Файл: Гришин В.К. Статистические методы анализа результатов измерений учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 26.07.2024
Просмотров: 116
Скачиваний: 0
Плотности распределении |
If |
оиксивиетсн соотношением |
(Фишер): |
|
^ |
которое можно |
получить |
о помощью (2.13), |
используя |
О . 2 ) . |
||||
|
Кривые плотности |
I / -распределении |
для различных ft |
|||||
и ^ |
указаны на рис.б. Согласно |
(5.5) |
|
среднее |
значение |
|||
|
ивантили |
V |
-распределения |
Vp |
= |
tfp(f,,-f2) |
свя |
|
заны |
соотношением |
|
|
|
|
|
|
|
поскольку |
в соответствии с |
(3.4) |
V |
(4i,fi) |
= |
/Vi(filf1)' |
V |
- распределение |
включает, |
на.; |
частные |
случаи, |
|
другие распределения. |
2 |
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
||
Действительно, поскольку уС |
|
. 2 |
X |
. |
||
где |
£ |
- переменная Стьюдента. |
3.3. Ь - распределение
Случайная величина
t = |
г |
(-oo < t < o o ) |
|
/ |
|
|
(3.8) |
имеет распределение |
|
(Сть:сдоь"п): |
£ + |
которое может |
быть получено |
непосредственно из |
(3.5) |
преоб |
|
разованием |
І |
= ± rU^(1,f) |
• |
|
|
і. - распределение симметрично относительно нуля. |
|||||
При 4 |
*" 0 0 |
распределение стремится к нормальному с па |
|||
раметрами |
(0,1) (см.рис.7). |
|
|
|
|
Вследствие симметричности распределения, |
для |
"fcp - |
|||
квантилеЛ |
справедливо: |
|
|
|
|
Учитывая связь между V- и Z- величинами, можно установить следующие соотношения между квантилями этих рас-
Х - , Vr и t. - распределения широко приме.гаигоя при ста
тистическом анализе эксперимелтальных данных.
|
|
|
|
З А Д А Ч И |
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Установить, что |
распределение p((J>) |
величины^=/xJ" |
||||||
(О |
£ у |
< |
оо) |
имеет |
вид: |
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
f-i |
-У/г |
|
|
|
|
|
|
2* |
-Г(§) |
|
|
|
|
|
|
Проанализировать случаи |
о |
=1,2. Совпадает |
ли рас |
||||||
пределение |
р(у) |
П Р И |
f |
-3 с |
распределением |
кіаксвелла? |
||||
|
2. |
Убедиться |
в справедливости |
соотношений: а) |
( З . б ) , |
|||||
б) |
(ЗЛО) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
квантилей' Р(\/< * |
V) 2, = Р |
|||||
|
а) |
Согласно |
определению |
|||||||
|
Р(р >Р) |
- Р . |
му |
|
|
Но |
поскольку \r'(f„ft)* |
*о последнее 8K- |
вивалентно утверждению
Отсюда _ ^
б) |
Длп |
V(1,f)-itt) |
|
|
|
|
|
|
|
уоноше |
РГУ |
< i t |
) - р |
равнозначно соотношению |
P(-YV* |
4 І |
< ^J/"*) = Р |
• |
||
Учитывая |
симметричность |
і - |
распределений, |
>.»*еем |
|
|
СледовательноT
или |
' |
Л |
|
|
|
2 |
|
|
|
г |
2 |
Поскольку i p = - £ |
, то |
Vp (1,4) - |
~ІЛ_р- |
|
|
|
~2~ |
Г Л А В А П
ЭКСПЕРИМЕНТ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
§ 4. Эксперимент и достоверность наблюдений
Как уже отмечалось,на результаты экспериментов оказы вают влияние случайные воздействия, возникающие в процессе измерений и обработки. Совокупность внешних возмущений уве личивает разбрсо результатов. Последнее обстоятельство усугубляется действием целого ряда систематических причин ("сдвинутая" шкала приборов, плохая геометрии опыта и т . д . ) .
Помимо внешних случайных и систематических воздействий, разброс измеряемых значений может быть обусловлен такие ста тистической (вероятное.ной) природой самого наблюдаемого явления. Так, по существу, во всех экспериментах, связанных с исследованиями процессов микромира, необходимо учитывать статистическую природу этих явлений. Такого рода особенности проявляются іі при изучении чисто "классических" объектов (многочастичные системы, например, плазма и т . д . ) .
Витоге, эмпирический материал по своему характеру яв ляется случ 1ЙНЫМ.
Вопыте разброс значений часто интерпретируется как результат несовершенства экспериментальной методики, а откло
нение значений от- |
некоего среднего - как ошибка измерений. |
При этом различают |
случайные и систематические ошибки, свя- |
занные,соответственно,со случайными и систематическими при чинами. Однако понятием "ошибка измерений" следует пользо ваться с известной осторожностью.
-ад-
Если рассеяние результатов, возникающее в процессе самого измерения, монет трактоваться как мера погрешнос тей, допускаемых в измерениях, то неопределенность значений, связанная с природой исследуемого процесса, позволяет лишь судить о статистических закономерностях этого явления и не может называться собственно ошибкой.
Таким образом, следуя одностороннее определению ошиб ки, можно "обнаружить" ее даже в условиях идеального экспе римента, в то время как несовпадение данных будет отражать объективную реальность явления (обсуждаемый вопрос перекли кается с проблемами объяснения результатов, вытекающих из квантового описания микромира, в свое время вызвавших целый переворот в философских концепциях современной физики). Конечно, можно упомянуть класс экспериментов по измере нию абсолютных констант (зарпд, масса, спин элементарннх частиц и т . д . ) , в которых разброс значений приопределении этих величин, по-видимому, нужно отнести к "чистым" ошибкам измерения.
Учитывая сказанное,, становит-тя понятным, что оценка погрешностей наблюдений должна базироваться не на строго детерминированных, а на вероятностных представлениях.
§ 5. Доверительный интервал и доверительная вероятность
в качестве характеристики неопределенности или несовер
шенства в описании измеряемых величин, базирующемся на дан
ной эмпирическом материале., избирают доверительный интервал.
-м -
впределах которого с заданной доверительной вероятностью
можно обнаружить |
значения исследуемой величины. |
К сожалению, |
на практике погрешности методики измере |
ния на всегда поддаются оценке. Поэтому доверительный ин тервал, соответствующий заданной доверительной вероятности, указывает значения величин, наблюдаемые в эксперименте в
условиях |
предлагаемое |
методики |
измерений. |
|
|
|
|
||||||
|
При заданной доверительной вероятности доверительный |
||||||||||||
интервал |
мокно |
вычислить, |
если |
удается |
установить |
распреде |
|||||||
ление |
исследуемых величин. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Действительно, |
мы знаем, |
что |
для данного |
распределения |
||||||||
p(Lj) |
, |
вероятность |
события |
у |
< ij p |
равна |
|
|
|
||||
где ij^- |
Р- |
квантиль. Поэтому |
доверительной |
вероятности |
|||||||||
Р |
сопоставляется |
доверительный |
интервал ур |
« |
у |
< у р |
, |
||||||
который |
вычисляется |
согласно соотношению |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
^ |
и |
|
соответствуют |
квартилям P(iJ |
|
< |
flp )ж |
Pf z |
||||
(см.рис.8). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Величина |
|
е |
я , |
_ |
р |
|
|
|
|
( 5 в 3 |
) |
|
называется уровнем значимости, или коэффициентом надежнос ти ( в технике).