Файл: Гришин В.К. Статистические методы анализа результатов измерений учеб. пособие.pdf

Скачать файл (4,70Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 26.07.2024

Просмотров: 113

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

п незави- и дисперсиями

оо

(2.14)

Асимптотика композиции большого числа распре делении. Центральная предельная теорема

Реальные физические явления могут иметь сложные распре делении. Однако они обладают весьма ваышм асимптотическим свойством, облегчающим обработку результатов их измерений.

Дело в том, что совместное действие большого числа не зависимых причин с (інтенсивностями разброса одного порядка приводит к нормальному распределению для величин, возникаю щих под влиянием таких воздейстрчй. Этот вывод следует из центральной предельной теоремы (А.МДлпунов), согласно которо;і распределение суммы сикых случайных перегенных со средниии у.

Не останавливаясь на доказательстве этой теореми, з а метим лишь, что при большом количестве случайных причин фак тически реализуются условия возникновения нор щьнргр рас пределения (см.раздел 1.6).

В связи со сказанным стаиовитоя понятны», почему нор мальное и дру.ие основанные на нем распределения играют осо бую роль в ыатематичеокой от.атистике.

		- зо	-
	З А Д А Ч И
1.	Найти формулу для оценки дисперсії.. -
а)	логарифма	интенсивности	излучения	у = in ^/-fc ;
б)	функции	ty-к...•	ул)/(г4-2£...zK).
2.	Показать,	что распределение суммы		независимых вели

чин с нормальными распределениями является также нормальным. 3. Убедиться, что плотность распределения суммы неотри

цательных случайных величин равна

Указание: Для неотрицательных величин уравнение Ф=^+ ^г


определяет пределы их возможных значений,								как	0 і <,'„,«	Я°-
4.	Радиоактивный				уЗ -источник состоит из смеси двух
изотопов со		средними			интенсивкостями		*іі	и	^ 2
Каким распределением описываются флюктуации интенсив
ности	потока			уЗ	-частиц?
Указание. Воспользоваться соотношениями
5.	Источник				"у -излучения	изготовлен			из смеси изо
топов, каждый і.з которых имеет собственное								энергетическое
респределение			pi(Ej)		. Каково	общее энергетическое				рас
пределение		р(Е^)		радиоактивного		источника?

Решение: Здесь мы встречаемся о распространенным видом задачи по изучению распределения, оуммарной "продукции по

качествам изделий". В то время		как флюктуации	общей интен
сивности излучения подчиняются		статистике Пуассона, распре-,
деление	"у -частиц по энергетическим интервалам^E+dE]
определяется	суммарным потоком	"у -частиц,	испускаемых

каждым из изотопов в данном интервале энергии. Таким обра зом, итоговый энергетический спеыр ^ -источника нахо дится наложением спектров каждого из изотопов с соответст вующими "весовыми"коэффициентами, т . е .

где

- средние

интенсивности

изотопов.

Заметим,

что статистика

числа

-частиц,

регистри

руемых в любом энергетическом интервале

E +

dE]

за какой-либо

промежуток

времени

является

пуассонов-

ской

со

средним

значением

^Г$%-і~р,(Е).

3. Некоторые

специальные распределения •

3 . 1 .

- распределение

Уассмотрим

независимых

случайных

величин

Ы г . . .

. - . , U ^ , каждая

из

ксторых распределена

нормально

с параметра

ми (0,1) . Сумма квадратов этих случайных

величин

называется

~f-(

- суммой:

>v=

(з.і)

называется

числом

степеней

свободы

. Функ-

ни я

обладает

распределением,

которое

в силу

норми-

рованности

U .

зависит

только

от

Плотность

~)L - распределения, представляющая вероятность обнаруже

ния

значений

в интервале

£У,

)t- + d~f-

J ,

имеет

вид

(Пирсон):

J- V 2

c / * \

(3.2)

1 / Г -

Г(*/І)

где

гамма-функция.

Соотношение

(3.2)

нетрудно

доказать

методом

индукции

с помощью

(2.14),

установив его

скачала

для

(см. (2.12

) ) .

Кривые

плотности

распределения для

различных 4

показаны на рисі*. Согласно (3.2)

jL2=*f-t

) =

При /

I (практически при

30) распределение

пе

реходит

нормальное

параметрами

(

> 2 4

) • Очевидно,

величина

' i

-—— 1 ,

так как ее

дисперсия стремитсь к

нулю,

f -»і

Для вычисления квантилей

существует

ряд

приближенных

формул, среди которых следует отдать предпочтение соотноше

нию:							.		з
		< •		' [	*	- • ? ? * т ' - и > ) '					(з.»
І. де	U p	-	квантили			нормированн го нормального распределе
ния.
	Длт		"j~ -	распределения справедлива					теорема	сложения,
											. г
согласно		которой		сумма		П	стохастически		независимых		f-L
			і*
величин имеет			У- -		распределение со			степенью свободы,			рав
ной сумме степеней свободы каждой из величин:
	Существует, также					обратная теорема		разложения		>	-

распределения на суммы квадратов величин, линейно связанных со случайным!' переменными U - :

Пусть

имеются

суммы квадратов:

где

случайных величин

являются

линейными

функциями

стохастически независимых

переменных

П.

распределенных нормально с параметр1».!!» (0,1)

каждая. Если

имеется

линейных соотношений

(связей)

менду

Z-

то

число

степеней

свободы

-сумкы

определяется как

Х-т .

Тогда,

если в результате линейных преобразований сумма

квадратов

случайшх

величин

l / t , . . , , 1 1 ^

разбита

на

сумм квадратов

Qv . . .

, QK

f t ,

. . . y

{

степеня

ми свободы

соответственно,

т . е .

то необходимым и достаточным условием того, чтобы величины Qt>- • •і QK оказались стохастически независимыми и описыва лись -)С распределениями с степенями свободы,

является выполнение равенства:

4, * *г + - • • + £с - л •

Теорема разложения оказывается чрезвычайно пользной длч различных статистических оценок.

3.2. У*- распределен»/'!

Рассмотрим случайную величину

(3.4)

где

Д у а

определена согласно (3,1) и (3.2).