Файл: Гришин В.К. Статистические методы анализа результатов измерений учеб. пособие.pdf

У

Рис.8. Квантили ij

-

распределения

р ( ^ )

На

рнс.8

значения

киинтилеК

К,

соответствуют

на­

копленным

вероятностям

, численно совпадающим с ве­

личинами

площадей заштрихований

областей

(

Р2

соответст­

вует

вся

заштрихованная

область,так

что

Р(у

г ^

) = / - Р£

)

Очевидно,

границы

доверительного

интервала

, ^

J

можно

смещать

в стороны

больших

или меньших

значений

IJ

*

не изменяя

величины Р

.

І. ія

придания

большей

определен­

ности,границы

доверительного интервала

обычно устанавливают

таким образом,

чтобы накопленные вероятности

P(ij

< ур)-

Р1

и

Р(у

* Ур)х

1 ~ Рг

равны

между собой. В этой

слу­

чае

становятся

одинаковыми

(в предгчах

интервала

,

^ р ~] )

вероятности отклонений

у

в стороны больших и меньших

значений

IT

у

. Тогда,

полагая

Pf

= 1 -

Р^ =

имеем:

Для

сиі.'.і'.еїричнік

распреде. ениіі со

средним у

имеем

ур ~ ^ я

У ~ Уі р

» и Г І РИ

= 1~Рг

= ^2 Д ° и е

Р и т е л ь н н й

Н і Г ^ ^ ^ - ^ і ) ' 1 - Е-

(5.5)

P

f

l

y

-

#

v

i

•

т . е . интервалу

^Cj

± 6cj]

соответствует доверительная

вероятность

не

меньшая,

чем

Р «

/ -

*/дг

. Однако это

ЗНР-

чение

Р ,

как пратшло, оказывабх'сн

очень

заниженным»

Так,

для нормального

распределения

для

Pfly-yl «

6

) - 0,683

*

0,7.

Поэтому неравенство

Чебышева

монет

быть

использовано лишИ

ориентировочных

оценок.

Заметим, что в силу традиции, - значение jym o 7^|.соответ­

ствующее доверительной вероятности

0,683

(уровень значимооти

с

- 0,3), часто называют средней

квадратичной ошибкой.

Для

нормального распределения

эта

величина

совпадает со сред-

- 'If -

ник

квадратичным отклонением. Поэтому

параметр

6Ґ

назы­

вают

средней

квадратичной

ошибкой

Однако

и последнее

время

принято

указывать

интервалы,

соответствующие

доверительно!;

вероятности

Р

2

0,95

( Є

$ 0,05).

Нелишне подчеркнуть, что в то

иреми

как для

ен, ым средним квадратичным отклонением,

в реальных распреде­

лениях его границы могут заметно превосходить

значения, рав­

ные среднему + удвоенная "средняя квадратичная

ошибка",

особе

но

в случае ограниченной эмпирической информации.

§

б.

Схема эксперимента. Выборочной

метод

и задачи

С ЧТИСТ ИШ1

терес сам но себе . Однако задача статистического

анализа

аксперименталыюго материала заключается в том (и в этом

состоит его сложность), что на основании

конечного числа

дан чих приходиться делать выводы (и оценивать их

достовер­

ность) относительно более широкого круга явлений.

Например, ми изучаем угловое распределение

продуктов

какой-нибудь ядерной реакции. Допустим,

что, исходя иа неко­

И этой связи

мы будем

рассматривать собранный

материал

как некую про'іиую группу ИЛИ выборку, представляющую лишь

один

из возможных

вариантов

наблюдений значений из

генераль­

ной

совокупности

исходной величины.

Разумеется,

в силу случайности пробной выборки, суждении

статистического

анализа.

Кратко

принцип максимального правдоподобия может

быть

сформулирован

следующим образом:

Наилучшим описанием исследуемого явления является

то, при котором максимальна вероятность получить

фактически

наблюдаемые значения измеряемых величин.

В дальнейшем принцип

максимального правдоподобия

будет

иопользоваи для

различного

рода статистических оценок.

При

Прежде

всего,

оценки являются состоятельными, т . е .

сходятся

по вероятности к соответствующим параметрам.

Пусть, например, в генеральной совокупности оценивается

параметр

(X

. На основании выборки объема

П.

получена

его

оценка

Сі

. Тогда" при бесконечном

увеличении

объ-

ема

выборки

вероятность того, что значение

Q

отклонит­

ся

от CL

на сколь угодно малую величину,

стремится

к нулю.

Оценки, базирующиеся на случайном материале, сами яв ­

ляются случайными величинами и имеют некоторое

выборочное

распределение. Однако, оценки являются асимптотически

зор -

ние сходится

к

нормальному при

П — с о

и

дисперсия этих

распределений

при

М »

I меньше дисперсий

любых других

сценок.

Оценки

оказываются

также

достаточными,

т . е . содержат

максимум информации относительно исходных параметров.

Отметим

еще

одно важное свойство статистических оценок,

ного

правдоподобия.

Это-

так называемая несмещенность оце­

нок,

требующая, чтобы при

любом объеме

выборки IX

ореднее

оценок по всем

возмокным

в генеральной

совокупности

значе­

ниям" величин,

имеющимся

в

выборке, совпадало с истинными зна­

чениями параметров

( о

процедуре такого

усреднения см. § 8) .

Если имеется несколько оценок, то обычпо выбирают не ­

смещенную оценку, поскольку в последней отсутствуют систе­

матические смещения.

Условие несмещенности особенно важно при калом объеме

выборки. С помощью

этого

требования удается уточнись

оценки,