Файл: Гинзбург Г.Л. Руководство по использованию метода наименьших квадратов в экономико-статистических расчетах учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.07.2024
Просмотров: 97
Скачиваний: 0
ft |
ft |
~к{^к2— \) (32k6—880«4-J-956A2—381) .
Эти формулы дают возможность решить систему (3, 1) в общем виде, т. е. получить явные выражения для искомых параметров в виде функций от k и от свободных членов.
|
т |
|
a‘ = |
1^ +;+1 М bj~1 “ |
О*1* - ■•т~ О • |
Для |
определения коэффициентов ту |
(&) при т —2, 3, 4, |
5 с помощью ЭВМ М-22 также составлены семизначные таб лицы, которые дают возможность обрабатывать статистиче ские ряды, имеющие до п—2£ = 100 экспериментальных точек. Таблицы коэффициентов приводятся в приложении 5 (четный случай) для к==2, 3, ..., 50.
§2. Вывод формул для выравнивания по прямой линии
ипо параболам 2-го, 3-го, 4-го порядка
1.Выравнивание по прямой линии.
При т= 2 система нормальных уравнений |
(3, 1) прини |
|||||
мает вид |
|
|
|
|
|
|
|
50 а0 — Ь0 | |
|
(3,4) |
|||
|
51 |
|
bx J |
|
||
|
|
|
|
|||
или с использованием формул: |
|
|
||||
в нечетном случае |
(3, 2), в четном случае (3, |
3) |
||||
(2гс—ф- \)а0 = Ь0 |
|
|
2к а0;— &0 |
|
(3,5) |
|
k(k+V) (2&+1) |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
■ук (4к2 — 1) |
|
||
Матрица А 2 системы (3, |
4) имеет определитель |
|||||
И 21= |
2k+l |
|
О |
fe(fe+l) (2fe+l)a |
||
О |
k(k+\)(2k+l) |
|
3 |
|||
и а|= |
2 к |
|
О |
4fe2 (4&г — 1) |
||
О |
у |
/с (4/с2 — 1) |
||||
|
|
|||||
|
|
|
||||
5* |
67 |
отличный от нуля. Поэтому система (3, 4) имеет единствен ное решение, для нахождения которого вычислим обратную матрицу к матрице А2.
Нечетный случай Четный случай
л „ о
(Л2)-1= - А2 о ла= |
|
|
|
(^ 2) |
*— 4k2(4k2- l ) ^ |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
— |
Щ k 2-1 ) |
0 |
||
fe(H-l) (2/Ц-1) |
|
|
|
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
й(й+1)(2А+1)г |
|
|
2/C-j-l |
|
|
|
0 |
|
|
2к |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
3 |
|
2 k + l |
|
|
|
|
|
|
0 |
Щ |
k 2— |
!)• |
0 А(А+1) |
(2fe+l) |
|
|
|
|
|
|
|
(3,6) |
|
Обозначим элементы матрицы |
(3,6) через |
y ?j[ |
i , j — 1,2) |
|||||||
Здесь нижние индексы указывают соответствующие номе |
||||||||||
ра строки и столбца |
матрицы, а верхний |
индекс 2 — число |
||||||||
уравнений системы. Таким образом |
|
|
|
|
|
|||||
2 |
— |
1 |
|
|
Т п |
о |
’ |
|
|
|
Тп |
2„+1 |
’ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
• |
(3,7) |
Т22 |
ft(A+l) |
(2А+1) ; |
Т22 - |
2k(4k2— 1) |
||||||
В этих обозначениях решение системы |
(3, |
5) имеет вид |
||||||||
|
|
ао = |
т 11 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-|22 |
|
|
|
|
|
|
(3,8) |
|
|
~ |
■ |
|
|
|
|
|
|
|
Аналитическое уравнение прямой линии будет
y t = a о+ <ht .
Примеры решения будут рассмотрены в § 3.
2. Выравнивание по параболе второго порядка.
68
При т—3 система нормальных уравнений (3, 1) примет вид
|
S0&o |
-f-5aaa |
—b0 |
(3,9) |
|
5 2^1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S2aо |
|
—b2 |
|
где So, S2, S4 выражаются формулами (3, 2) |
и (3, 3). |
|||
Определитель матрицы Л3 системы (3, 9) |
равен: |
|||
для нечетного случая |
|
для четного случая |
||
Л3 |
(2fe—l)fea (fe+1)2 (2fe+l)3(2fe+3) |
№ k s{k -\ y (4fe2- l )2 |
||
135 |
|
Л3 |
135 |
|
|
|
|
||
а обратная матрица имеет вид |
|
|
||
для нечетного случая |
|
|
||
|
|
з _ |
3(3к2+3 к — 1) |
|
|
|
Т п _ |
(4к2— 1)(2 к+3) ’ |
|
со
(лз)-> = 0
3
Тз1
0 |
7®з |
3 |
_ 3 |
______________ |
|
Т13 — Т31 |
— (4К2— Ij (2к+3) |
||||
3 |
0 |
где |
|
|
|
Т22 |
з |
|
3 |
||
|
3 |
|
|||
0 |
‘ 22— к(к+1) (2/С+1) ’ |
||||
Тзз |
|||||
|
|
з = ___________45___________ |
|||
|
|
Тзэ |
к(/с+1) (4к2— 1) (2к+3) |
||
Для четного случая
|
|
|
|
з |
3(12к2—7) |
|
|
|
|
|
^п ~32/с(к2—1) |
’ |
|
7п |
0 |
|
3 |
Т13 — 131 — 32к(к2—1) |
||
713 |
где |
|
|
|||
(As) - l= 0 |
3 |
|
, |
|
|
|
722 |
0 |
3 _______ J |
|
|||
3 |
0 |
7 |
3 |
Т22_~ 2к(4к2—1) |
’ |
|
731 |
зз |
з _ |
45 |
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
^33 |
32/с(к2—1) (4к2—1) ‘ |
|
69
Решение системы (3, 9) будет:
а о — 7 п &о 7 '3
(3, 10)
а3— — 73160+733 Ь2
Аналитическое уравнение параболы имеет вид'
Ut — ао 4~ a i t
Так как в таблицах указаны только положитель
ные значения т™ , то в формулах (3, 10; 3, 12; 3, 14) для
удобства в их использовании поставлен знак минус. 3. Выравнивание по параболе 3-го порядка.
При т= 4 система нормальных уравнений имеет вид
S0a0 4- S2a2 |
= |
Ь° |
1 |
|
|||
<S2tti -j- S4d3=61 |
(3,11) |
||
S2&Q “f" ^4^2 |
——^8 |
||
54ai -f- Seas = |
bs |
|
|
Определитель матрицы Ai системы (3, 11) равен:
для нечетного случая
(к— 1)(2/с—1)2/сЗ(к+1)3(к+ 2) (2к+1)«(2к+3)а
А4
23625
д л я ч е т н о г о с л у ч а и
4096(к?— 1)W (4к2— 1)3(4к2—9)
А4
23625
а обратная матрица имеет вид
|
4 |
0 |
4 |
0 |
|
7и |
713 |
||
|
0 |
4 |
0 |
4 |
4\-1 |
722 |
724 |
||
И 4) |
4 |
0 |
4 |
0 |
|
731 |
7зз |
||
|
0 |
4 |
0 |
4 |
|
742 |
744 |
70