические методы анализа результатов измерений учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 26.07.2024

Просмотров: 128

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

тезу в то время как она в е г ! э . Но одновременно теряется чувствительность критерия, так как границы значимости раз­ двигаются и пояі./'пется опасность спутать правильную гипоте­ зу с другой, пусть и достаточно близкой.

Следов' 'ельно, увеличивается вероятность ошибки друго­ го рода, когда гипотеза считается правильной, хотя она не

верна, а близка к истинной.

 

 

 

 

 

Таким образом, мы здесь

сталкиваемся с

возможными ошиб­

ками двух родов:

 

 

 

 

 

 

а)

непринятие гипотезы,

в то

время как

она

верна - ошиб­

ка первс .'о рода; вероятность

этой

ошибки равна

£

;

б) принятие гипотезы, хотя она неверна - ошибка второго

рода, Bepof/ лость которой обозначается р ,

 

 

 

Простой критерий с уровнем значимости

Є

контролирует

лишь ошибки первого рода

и не. измеряет степень

риска, связан­

ного с

ошибками второго

рода.

 

 

 

 

 

Для оценки вероятности совершения ошибки второго рода мы должны так усовершенствовать критерий, чтобы допустить возможность существования альтернативной гипотезы. При этэм

вероятность (по отношению к первоначальной гипотезе р а

р ^ )

попадания в критическую область должка

быть велика, если

 

эта

альтернативная гипотеза

справедлива.

 

 

 

 

Итак, если

проверяемая

гипотеза

р

= р о

неверие ,

то-

есть

генеральное

среднее р

j£ р^ и

р

«г р^

, тс

вероятность

того, что отклонение эмпирического среднего

П

'01

п

попадает в критическую область,

будет зависеть от

значения

 

. Обозначим

эту вероятность

как

 

 

 

равна

 

тельные

границы оценки

среднего

/7

по эмпирическоыу сред­

нему

р

 

 

 

Полагая

 

 

 

 

Р - ?. - ? - ft+ 7, - fc - ? - & + Л ,

записываем

 

 

 

^ N P ^ - 7 , > ^ T . -

A J + P ^

- 7 I

< - A ^ - A J . (13.2)

 

 

Эта

вероятность

J£

называется

мощностью

критерия

от­

носительно

альтернативной

гипотезы

р

- р^

.

Если

 

р

«

р

,

то

критерий опровергает

гипотезу

р

= р о

о

вероятностью

,

и не

противоречит

ей с

вероятностью

I

-

71

.

Таким образом,

вероятность

ошибки

второго рода

для гипотезы

р ~ ро

 

равна

р *

'І -71.

 

 

 

 

 

Если гипотезой,

альтернативной

к

проверяемой,является

 

> р о ,

то

следует пользоваться

односторонним критерием:

 

Либо, если р < р^ >

• ^ J - P / y - ? . * - * ^ ; 7 - 7 « J -

( І З Л )

Вообще мощность критерии указывает вероятность отрица­

ния первоначальной гипотезы как функцию некоторого неизвест­

ного параметра, т . е . функция мощности дает вероятность выне­

сения правильного

решения

для всех возможных

значений

о

,

отличных и

J|

, а для

^

определяет вероятность

 

вынесения неправильного суждения. Чем больше

Л

,

тем

 

чувствительнее этот критерий. Если расстояние между генераль­

ным средним

/?

 

и гипотетическим

средним

 

»ро

мало,

то

мощность критерия также мала. Однако

то,

что

критерий при­

нимает

неверную

гипотезу, совершая при этом

незначительную

ошибку,

не

имеет практического значения.

 

 

 

 

 

 

При прочих равных условиях мощность критерия тем зьше,

чем богаче

эмпирический материал.

 

 

 

 

 

 

 

Рис. На

и 116

иллюстрируют обсуждаемые здесь идеи.

 

ЕСЛИ ПО Выборочному

Среднему

Р)

Проверяется ГИП0Т688

 

р

= >ро

при

альтернативной

гипотезе

у

-

>

уо

,

то

критической

областью для исходной

гипотезы

будет

у *

p^g,

Іелая застраховаться от возможной ошибки из-за случайных от­ клонений у о* у в сторону больших значений, мы

сдвигаем вправо границу критической области. Но тем самым

ыы становимся

все

менее

критичными

по

отношению

к гипотезе

р >

Г}о

. Очевидно

 

такая ВОЗМОЕНОСТЬ

существует

всегда.

Вероятность ее уменьшается, если эмпирическая оценка

у

ле ­

жит слева

от

р о

,

но

лишь при

 

*

у

 

вероятность

альтернативной

гипотезы

ip >

р д

 

не

превышает

Р>

. В

этом смысле интервал

значений

р

<

р

<

J?y

g

является

областью

отатистической неопределенности при оценке гипотезы

Но,

разумеется,

если

г?

 

оказывается

вблизи

^

^

большее

предпочтение

можно

отдать

гипотезе

j? >

г>0

.

Дейст­

вительно, вычисляя вероятность того, что отклонение

у

- rfo

окааетоя

критическим,

если

/? в

r>f

(эта

вероятность

равна

видим, что последняя заметно возрастает (вся заштрихованная

площадь вправо от ft-e н а Р и с *

Рис. 116.

Поэтому,

 

если эмпирическое значение

г>

попадает

в ин­

тервал

г}^

< р

<

ір

-

Д , т о с

вероятностью

%

мы

должны

отдать

 

предпочтение

гипотезе

= ^ ,

 

и

лишь

с

веро­

ятностью р

=

 

 

 

-

гипотезе

у -

 

,

Другими

словами,

ошибка

второго

рода,

допускаемая

при

этом,

 

равна

р

.

Запи­

сывай

далее

 

У -

J3

-

Р(р

> ф

) ,

мы тем

самым

еще

раз ука­

зываем

интервал

Л =

£ -

р^тЬ

пределах

которого гипотезы

имеют право на "совместное сосуществование" (правда теперь с различными вероятностями).

Поскольку

значения

квантилей

Р1 е

и

Ру» зависят

от

объема выборки,

функция

мощности

может

быть

использована

для

планирования объема эксперимента, проводимого с целью различе­

ния

гипотез.

 

 

 

 

 

 

Так, если исследуется генеральная совокупность с извест­

ной

дисперсией

6Г

, ю О

- О =(tl

+ U

) • - = - / где

 

 

 

fit

ff, у 1-е

1-у <

П.- объем выборки)и число наблюдении, необходимое для того,

чтобы с

достаточной

уверенностью

различить гипотезы

^

и

,

оказывается

равным

 

 

 

 

 

1

4-І

i-fl

> у _ ^

(13.5)

а критическая область для опровержения исходной гипотезы оп­

ределяется как

Если опасность неверного выбора

гипотез

имеет равную

серьезность последствий, то полагают

£ «

, и при

Смотрите также файлы